2020-2021学年人教版八年级下册数学 18.2.2菱形的性质与判定 同步训练试卷（二）（Word版含答案）

人教版八年级下册数学
18.2.2菱形的性质与判定
同步训练（二）
1．如图，?ABCD中，AB＝9，对角线AC与BD相交于点O，AC＝12，BD＝．
（1）求证：?ABCD是菱形；
（2）求这个平行四边形的面积．
2．如图，?ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB＝，AO＝3，BO＝1．
（1）求证：AC⊥BD；
（2）求?ABCD的周长．
3．已知：如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作BE的垂线交BE于点F，交BC于点G，连接EG，CF．
（1）求证：四边形ABGE是菱形；
（2）若∠ABC＝60°，AB＝4，AD＝5，求CF的长．
4．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，CD＝2DE，延长ED到点F，使得DF＝CD，连接BF．
（1）求证：四边形BCDF是菱形；
（2）若CD＝2，∠FBC＝120°，求AC的长．
5．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB的中点，点E在边BC上，AE＝BE，点M是AE的中点，联结CM，点G在线段CM上，作∠GDN＝∠AEB交边BC于N．
（1）如图2，当点G和点M重合时，求证：四边形DMEN是菱形；
（2）如图1，当点G和点M、C不重合时，求证：DG＝DN．
6．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC中点，E是AD中点，过A作AF∥BC
①求证：△AEF≌△DEB；
②求证：四边形ADCF是菱形；
③若AB＝5，AC＝4，求菱形ADCF的面积．
7．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD为△ABC的中线，作CO⊥AB于O，点E在CO延长线上，DE＝AD，连接BE、DE．
（1）求证：四边形BCDE为菱形；
（2）把△ABC分割成三个全等的三角形，需要两条分割线段，若AC＝6，求两条分割线段长度的和．
8．如图，菱形ABCD的周长为16，∠DAB＝60°，对角线AC上有两点E和F，且AE＜AC，AE＝CF．
（1）求证：四边形DEBF是菱形；
（2）求AC的长．
（3）当AE的长为　
　时，四边形DEBF是正方形（不必证明）．
9．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，过对角线AC的中点O作EF⊥AC分别交边AB，CD于点E，F，连接CE，AF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若EF＝6，AE＝5，求四边形AECF的面积．
10．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，AE＝CG，AH＝CF，且EG平分∠HEF．
（1）求证：四边形EFGH是菱形；
（2）若EF＝4，∠HEF＝60°，求EG的长．
11．如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．
（1）求证：BD＝EC；
（2）当∠DAB为多少度时，四边形BECD为菱形？并说明理由．
12．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA
和BC的平行线，两线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）若∠B＝60°，BC＝6，求四边形ADCE的面积．
13．邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又剩下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作后，余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形，例如：如图1，?ABCD中，若AB＝1，BC＝2，则?ABCD为1阶准菱形．
（1）理解与判断：
邻边长分别为1和3的平行四边形是　
　阶准菱形；
邻边长分别为3和4的平行四边形是　
　阶准菱形；
（2）操作、探究与计算：
①已知?ABCD的邻边长分别为2，a（a＞2），且是3阶准菱形，请画出?ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值；
②已知?ABCD的邻边长分别为a，b（a＞b），满足a＝7b+r，b＝4r，请写出?ABCD是几阶准菱形．
14．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点．且∠AED＝∠BEC，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF．
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
15．如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一直线上，连接AD和BD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）求BD的长．
参考答案
1．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，AC＝12，BD＝6，
∴AO＝AC＝6，BO＝BD＝3，
∵在△AOB中，AB＝9，
∵62+（3）2＝92，
即AO2+BO2＝AB2，
∴△AOB为直角三角形，
∴∠AOB＝90°，
即AC⊥BD，
∴?ABCD是菱形；
（2）由（1）可知：?ABCD是菱形，即S菱形ABCD＝AC×BD＝36．
2．（1）证明：∵AB＝，AO＝3，BO＝1，
∴AB2＝10＝AO2+BO2＝9+1，
∴△AOB为直角三角形，∠AOB＝90°，
∴AC⊥BD；
（2）解：由（1）知AC⊥BD，
又四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD为菱形（对角线互相垂直的平行四边形为菱形），
∴AB＝BC＝CD＝DA，
∴?ABCD的周长＝AB+BC+CD+DA＝4AB＝4．
3．（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC且AD＝BC，
∴∠CBE＝∠AEB，
∴∠ABE＝∠AEB＝∠CBE，∴AB＝AE，
∵AF⊥BE，
∴∠AFB＝∠GFB＝90°，
在△ABF和△GBF中，，
∴△ABF≌△GBF（ASA），
∴AB＝GB，
∴AE＝GB，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABGE是平行四边形，
又∵AB＝GB，
∴四边形ABGE是菱形；
（2）解：过点F作FM⊥BC于点M，如图所示：
∵四边形ABGE是菱形，
∴∠GBE＝∠ABC＝30°，BG＝AB＝4，BC＝AD＝5，
在Rt△BFG中，BF＝cos∠GBF×BG＝cos30°×4＝×4＝2，
在Rt△BFM中，FM＝BF＝×2＝，
BM＝cos∠GBF×BF＝cos30°×BF＝×2＝3，
∴CM＝BC﹣BM＝5﹣3＝2，
∴Rt△FMC中，CF＝＝＝．
4．（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC且2DE＝BC，AD＝BD，
又∵CD＝2DE，DF＝CD，
∴DF＝BC＝CD，DF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形，
又∵DF＝CD，
∴四边形BCDF是菱形．
（2）解：∵四边形BCDF是菱形，∠FBC＝120°
∴∠DBC＝∠DBF＝60°，
∵BC＝CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴AD＝BD＝CD＝2，∠BDC＝∠BCD＝60°，
∴∠A＝∠ACD，AB＝4，
∵∠A+∠ACD＝∠BDC，
∴∠A＝∠ACD＝30°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°，
∴在Rt△ABC中，．
5．证明：（1）如图2中，
∵AM＝ME．AD＝DB，
∴DM∥BE，
∴∠GDN+∠DNE＝180°，
∵∠GDN＝∠AEB，
∴∠AEB+∠DNE＝180°，
∴AE∥DN，
∴四边形DMEN是平行四边形，
∵DM＝BE，EM＝AE，AE＝BE，
∴DM＝EM，
∴四边形DMEN是菱形．
（2）如图1中，取BE的中点F，连接DM、DF．
由（1）可知四边形EMDF是菱形，
∴∠AEB＝∠MDF，DM＝DF，
∴∠GDN＝∠AEB，
∴∠MDF＝∠GDN，
∴∠MDG＝∠FDN，
∵∠DFN＝∠AEB＝∠MCE+∠CME，∠GMD＝∠EMD+∠CME，、
在Rt△ACE中，∵AM＝ME，
∴CM＝ME，
∴∠MCE＝∠CEM＝∠EMD，
∴∠DMG＝∠DFN，
∴△DMG≌△DFN，
∴DG＝DN．
6．①证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE＝DE，BD＝CD，
在△AEF和△DEB中，，
∴△AEF≌△DEB（AAS）；
②证明：由①知，△AFE≌△DBE，则AF＝DB．
∵DB＝DC，
∴AF＝CD．
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，
∴AD＝DC＝BC，
∴四边形ADCF是菱形．
③解：∵D是BC的中点，四边形ADCF是菱形，
∴△ABD的面积＝△ACD的面积＝△ACF的面积，
∴菱形ADCF的面积＝Rt△ABC的面积＝AB?AC＝×5×4＝10．
7．（1）证明：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD为△ABC的中线，
∴BC＝AB，CD＝AB＝AD，
∴∠ACD＝∠A＝30°，
∴∠BDC＝30°+30°＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∵CO⊥AB，
∴OD＝OB，
∴DE＝BE，
∵DE＝AD，
∴CD＝BC＝DE＝BE，
∴四边形BCDE为菱形；
（2）解：作∠ABC的平分线交AC于N，再作MN⊥AB于N，如图所示：
则MN＝MC＝BM，∠ABM＝∠A＝30°，
∴AM＝BM，
∵AC＝6，
∴BM+MN＝AM+MC＝AC＝6；
即两条分割线段长度的和为6．
8．（1）证明：连接BD，交AC于O，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∵AE＝CF，
∴OE＝OF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形DEBF是菱形；
（2）解：在菱形ABCD中，菱形ABCD的周长为16，∠DAB＝60°，
则AD＝4，∠DAO＝30°，AC⊥BD且AC＝2OA，
在直角△AOD中，OA＝AD?cos30°＝4×＝2，
故AC＝2OA＝4；
（3）解：当AE＝2﹣2时，四边形DEBF是正方形．理由如下：
由（1）知，四边形DEBF是菱形．
当OD＝OE时，四边形DEBF是正方形．
∵在直角△AOD中，∠DAO＝30°，AD＝4，
∴OD＝AD＝2，OA＝2，
∴AE＝OA﹣OD＝2﹣2．
故答案是：2﹣2．
9．解：（1）证明：∵AB∥DC，
∴∠1＝∠2．
在△CFO和△AEO中，
，
∴△CFO≌△AEO（ASA）．
∴OF＝OE，
又∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：∵四边形AECF是菱形，EF＝6，
∴OE＝EF＝4．
在Rt△AEO中，
∵tan∠OAE＝＝，
∴OA＝5，
∴AC＝2AO＝8，
∴S菱形AECF＝EF?AC＝×6×8＝24．
10．（1）证明：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
在△AEH与△CGF中，
，
∴△AEH≌△CGF（SAS）；
∴EH＝FG
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D．
又∵AE＝CG，AH＝CF，
∴BE＝DG，BF＝DH，
在△BEF与△DGH中，
，
△BEF≌△DGH（SAS），
∴EF＝GH．
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴HG∥EF，
∴∠HGE＝∠FEG，
∵EG平分∠HEF，
∴∠HEG＝∠FEG，
∴∠HEG＝∠HGE，
∴HE＝HG，
∴四边形EFGH是菱形．
（2）解：连接HF交EG于O．
∵四边形EFGH是菱形，
∴EG⊥FH，∠FEO＝∠HEF＝30°，
∵EF＝4，
∴OE＝EF?cos30°＝2，
∴EG＝2EO＝4．
11．（1）证明：四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
又∵BE＝AB，
∴BE＝CD，BE∥CD，
∴四边形BECD
是平行四边形，
∴BD＝EC；
（2）四边形BECD是菱形．
理由：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，∵∠DAB＝60°，
∴△ADB，△DCB是等边三角形，
∴DC＝DB，
∵四边形BECD是平行四边形，
∴四边形BECD是菱形．
12．（1）证明：∵DE∥BC，EC∥AB，
∴四边形DBCE是平行四边形．
∴EC∥DB，且EC＝DB．
在Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，
∴AD＝DB＝CD．
∴EC＝AD．
∴四边形ADCE是平行四边形．
∴ED∥BC．
∴∠AOD＝∠ACB．
∵∠ACB＝90°，
∴∠AOD＝∠ACB＝90°．
∴平行四边形ADCE是菱形；
（2）解：Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，∠B＝60°，BC＝6，
∴AD＝DB＝CD＝6．
∴AB＝12，由勾股定理得AC＝6．
∵四边形DBCE是平行四边形，
∴DE＝BC＝6．
∴S菱形ADCE＝＝＝18．
13．解：（1）邻边长分别为1和3的平行四边形是2阶准菱形；
邻边长分别为3和4的平行四边形是3阶准菱形；
故答案为2，3．
（2）①如图所示，a＝8或a＝5或a＝或a＝；
②10阶准菱形，如图所示．
∵a＝7b+r，b＝4r，
∴a＝7×4r+r＝29r，如图所示：
故?ABCD是10阶准菱形．
14．（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC且2DE＝BC，
又∵∠AED＝∠BEC，
∴∠CEF＝∠CEB，
∵∠CEF＝∠BCE，
∴∠BEC＝∠BCE，
∴BC＝BE，
∵EF＝BE，
∴BC＝BE＝EF，
∵EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形，
∵BE＝BC
∴四边形BCFE是菱形；
（2）解：∵∠BCF＝120°，
∴∠EBC＝60°，
∴△EBC是等边三角形，
∴菱形的边长为4，高为2，
∴菱形的面积为：4×2＝8．
15．（1）证明：∵△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，
∴AB＝CD＝4，∠ABC＝∠DCE＝60°，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
又AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，
∴∠DCE＝∠CDE＝60°，BC＝CD＝4．
∴∠BDC＝∠CBD＝30°．
∴∠BDE＝90°．
∴BD＝＝4．