2020--2021学年人教版八年级下册数学 18.2.2菱形的性质与判定 同步训练试卷（三）（Word版含答案）

人教版八年级下册数学 18.2.2菱形的性质与判定
同步训练（三）
1．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，连接AE、BD交于点F，AE＝AB．
（1）若∠AEB＝2∠ADB，求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝15，BE＝2EC，求EF的长．
2．如图，?ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，点E在线段BO上从点B以1cm/s的速度向点O运动，点F在线段OD上从点O以2cm/s的速度向点D运动．
（1）若点E、F同时运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，四边形AECF是平行四边形．
（2）在（1）的条件下，当AB为何值时，?AECF是菱形；
（3）求（2）中菱形AECF的面积．
3．在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE∥DB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠DAB＝60°，且AB＝4，求OE的长．
4．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝BC＝2CD，E为对角线AC的中点，F为边BC的中点，连接DE、EF．
（1）求证：四边形CDEF为菱形；
（2）连接DF交AC于点G，若DF＝2，CD＝，求AD的长．
5．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连接DE，DF．
（1）求证：四边形DFCE是菱形；
（2）若∠A＝75°，AC＝4，求菱形DFCE的面积．
6．如图，?ABCD中，E，F分别是边BC，AD的中点，∠BAC＝90°．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若BC＝4，∠B＝60°，求四边形AECF的面积．
7．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AB＝6，BC＝8，求EF的长．
8．如图，在?ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥DC于点F，且AE＝AF．
（1）求证：?ABCD是菱形；
（2）若∠EAF＝60°，CF＝2，求菱形ABCD的面积．
9．在?ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E，F，且BE＝DF．
（1）如图1，求证：?ABCD是菱形；
（2）如图2，连接BD，交AE于点G，交AF于点H，连接EF、FG，若∠CEF＝30°，在不添加任何字母及辅助线的情况下，请直接写出图中面积是△BEG面积2倍的所有三角形．
10．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，CD的垂直平分线分别交AC、DC、BC于点E、F、G，连接DE、DG．
（1）求证：四边形DGCE是菱形；
（2）若∠DGB＝60°，GC＝4，求菱形DGCE的面积．
11．如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DA，∠ADB的角平分线与AB相交于点F，与CB的延长线相交于点E连接AE．
（1）求证：四边形AEBD是菱形．
（2）若四边形ABCD是菱形，DC＝10，则菱形AEBD的面积是　 　．（直接填空，不必证明）
12．如图，O为△ABC边AC的中点，AD∥BC交BO的延长线于点D，连接DC，DB平分∠ADC，作DE⊥BC，垂足为E．
（1）求证：四边形ABCD为菱形；
（2）若BD＝8，AC＝6，求DE的长．
13．如图，在△ABC中，D、F分别是BC、AC边的中点，连接DA、DF，且AD＝2DF，过点B作AD的平行线交FD的延长线于点E．
（1）求证：四边形ABED为菱形；
（2）若BD＝6，∠E＝60°，求四边形ABEF的面积．
14．如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E为AD的中点，连接BE．
（1）求证：四边形BCDE为菱形；
（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝2，求AC的长．
15．如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若AB＝5，AC＝12，求EF的长．
参考答案
1．（1）证明：
∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC
∴∠ADB＝∠DBC．
∵AE＝AB，
∴∠ABE＝∠AEB．
∵∠AEB＝2∠ADB，
∴∠ABE＝2∠DBC．
∵∠ABE＝∠ABD+∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AD＝AB，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴△AFD∽△EFB，
∴＝．
∵AD＝BC，BE＝2EC，
∴＝＝，
∵AE＝AB＝15，
∴＝，
∴EF＝6．
2．解：（1）若四边形AECF为平行四边形，
∴AO＝OC，EO＝OF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BO＝OD＝6cm，
∴EO＝6﹣t，OF＝2t，
∴6﹣t＝2t，
∴t＝2s，
∴当t为2秒时，四边形AECF是平行四边形；
（2）若四边形AECF是菱形，
∴AC⊥BD，
∴AO2+BO2＝AB2，
∴AB＝＝3；
∴当AB为3时，?AECF是菱形；
（3）∵四边形AECF是菱形，
∴BO⊥AC，OE＝OF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝OD，
∴BE＝DF，
∴t＝6﹣2t，
∴t＝2，
∴BE＝DF＝2，
∴EF＝8，
∴菱形AECF的面积＝AC?EF＝6×8＝24．
3．证明：（1）∵AB∥DC，
∴∠CAB＝∠ACD．
∵AC平分∠BAD，
∴∠CAB＝∠CAD．
∴∠CAD＝∠ACD，
∴DA＝DC．
∵AB＝AD，
∴AB＝DC．
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵AB＝AD，
∴四边形 ABCD是菱形；
（2）∵四边形 ABCD是菱形，∠DAB＝60°，
∴∠OAB＝30°，∠AOB＝90°．
∵AB＝4，
∴OB＝2，AO＝OC＝2．
∵CE∥DB，
∴四边形 DBEC是平行四边形．
∴CE＝DB＝4，∠ACE＝90°．
∴．
4．证明：（1）∵E为对角线AC的中点，F为边BC的中点，
∴EF＝AB，EF∥AB，CF＝BC，AE＝CE
∵AB∥CD
∴AB∥CD∥EF，
∵AB＝BC＝2CD
∴EF＝CF＝CD，且AB∥CD∥EF，
∴四边形DEFC是平行四边形，且EF＝CF
∴四边形CDEF为菱形；
（2）如图，DF与EC交于点G
∵四边形CDEF为菱形，DF＝2，
∴DG＝1，DF⊥CE，EG＝GC，
∴EG＝GC＝＝
∴AE＝CE＝2EG＝
∴AG＝AE+EG＝4
∴AD＝＝
5．（1）证明：∵点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，
∴DE∥CF，DE＝BC，DF∥CE，DF＝AC，
∴四边形DECF是平行四边形，
∵AC＝BC，
∴DE＝DF，
∴四边形DFCE是菱形；
（2）过E作EG⊥BC于G，
∵AC＝BC，∠A＝75°，
∴∠B＝∠A＝75°，
∴∠C＝30°，
∴EG＝CE＝AC＝1，
∴菱形DFCE的面积＝2×1＝2．
6．解：（1）∵在?ABCD中，
∴BC＝AD，BC∥AD，
又∵E，F分别是边BC，AD的中点，
∴EC＝BC，AF＝AD，
∴EC＝AF，
∴四边形AECF为平行四边形．
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E是BC边中点，
∴AE＝EC，
∴四边形AECF是菱形；
（2）如图，连接EF交AC于点O，
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，BC＝4，
∴AB＝2，AC＝2，
∵四边形AECF是菱形，
∴AC⊥EF，OA＝OC，OE＝OF，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE＝AB＝1，
∴EF＝2，
∴S菱形AECF＝AC?EF＝×2×2＝2．
7．证明：（1）∵EF是对角线AC的垂直平分线，
∴AO＝CO，AC⊥EF，
∵AD∥BC，
∴∠AEO＝∠CFO，
在△AEO和△CFO中，
，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴AE＝CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
又∵AC⊥EF，
∴四边形AFCE是菱形；
（2）∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝，
∵四边形AFCE是菱形，
∴AF＝FC，
在Rt△ABF中，设AF＝FC＝x，则BF＝8﹣x
∴AB2+BF2＝AF2，
∴62+（8﹣x）2＝x2，
∴x＝，
∴OF＝，
∴EF＝2OF＝．
8．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D．
∵AE⊥BC，AF⊥DC，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
又∵AE＝AF，
∴Rt△AEB≌Rt△AFD（AAS）．
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
（2）连接AC，如图．
∵AE⊥BC，AF⊥DC，∠EAF＝60°，
∴∠ECF＝120°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ACF＝60°，
在Rt△CFA中，AF＝CF?tan∠ACF＝2．
∴菱形ABCD的面积＝．
9．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
在△AEB和△AFD中，，
∴△AEB≌△AFD（ASA），
∴AB＝AD，
∴?ABCD是菱形；
（2）解：图中面积是△BEG面积2倍的所有三角形为△ABG、△ADH、△AGH、△DFG；理由如下：
连接AC交BD于O，如图所示：
则AC⊥BD，
∵BC＝CD，BE＝DF，
∴BE：BC＝DF：CD，
∴EF∥BD，
∴∠CBD＝∠CEF＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵?ABCD是菱形，
∴BC＝CD＝AB，
∴△ABC是等边三角形，∠EBG＝∠FDH，
∴∠BAG＝∠ABG，
∴AG＝BG，
同理：AH＝DH，
∵AE⊥BC，
∴BE＝BC＝AB，
∵?ABCD是菱形，
∴BD是∠ABC的平分线，
∴点G到AB与BC边上的高相等，
∴S△ABG＝2S△BEG，
在△BEG和△DFH中，，
∴△BEG≌△DFH（ASA），
∴△BEG的面积＝△DFH的面积，BG＝DH，
∴AG＝AH，
∵△AEB≌△AFD，
∴S△ABG＝S△ADH，∴S△ADH＝2S△BEG；
∵∠GAH＝∠OAG+∠OAH＝60°，
∴△AGH是等边三角形，
∴GH＝AG＝AH＝BG＝DH，OG＝AG＝EG，OA＝OG＝BE，
∴△AGH的面积＝2△BEG的面积，
∴△GHF的面积＝△DFH的面积，
∴△DFG的面积＝2△BEG的面积；
∴图中面积是△BEG面积2倍的三角形为：△ABG、△ADH、△AGH、△DFG．
10．证明：（1）∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCG，
∵EG垂直平分CD
∴DG＝CG，DE＝EC，
∴∠DCG＝∠GDC，∠ACD＝∠EDC
∴∠EDC＝∠DCG＝∠ACD＝∠GDC
∴CE∥DG，DE∥GC
∴四边形DECG是平行四边形，
且DE＝EC
∴四边形DGCE是菱形
（2）如图，过点D作DH⊥BC，
∵四边形DGCE是菱形，
∴DE＝DG＝GC＝4，DG∥EC
在Rt△DGH中，∠DGB＝60°
∴DH＝DGcos30°＝2
∴菱形DGCE的面积＝GC×DH＝8
11．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC
∴∠ADE＝∠DEB，
∵DE平分∠ADB
∴∠ADE＝∠BDE
∴∠BED＝∠BDE
∴BE＝BD，且BD＝DA
∴AD＝BE，且AD∥BE
∴四边形ADBE是平行四边形
且AD＝BD
∴四边形AEBD是菱形．
（2）∵四边形ABCD是菱形
∴AB＝AD＝CD＝10，且AD＝BD
∴△ABD是等边三角形
∴∠BAD＝60°
∵四边形AEBD是菱形
∴AF＝BF，AB⊥DE，EF＝DF，
∴∠ADF＝30°
∴AF＝5，DF＝5
∴DE＝10
∴菱形AEBD的面积＝×10×10＝50
故答案为：50
12．（1）证明：∵O为△ABC边AC的中点，AD∥BC，
∴OA＝OC，∠OAD＝∠OCB，∠ADB＝∠CBD，
在△OAD和△OCB中，，
∴△OAD≌△OCB（ASA），
∴OD＝OB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴BC＝DC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝BD＝4，OC＝AC＝3，AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
∴BC＝＝5，
∵DE⊥BC，
∴∠E＝90°＝∠BOC，
∵∠OBC＝∠EBD，
∴△BOC∽△BED，
∴＝，即＝，
∴DE＝．
13．（1）证明：在△ABC中，D、F分别是BC、AC边的中点，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF∥AB，DF＝AB，
∵BE∥AD，
∴四边形ABED是平行四边形，
∵AD＝2DF，
∴AD＝AB，
∴四边形ABED为菱形；
（2）解：过B作BG⊥EF于G，
∵四边形ABED为菱形，
∴AB＝BE＝DE＝BD＝6，
∴DF＝3，EF＝9，
∵∠E＝60°，
∴△BDE是等边三角形，
∵BG⊥EF，
∴DG＝DE＝3，
∴BG＝DG＝3，
∴四边形ABEF的面积＝＝．
14．（1）证明：∵AD＝2BC，E为AD的中点，
∴DE＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∵∠ABD＝90°，AE＝DE，
∴BE＝DE，
∴四边形BCDE是菱形．
（2）解：连接AC．
∵AD∥BC，AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC＝∠BCA，
∴AB＝BC＝2，
∵AD＝2BC＝4，
∴sin∠ADB＝，
∴∠ADB＝30°，
∴∠DAC＝30°，∠ADC＝60°，
∴∠ACD＝90°，
在Rt△ACD中，∵AD＝4，
∴CD＝2，AC＝2．
15．（1）证明：∵AD∥BC，AE∥DC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，E是BC的中点，
∴AE＝CE＝BC，
∴四边形AECD是菱形；
（2）解：过A作AH⊥BC于点H，如图所示
∵∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，
∴BC＝＝13，
∵△ABC的面积＝BC×AH＝AB×AC，
∴AH＝＝，
∵点E是BC的中点，四边形AECD是菱形，
∴CD＝CE，
∵S?AECD＝CE?AH＝CD?EF，
∴EF＝AH＝．