2020-2021学年苏科版八年级数学下册第9章中心对称图形——平行四边形重难点题型训练(一)（Word版，附答案）

八年级下册
第9章：中心对称图形——平行四边形
重难点题型训练（一）
1．如图1，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE＝AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．
（1）求证：OE＝CD；
（2）如图2，延长BC和DE相交于点G，不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中所有的平行四边形．（除四边形ABCD和四边形OCED外）
2．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且2DE＝AC，连接AE交OD于点F，连接DE、OE．
（1）求证：AF＝EF；
（2）已知AB＝2，若AB＝2DE，求AE的长．
3．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长BC到点E，使BE＝CD，连接AE交CD于点F．
（1）求证：AE平分∠BAD；
（2）连接BF，若BF⊥AE，∠E＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积．
4．如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，点E，F分别在AC，AB上，且DE∥AB，EF∥BC．
（1）求证：CD＝EF；
（2）已知∠ABC＝60°，连接BE，若BE平分∠ABC，CD＝6，求四边形BDEF的周长．
5．（1）如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边AB、BC上，∠EDF＝45°，连接EF，求证：EF＝AE+FC．
（2）如图②，点E，F在正方形ABCD的对角线AC上，∠EDF＝45°，猜想EF、AE、FC的数量关系，并说明理由．
6．如图，在?ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，AE与BF相交于点O，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AE＝6，BF＝8，CE＝，求?ABCD的面积．
7．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点C、A分别在x、y轴上，A（0，6），E（0，2），点H、F分别在边AB、OC上，以H、E、F为顶点作菱形EFGH．
（1）当H（﹣2，6）时，求证：四边形EFGH是正方形；
（2）若F（﹣5，0），求点G的坐标．
8．如图，过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC，BD的平行线，所围成的四边形EFGH显然是平行四边形．
（1）当四边形ABCD分别是菱形、矩形、平行四边形时，相应的四边形EFGH一定是“平行四边形、菱形、矩形、正方形”中的哪一种？请将你的结论填入下表：
四边形ABCD
菱形
矩形
平行四边形
四边形EFGH
　
　
　
　
　
　
（2）反之，当用上述方法所围成的平行四边形EFGH分别是矩形、菱形时，相应的原四边形ABCD必须满足怎样的条件？当　
　时，四边形EFGH是矩形；
当　
　时四边形EFGH是菱形．
9．如图，E是正方形ABCD对角线BD上一点，EM⊥BC，EN⊥CD垂足分别是点M、N
（1）求证：AE＝MN；
（2）若AE＝2，∠DAE＝30°，求正方形的边长．
10．如图，△ABC≌△DBC，AD平分∠BAC，AD交BC于点O．
（1）如图1，求证：四边形ABDC是菱形；
（2）如图2，点E为BD边的中点，连接AE交BC于点F，若∠AFO＝∠ADC，在不添加任何辅助线和字母的条件下，请直接写出图2中所有长度是线段EF长度的偶数倍的线段．
11．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，BC＝10，过点A作AD∥BC，且点D在点A的右侧．点P从点A出发沿射线AD方向以每秒1个单位的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线CB方向以每秒2个单位的速度运动，在线段QC上取点E，使得QE＝2，连接PE，设点P的运动时间为t秒．
（1）若PE⊥BC，求BQ的长；
（2）请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
12．已知：正方形ABCD，E是BC的中点，连接AE，过点B作射线BM交正方形的一边于点F，交AE于点O．
（1）若BF⊥AE，
①求证：BF＝AE；
②连接OD，确定OD与AB的数量关系，并证明；
（2）若正方形的边长为4，且BF＝AE，求BO的长．
13．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠ADC，E，F分别为AD，CD的中点，连接BE，BF，延长BE交CD的延长线于点M．
（1）求证：四边形ABCD为矩形；
（2）若MD＝6，BC＝12，求BF的长度．（结果可保留根号）
14．在矩形ABCD中，点E，点F为对角线BD上两点，DE＝EF＝FB．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）若AE⊥BD，AF＝2，AB＝4，求BF的长度．
15．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF．
（1）求证：△AEF≌△DEC；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？请说明理由．
参考答案
1．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠COD＝90°，OC＝AC，
∵DE＝AC，
∴OC＝DE，
∵DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∴四边形OCED是矩形，
∴OE＝CD；
（2）图中所有的平行四边形有：四边形AOED，四边形ACGD，四边形OBCE．
由AODE可得四边形AOED是平行四边形；
由AC∥DG，AD∥CG可得四边形ACGD是平行四边形；
由OE∥BC，OB∥CE可得四边形OBCE是平行四边形．
2．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝AC，
∵2DE＝AC，
∴DE＝OA，
又∵DE∥AC，
∴四边形OADE是平行四边形，
∴AF＝EF；
（2）解：连接CE，
∵DE∥OC，DE＝OC，
∴四边形OCED是平行四边形，
又∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，
∴四边形OCED是矩形，
∴∠OCE＝90°，
又∵AB＝2DE＝AC，
∴△ABC为等边三角形，
∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴AC＝AB＝2，AO＝AC＝1，
∴在矩形OCED中，CE＝OD＝＝，
∴在Rt△ACE中，
AE＝＝．
3．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AD∥BE，
∴∠DAE＝∠E，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠BAE＝∠E，
∴AB＝BE，
∴∠BAE＝∠E，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴AE平分∠BAD；
（2）解：由BE＝AB，∠BEA＝60°，
∴△ABE为等边三角形，
∴AB＝AE＝4，
又∵BF⊥AE，
∴AF＝EF＝2，
∴BF＝＝2，
∵∠DAE＝∠E，AF＝EF，∠AFD＝∠CFE，
∴△ADF≌△ECF（ASA），
∴平行四边形ABCD的面积＝△ABE的面积＝×4×2＝4．
4．（1）证明：∵DE∥AB，EF∥BC，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∴EF＝BD，
∵点D是BC边的中点，
∴BD＝CD，
∴CD＝EF；
（2）解：∵BE平分∠ABC，
∴∠FBE＝∠DBE，
又∵四边形BDEF是平行四边形，
∴BD＝EF，BF＝ED，EF∥BD，
∴∠FEB＝∠DBE，
∴∠FBE＝∠BEF，
∴BF＝EF，
∴BD＝EF＝BF＝ED，
又∵BD＝CD＝6，
∴BD＝EF＝BF＝ED＝6，
∴四边形BDEF的周长＝6×4＝24．
5．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠C＝∠ADC＝∠DAB＝90°，
如图①：延长BA，使AM＝CF，连接MD，
在△AMD和△CFD中，
，
∴△AMD≌△CFD（SAS），
∴∠MDA＝∠CDF，MD＝DF，
∵∠EDF＝45°，
∴∠ADE+∠FDC＝45°，
∴∠ADM+∠ADE＝45°＝∠MDE，
∴∠MDE＝∠EDF，
在△EDF和△EDM中，
，
∴△EDF≌△EDM（SAS），
∴EF＝EM，
∵EM＝AM+AE＝AE+CF，
∴EF＝AE+CF；
（2）EF2＝AE2+CF2，
理由如下：
如图②，将△CDF绕点D顺时针旋转90°，可得△ADN，
由旋转的性质可得DN＝DF，AN＝CF，∠DAN＝∠DCF＝45°，∠CDF＝∠ADN，
∴∠CAN＝∠CAD+∠DAN＝90°，
∴EN2＝AE2+AN2，
∵∠EDF＝45°，
∴∠CDF+∠ADE＝45°，
∴∠ADE+∠ADN＝45°＝∠NDE＝∠EDF，
在△EDF和△EDN中，
，
∴△EDF≌△EDN（SAS），
∴EF＝EN，
∴EF2＝AE2+CF2．
6．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠DAE＝∠BEA，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE，同理可得AB＝AF，
∴AF＝BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF．
∴四边形ABEF是菱形．
（2）作FG⊥BC于G，
∵四边形ABEF是菱形，AE＝6，BF＝8，
∴AE⊥BF，OE＝AE＝3，OB＝BF＝4，
∴BE＝＝5，
∵S菱形ABEF＝?AE?BF＝BE?FG，
∴GF＝，
∴S平行四边形ABCD＝BC?FG＝（BE+EC）?GF＝（5+）×＝36．
7．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAO＝∠AOC＝90°，
∵E（0，2），H（﹣2，6），
∴AH＝OE＝2，
∵四边形EFGH是菱形，
∴EH＝EF，
在Rt△AHE和Rt△OEF中，
，
∴Rt△AHE≌Rt△OEF，
∴∠AEH＝∠EFO，
∵∠EFO+∠FEO＝90°，
∴∠AEH+∠FEO＝90°，
∴∠HEF＝90°，∵四边形EFGH是菱形，
∴四边形EFGH是正方形．
（2）连接EG交FH于K．
∵HE＝EF，
∴AH2+AE2＝EO2+OF2，
∴AH2+16＝4+25，
∴AH＝，
∴H（﹣，6），
∵KH＝KF，
∴K（﹣，3），
∵GK＝KE，
∴G（﹣5﹣，4）．
8．解：（1）四边形ABCD是菱形时，平行四边形EFGH是矩形，
四边形ABCD是矩形时，平行四边形EFGH是菱形，
四边形ABCD是平行四边形时，四边形EFGH是平行四边形；
故答案为：矩形；
菱形；
平行四边形；
（2）当平行四边形是矩形时，原四边形ABCD必须满足的条件是对角线互相垂直，
当平行四边形是菱形时，原四边形ABCD必须满足的条件是对角线相等．
故答案为：对角线互相垂直（AC⊥BD）；对角线相等（A
C＝BD）．
9．（1）证明：连接EC．
∵四边形ABCD是正方形，EM⊥BC，EN⊥CD，
∴∠NCM＝∠CME＝∠CNE＝90°，
∴四边形EMCN为矩形．
∴MN＝CE．
又∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠ABE＝∠CBE．
在△ABE和△CBE中
∵，
∴△ABE≌△CBE（SAS）．
∴AE＝EC．
∴AE＝MN．
（2）解：过点E作EF⊥AD于点F，
∵AE＝2，∠DAE＝30°，
∴EF＝AE＝1，AF＝AE?cos30°＝2×＝．
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠EDF＝45°，
∴DF＝EF＝1，
∴AD＝AF+DF＝+1，即正方形的边长为+1．
10．（1）证明：∵△ABC≌△DBC，
∴AB＝BD，AC＝CD，
∴∠BAD＝∠BDA，∠CAD＝∠CDA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAB＝∠DAC，∠ADC＝∠ADC，
在△ADB和△ADC中，
，
∴△ADB≌△ADC，
∴AB＝AC，
∴AB＝BD＝CD＝AC，
∴四边形ABCD是菱形．
（2）解：∵∠AFO＝∠ADC＝∠ADB，
又∵∠AFO+∠EFO＝180°，
∴∠EFO+∠EDO＝180°，
∴∠FED+∠FOD＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD⊥BC，
∴∠FEO＝∠FOD＝90°，
∵BE＝ED，
∴AB＝AD，
∴AB＝AD＝BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠EBF＝∠ABD＝30°，
在Rt△BEF中，BF＝2EF，
∵∠FBA＝∠FAB＝30°，
∴FA＝FB，
在Rt△AFC中，CF＝2AF＝4EF，
综上所述，长度是线段EF长度的偶数倍的线段有BF，AF，CF．
11．解：（1）作AM⊥BC于M，设AC交PE于N．如图所示：
∵∠BAC＝90°，∠B＝45°，
∴∠C＝45°＝∠B，
∴AB＝AC，
∴BM＝CM，
∴AM＝BC＝5，
∵AD∥BC，
∴∠PAN＝∠C＝45°，
∵PE⊥BC，
∴PE＝AM＝5，PE⊥AD，
∴△APN和△CEN是等腰直角三角形，
∴PN＝AP＝t，CE＝NE＝5﹣t，
∵CE＝CQ﹣QE＝2t﹣2，
∴5﹣t＝2t﹣2，
解得：t＝，所以BQ＝BC﹣CQ＝10﹣2×＝；
（2）存在，t＝4或12；理由如下：
若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，
则AP＝BE，
∴t＝10﹣2t+2或t＝2t﹣2﹣10
解得：t＝4或12
∴存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，t＝4或12．
12．解：（1）①如图1①，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABE＝∠C＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∵BF⊥AE，
∴∠CBF+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠CBF，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴BF＝AE；
②OD＝AB．
证明：延长AD，交射线BM于点G，如图1②，
∵△ABE≌△BCF，
∴BE＝CF．
∵E为BC的中点，
∴CF＝BE＝BC＝DC，
∴CF＝DF．
∵DG∥BC，
∴∠DGF＝∠CBF．
在△DGF和△CBF中，
，
∴△DGF≌△CBF，
∴DG＝BC，
∴DG＝AD．
∵BF⊥AE，
∴OD＝AG＝AD＝AB；
（2）①若点F在CD上，如图2①，
在Rt△ABE和Rt△BCF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF（HL），
∴∠BAE＝∠CBF，
∵∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠CBF+∠AEB＝90°，
∴∠AOB＝90°．
∵∠ABE＝90°，AB＝4，BE＝2，
∴AE＝＝2．
∵S△ABE＝AB?BE＝AE?BO，
∴BO＝＝＝．
②若点F在AD上，如图2②，
在Rt△ABE和Rt△BAF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△BAF（HL），
∴∠BAE＝∠ABF，
∴OB＝OA．
∵∠BAE+∠AEB＝90°，∠ABF+∠EBF＝90°，
∴∠AEB＝∠EBF，
∴OB＝OE，
∴OA＝OB＝OE．
∵∠ABE＝90°，AB＝4，BE＝2，
∴AE＝＝2，
∴OB＝AE＝．
综上所述：BO的长为或．
13．（1）证明：∵在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A+∠ADC＝180°，
∵∠A＝∠ADC，
∴∠A＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠M，
∵E为AD的中点，
∴AE＝DE．
在△ABE和△DME中
，
∴△ABE≌△DME（AAS），
∴AB＝DM＝6，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC＝AB＝DM＝6，∠C＝90°，
∵F为CD的中点，
∴CF＝CD＝3，
在Rt△BCF中，由勾股定理得：BF＝＝＝3．
14．（1）证明：连接AC，交BD于O，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，OA＝OC，OB＝OD，
∵DE＝FB，
∴OE＝OF，
∴四边形AFCE是平行四边形；
（2）解：∵DE＝EF＝BF，AE⊥BD，
∴AD＝AF＝2，
∴BD＝＝＝2，
∴BF＝BD＝．
15．证明：（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE，
∵点E为AD的中点，
∴AE＝DE，
在△AEF和△DEC中，
∴△AEF≌△DEC（AAS）；
（2）当△ABC满足：AB＝AC时，四边形AFBD是矩形；
∵△AEF≌△DEC，
∴AF＝CD，
∵AF＝BD，
∴CD＝BD；
∵AF∥BD，AF＝BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴∠ADB＝90°，
∴平行四边形AFBD是矩形．