2020--2021学年人教版八年级下册数学 18.2.2菱形的性质与判定 同步训练试卷(三)(Word版含答案)

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名称 2020--2021学年人教版八年级下册数学 18.2.2菱形的性质与判定 同步训练试卷(三)(Word版含答案)
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资源类型 教案
版本资源 人教版
科目 数学
更新时间 2021-04-06 08:05:27

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人教版八年级下册数学 18.2.2菱形的性质与判定
同步训练(三)
1.如图,在平行四边形ABCD中,E为BC边上的一点,连接AE、BD交于点F,AE=AB.
(1)若∠AEB=2∠ADB,求证:四边形ABCD是菱形;
(2)若AB=15,BE=2EC,求EF的长.
2.如图,?ABCD的对角线AC、BD相交于点O,BD=12cm,AC=6cm,点E在线段BO上从点B以1cm/s的速度向点O运动,点F在线段OD上从点O以2cm/s的速度向点D运动.
(1)若点E、F同时运动,设运动时间为t秒,当t为何值时,四边形AECF是平行四边形.
(2)在(1)的条件下,当AB为何值时,?AECF是菱形;
(3)求(2)中菱形AECF的面积.
3.在四边形ABCD中,AB∥DC,AB=AD,对角线AC,BD交于点O,AC平分∠BAD,过点C作CE∥DB交AB的延长线于点E,连接OE.
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
(2)若∠DAB=60°,且AB=4,求OE的长.
4.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=BC=2CD,E为对角线AC的中点,F为边BC的中点,连接DE、EF.
(1)求证:四边形CDEF为菱形;
(2)连接DF交AC于点G,若DF=2,CD=,求AD的长.
5.如图,在△ABC中,AC=BC,点D,E,F分别是AB,AC,BC的中点,连接DE,DF.
(1)求证:四边形DFCE是菱形;
(2)若∠A=75°,AC=4,求菱形DFCE的面积.
6.如图,?ABCD中,E,F分别是边BC,AD的中点,∠BAC=90°.
(1)求证:四边形AECF是菱形;
(2)若BC=4,∠B=60°,求四边形AECF的面积.
7.已知:如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F.
(1)求证:四边形AFCE是菱形;
(2)若AB=6,BC=8,求EF的长.
8.如图,在?ABCD中,过点A作AE⊥BC于点E,AF⊥DC于点F,且AE=AF.
(1)求证:?ABCD是菱形;
(2)若∠EAF=60°,CF=2,求菱形ABCD的面积.
9.在?ABCD中,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为点E,F,且BE=DF.
(1)如图1,求证:?ABCD是菱形;
(2)如图2,连接BD,交AE于点G,交AF于点H,连接EF、FG,若∠CEF=30°,在不添加任何字母及辅助线的情况下,请直接写出图中面积是△BEG面积2倍的所有三角形.
10.如图,在△ABC中,CD平分∠ACB,CD的垂直平分线分别交AC、DC、BC于点E、F、G,连接DE、DG.
(1)求证:四边形DGCE是菱形;
(2)若∠DGB=60°,GC=4,求菱形DGCE的面积.
11.如图,在平行四边形ABCD中,DB=DA,∠ADB的角平分线与AB相交于点F,与CB的延长线相交于点E连接AE.
(1)求证:四边形AEBD是菱形.
(2)若四边形ABCD是菱形,DC=10,则菱形AEBD的面积是   .(直接填空,不必证明)
12.如图,O为△ABC边AC的中点,AD∥BC交BO的延长线于点D,连接DC,DB平分∠ADC,作DE⊥BC,垂足为E.
(1)求证:四边形ABCD为菱形;
(2)若BD=8,AC=6,求DE的长.
13.如图,在△ABC中,D、F分别是BC、AC边的中点,连接DA、DF,且AD=2DF,过点B作AD的平行线交FD的延长线于点E.
(1)求证:四边形ABED为菱形;
(2)若BD=6,∠E=60°,求四边形ABEF的面积.
14.如图,在四边形ABCD中,BD为一条对角线,AD∥BC,AD=2BC,∠ABD=90°,E为AD的中点,连接BE.
(1)求证:四边形BCDE为菱形;
(2)连接AC,若AC平分∠BAD,BC=2,求AC的长.
15.如图,在四边形ABCD中,∠BAC=90°,E是BC的中点,AD∥BC,AE∥DC,EF⊥CD于点F.
(1)求证:四边形AECD是菱形;
(2)若AB=5,AC=12,求EF的长.
参考答案
1.(1)证明:
∵在平行四边形ABCD中,AD∥BC
∴∠ADB=∠DBC.
∵AE=AB,
∴∠ABE=∠AEB.
∵∠AEB=2∠ADB,
∴∠ABE=2∠DBC.
∵∠ABE=∠ABD+∠DBC,
∴∠ABD=∠ADB,
∴AD=AB,
∴四边形ABCD是菱形;
(2)解:∵在平行四边形ABCD中,AD∥BC,
∴△AFD∽△EFB,
∴=.
∵AD=BC,BE=2EC,
∴==,
∵AE=AB=15,
∴=,
∴EF=6.
2.解:(1)若四边形AECF为平行四边形,
∴AO=OC,EO=OF,
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴BO=OD=6cm,
∴EO=6﹣t,OF=2t,
∴6﹣t=2t,
∴t=2s,
∴当t为2秒时,四边形AECF是平行四边形;
(2)若四边形AECF是菱形,
∴AC⊥BD,
∴AO2+BO2=AB2,
∴AB==3;
∴当AB为3时,?AECF是菱形;
(3)∵四边形AECF是菱形,
∴BO⊥AC,OE=OF,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BO=OD,
∴BE=DF,
∴t=6﹣2t,
∴t=2,
∴BE=DF=2,
∴EF=8,
∴菱形AECF的面积=AC?EF=6×8=24.
3.证明:(1)∵AB∥DC,
∴∠CAB=∠ACD.
∵AC平分∠BAD,
∴∠CAB=∠CAD.
∴∠CAD=∠ACD,
∴DA=DC.
∵AB=AD,
∴AB=DC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AB=AD,
∴四边形 ABCD是菱形;
(2)∵四边形 ABCD是菱形,∠DAB=60°,
∴∠OAB=30°,∠AOB=90°.
∵AB=4,
∴OB=2,AO=OC=2.
∵CE∥DB,
∴四边形 DBEC是平行四边形.
∴CE=DB=4,∠ACE=90°.
∴.
4.证明:(1)∵E为对角线AC的中点,F为边BC的中点,
∴EF=AB,EF∥AB,CF=BC,AE=CE
∵AB∥CD
∴AB∥CD∥EF,
∵AB=BC=2CD
∴EF=CF=CD,且AB∥CD∥EF,
∴四边形DEFC是平行四边形,且EF=CF
∴四边形CDEF为菱形;
(2)如图,DF与EC交于点G
∵四边形CDEF为菱形,DF=2,
∴DG=1,DF⊥CE,EG=GC,
∴EG=GC==
∴AE=CE=2EG=
∴AG=AE+EG=4
∴AD==
5.(1)证明:∵点D,E,F分别是AB,AC,BC的中点,
∴DE∥CF,DE=BC,DF∥CE,DF=AC,
∴四边形DECF是平行四边形,
∵AC=BC,
∴DE=DF,
∴四边形DFCE是菱形;
(2)过E作EG⊥BC于G,
∵AC=BC,∠A=75°,
∴∠B=∠A=75°,
∴∠C=30°,
∴EG=CE=AC=1,
∴菱形DFCE的面积=2×1=2.
6.解:(1)∵在?ABCD中,
∴BC=AD,BC∥AD,
又∵E,F分别是边BC,AD的中点,
∴EC=BC,AF=AD,
∴EC=AF,
∴四边形AECF为平行四边形.
在Rt△ABC中,∠BAC=90°,E是BC边中点,
∴AE=EC,
∴四边形AECF是菱形;
(2)如图,连接EF交AC于点O,
在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=60°,BC=4,
∴AB=2,AC=2,
∵四边形AECF是菱形,
∴AC⊥EF,OA=OC,OE=OF,
∴OE是△ABC的中位线,
∴OE=AB=1,
∴EF=2,
∴S菱形AECF=AC?EF=×2×2=2.
7.证明:(1)∵EF是对角线AC的垂直平分线,
∴AO=CO,AC⊥EF,
∵AD∥BC,
∴∠AEO=∠CFO,
在△AEO和△CFO中,

∴△AEO≌△CFO(AAS),
∴AE=CF,
∴四边形AFCE是平行四边形,
又∵AC⊥EF,
∴四边形AFCE是菱形;
(2)∵∠B=90°,AB=6,BC=8,
∴AC=,
∵四边形AFCE是菱形,
∴AF=FC,
在Rt△ABF中,设AF=FC=x,则BF=8﹣x
∴AB2+BF2=AF2,
∴62+(8﹣x)2=x2,
∴x=,
∴OF=,
∴EF=2OF=.
8.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠B=∠D.
∵AE⊥BC,AF⊥DC,
∴∠AEB=∠AFD=90°,
又∵AE=AF,
∴Rt△AEB≌Rt△AFD(AAS).
∴AB=AD,
∴四边形ABCD是菱形.
(2)连接AC,如图.
∵AE⊥BC,AF⊥DC,∠EAF=60°,
∴∠ECF=120°,
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠ACF=60°,
在Rt△CFA中,AF=CF?tan∠ACF=2.
∴菱形ABCD的面积=.
9.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠B=∠D,
∵AE⊥BC,AF⊥CD,
∴∠AEB=∠AFD=90°,
在△AEB和△AFD中,,
∴△AEB≌△AFD(ASA),
∴AB=AD,
∴?ABCD是菱形;
(2)解:图中面积是△BEG面积2倍的所有三角形为△ABG、△ADH、△AGH、△DFG;理由如下:
连接AC交BD于O,如图所示:
则AC⊥BD,
∵BC=CD,BE=DF,
∴BE:BC=DF:CD,
∴EF∥BD,
∴∠CBD=∠CEF=30°,
∴∠ABC=60°,
∵?ABCD是菱形,
∴BC=CD=AB,
∴△ABC是等边三角形,∠EBG=∠FDH,
∴∠BAG=∠ABG,
∴AG=BG,
同理:AH=DH,
∵AE⊥BC,
∴BE=BC=AB,
∵?ABCD是菱形,
∴BD是∠ABC的平分线,
∴点G到AB与BC边上的高相等,
∴S△ABG=2S△BEG,
在△BEG和△DFH中,,
∴△BEG≌△DFH(ASA),
∴△BEG的面积=△DFH的面积,BG=DH,
∴AG=AH,
∵△AEB≌△AFD,
∴S△ABG=S△ADH,∴S△ADH=2S△BEG;
∵∠GAH=∠OAG+∠OAH=60°,
∴△AGH是等边三角形,
∴GH=AG=AH=BG=DH,OG=AG=EG,OA=OG=BE,
∴△AGH的面积=2△BEG的面积,
∴△GHF的面积=△DFH的面积,
∴△DFG的面积=2△BEG的面积;
∴图中面积是△BEG面积2倍的三角形为:△ABG、△ADH、△AGH、△DFG.
10.证明:(1)∵CD平分∠ACB,
∴∠ACD=∠DCG,
∵EG垂直平分CD
∴DG=CG,DE=EC,
∴∠DCG=∠GDC,∠ACD=∠EDC
∴∠EDC=∠DCG=∠ACD=∠GDC
∴CE∥DG,DE∥GC
∴四边形DECG是平行四边形,
且DE=EC
∴四边形DGCE是菱形
(2)如图,过点D作DH⊥BC,
∵四边形DGCE是菱形,
∴DE=DG=GC=4,DG∥EC
在Rt△DGH中,∠DGB=60°
∴DH=DGcos30°=2
∴菱形DGCE的面积=GC×DH=8
11.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC
∴∠ADE=∠DEB,
∵DE平分∠ADB
∴∠ADE=∠BDE
∴∠BED=∠BDE
∴BE=BD,且BD=DA
∴AD=BE,且AD∥BE
∴四边形ADBE是平行四边形
且AD=BD
∴四边形AEBD是菱形.
(2)∵四边形ABCD是菱形
∴AB=AD=CD=10,且AD=BD
∴△ABD是等边三角形
∴∠BAD=60°
∵四边形AEBD是菱形
∴AF=BF,AB⊥DE,EF=DF,
∴∠ADF=30°
∴AF=5,DF=5
∴DE=10
∴菱形AEBD的面积=×10×10=50
故答案为:50
12.(1)证明:∵O为△ABC边AC的中点,AD∥BC,
∴OA=OC,∠OAD=∠OCB,∠ADB=∠CBD,
在△OAD和△OCB中,,
∴△OAD≌△OCB(ASA),
∴OD=OB,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵DB平分∠ADC,
∴∠ADB=∠CDB,
∴∠CBD=∠CDB,
∴BC=DC,
∴四边形ABCD是菱形;
(2)解:∵四边形ABCD是菱形,
∴OB=BD=4,OC=AC=3,AC⊥BD,
∴∠BOC=90°,
∴BC==5,
∵DE⊥BC,
∴∠E=90°=∠BOC,
∵∠OBC=∠EBD,
∴△BOC∽△BED,
∴=,即=,
∴DE=.
13.(1)证明:在△ABC中,D、F分别是BC、AC边的中点,
∴DF是△ABC的中位线,
∴DF∥AB,DF=AB,
∵BE∥AD,
∴四边形ABED是平行四边形,
∵AD=2DF,
∴AD=AB,
∴四边形ABED为菱形;
(2)解:过B作BG⊥EF于G,
∵四边形ABED为菱形,
∴AB=BE=DE=BD=6,
∴DF=3,EF=9,
∵∠E=60°,
∴△BDE是等边三角形,
∵BG⊥EF,
∴DG=DE=3,
∴BG=DG=3,
∴四边形ABEF的面积==.
14.(1)证明:∵AD=2BC,E为AD的中点,
∴DE=BC,
∵AD∥BC,
∴四边形BCDE是平行四边形,
∵∠ABD=90°,AE=DE,
∴BE=DE,
∴四边形BCDE是菱形.
(2)解:连接AC.
∵AD∥BC,AC平分∠BAD,
∴∠BAC=∠DAC=∠BCA,
∴AB=BC=2,
∵AD=2BC=4,
∴sin∠ADB=,
∴∠ADB=30°,
∴∠DAC=30°,∠ADC=60°,
∴∠ACD=90°,
在Rt△ACD中,∵AD=4,
∴CD=2,AC=2.
15.(1)证明:∵AD∥BC,AE∥DC,
∴四边形AECD是平行四边形,
∵∠BAC=90°,E是BC的中点,
∴AE=CE=BC,
∴四边形AECD是菱形;
(2)解:过A作AH⊥BC于点H,如图所示
∵∠BAC=90°,AB=5,AC=12,
∴BC==13,
∵△ABC的面积=BC×AH=AB×AC,
∴AH==,
∵点E是BC的中点,四边形AECD是菱形,
∴CD=CE,
∵S?AECD=CE?AH=CD?EF,
∴EF=AH=.