2020-2021学年苏科版八年级下册 第9章：中心对称图形——平行四边形 重难点题型训练试卷(三)（Word版含答案）

八年级下册 第9章：中心对称图形——平行四边形
重难点题型训练（三）
1．AC是?ABCD的一条对角线，过AC中点O的直线分别交AD、BC 于点E、F．
（1）求证：AE＝CF；
（2）连接AF，CE．
①当EF⊥AC时，四边形AFCE时什么四边形？请证明你的结论．
②若AB＝1，BC＝2，∠B＝60°，则四边形AFCE为矩形时，求EF的长．
2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，点O为AB的中点，连接CO．点M在CA边上，从点C以1cm/秒的速度沿CA向点A运动，设运动时间为t秒．
（1）当∠AMO＝∠AOM时，求t的值；
（2）当△COM是等腰三角形时，求t的值．[可以用下列数学知识，不需要证明：三角形两边中点的连线的长度等于第三边边长的一半]
3．已知，如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是AC，AB的中点，连接DE并延长到F，使EF＝2DE，连接CE，BF
（1）求证：CE＝BF；
（2）当∠A＝30°时，试判断四边形BCEF的形状并说明理由．
4．如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．
（1）求证：BD＝EC；
（2）当∠DAB为多少度时，四边形BECD为菱形？并说明理由．
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点O．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）若∠AOE＝60°，AE＝4，求矩形ADCE对角线的长．
6．如图1，在正方形ABCD的外侧，作两个等边三角形ADE和DCF，连接AF，BE．
（1）请判断：AF与BE的数量关系是　 　．位置关系是　 　．
（2）如图2，若将条件“两个等边三角形ADE和DCF”变为“两个等腰三角形ADE和DCF，且EA＝ED＝FD＝FC”，第（1）问中的结论是否仍然成立？请做出判断并给与证明．
7．如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向
平移得到△A1C1D1，连接AD1、BC1．已知∠ACB＝30°，AB＝1，
（1）求证：△A1AD1≌△CC1B；
（2）当CC1＝1时，求证：四边形ABC1D1是菱形．
8．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，M、N分别为线段AB、BC上的两点，且BM＝CN，AN、CM相交于点E
（1）证明：△BCM≌△CAN．
（2）求∠AED的度数．
（3）证明：AE+CE＝DE．
9．如图，在直角坐标系中，长方形纸片ABCD的边AB∥CO，点B坐标为（8，4），若把图形按如图所示折叠，使B、D两点重合，折痕为EF．
（1）求证：△DEF为等腰三角形；
（2）求折痕EF的长．
10．如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，OA＝4，AB＝6，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣C﹣B﹣A﹣O的线路移动．
（1）点B的坐标为　 　；
（2）当点P移动4秒时，请指出点P的位置，并求出点P的坐标．
11．已知：如图，在△ABC中，AC＝BC，点E为AB的中点，DC∥AB，且DC＝AB，连接CE，DE．
（1）四边形AECD是什么特殊四边形？并证明你的结论．
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AECD是正方形？并证明你的结论．
12．邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又剩下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作后，余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形，例如：如图1，?ABCD中，若AB＝1，BC＝2，则?ABCD为1阶准菱形．
（1）理解与判断：
邻边长分别为1和3的平行四边形是　 　阶准菱形；
邻边长分别为3和4的平行四边形是　 　阶准菱形；
（2）操作、探究与计算：
①已知?ABCD的邻边长分别为2，a（a＞2），且是3阶准菱形，请画出?ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值；
②已知?ABCD的邻边长分别为a，b（a＞b），满足a＝7b+r，b＝4r，请写出?ABCD是几阶准菱形．
13．（1）如图1，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且∠EAF＝45°，则有BE+DF＝　 　．若AB＝2，则△CEF的周长为　 　．
（2）如图2，四边形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，点E，F分别在BC，CD上，且∠EAF＝45°，试判断BE，EF，DF之间的数量关系，并说明理由．
14．如图，在正方形ABCD中，E是AB边上一点，G是AD延长线上一点，BE＝DG，连接EG，CF⊥EG于点H，交AD于点F，连接CE、BH．
（1）求证：∠CEH＝45°；
（2）求证：BE+BC＝BH；
（3）若CD＝6，BH＝4，求FG的长．
15．探究：如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，连接EF．把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合．求证：EF＝BE+DF．
拓展：如图②，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足怎样的数量关系时，EF＝BE+DF仍成立，不必说明理由．
参考答案
1．（1）证明：∵O是AC中点，
∴AO＝CO
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE＝CF；
（2）解：①菱形．
∵AE∥CF且AE＝CF，
∴AECF是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴AECF是菱形；
②∵AECF是矩形，
∴AF⊥BC．
∵∠B＝60°，AB＝1，
∴BF＝AF＝，
∵BC＝2，
∴FC＝，
在Rt△AFC中AF＝FC＝，
∴AC＝，
又∵AFCE是矩形
∴EF＝AC＝．
2．解：（1））∵AC＝8，BC＝6，∠ACB＝90°，
∴AB＝＝10，
∵O为AB中点，
∴AO＝AB＝5，
∵AO＝AM，
∴AM＝5，
∴CM＝3，
∴t＝3；
（2）①当CO＝CM时，CM＝5，
∴t＝5，
②当MC＝MO时，t2＝32+（4﹣t）2，
解得：t＝；
③当CO＝OM时，M与A点重合，
∴t＝8；
综上所述，当△COM是等腰三角形时，t的值为5或或8．
3．（1）证明：∵D，E分别是AC，AB的中点，
∴DE＝BC，DE∥BC，
∵EF＝2DE，
∴EF＝BC，又DE∥BC，
∴四边形ECBF是平行四边形，
∴CE＝BF；
（2）解：∠A＝30°时，四边形BCEF的菱形，
理由如下：∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，BC＝AB＝BE，
∴△BEC是等边三角形，
∵四边形ECBF是平行四边形，
∴四边形ECBF是菱形．
4．（1）证明：四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
又∵BE＝AB，
∴BE＝CD，BE∥CD，
∴四边形BECD 是平行四边形，
∴BD＝EC；
（2）四边形BECD是菱形．
理由：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，∵∠DAB＝60°，
∴△ADB，△DCB是等边三角形，
∴DC＝DB，
∵四边形BECD是平行四边形，
∴四边形BECD是菱形．
5．（1）证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AB＝DE，
又∵AB＝AC，
∴DE＝AC．
∵AB＝AC，D为BC中点，
∴∠ADC＝90°，
又∵D为BC中点，
∴CD＝BD．
∴CD∥AE，CD＝AE．
∴四边形AECD是平行四边形，
又∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形．
（2）解：∵四边形ADCE是矩形，
∴AO＝EO，
∴△AOE为等边三角形，
∴AO＝4，
故AC＝8．
6．解：（1）AF＝BE；AF⊥BE．…（2分）
理由如下：如图1所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝CD，
∵△ADE和△DCF是等边三角形，
∴∠DAE＝∠CDF＝60°，AE＝AD，DF＝CD，
∴AE＝DF，∠BAE＝∠ADF＝150°，
在△BAE和△ADF中，
，
∴△BAE≌△ADF（SAS），
∴AF＝BE，∠ABE＝∠DAF，
∵∠DAF+∠BAF＝90°，
∴∠ABE+∠BAF＝90°，
∴∠AMB＝90°，
∴AF⊥BE；
故答案为：AF＝BE，AF⊥BE．
（2）结论成立．…（3分）
（不写此结论，给出正确证明，不扣分）
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BA＝AD＝DC，∠BAD＝∠ADC＝90°．
在△EAD和△FDC中，
，
∴△EAD≌△FDC．
∴∠EAD＝∠FDC．
∴∠EAD+∠DAB＝∠FDC+∠CDA，
即∠BAE＝∠ADF．…（5分）
在△BAE和△ADF中，
，
∴△BAE≌△ADF．
∴BE＝AF，∠ABE＝∠DAF…（7分）
∵∠DAF+∠BAF＝90°，
∴∠ABE+∠BAF＝90°，
∴∠AMB＝90°，
∴AF⊥BE．…（8分）
7．（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴BC＝AD，BC∥AD，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，
∴∠AA1 D1＝∠DAC，A1D1＝AD，AA1＝CC1，
∴∠AA1 D1＝∠ACB，BC＝A1D1，
在△A1AD1与△CC1B中，
，
∴△A1AD1≌△CC1B；
（2）∵∠ACB＝30°，
∴∠CAB＝60°，
∵AB＝1，
∴AC＝2，
∵CC1＝1，
∴AC1＝1，
∴△AC1B是等边三角形，
∵AB＝CD，CD＝C1D1，
∴AB＝C1D1，
∴四边形ABC1D1是平行四边形，
又AB＝BC1，
∴四边形ABC1D1是菱形；
8．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵∠B＝60°，
∴△ACD，△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，∠B＝∠ACN＝60°，
在△BCM和△CAN中，
，
∴△BCM≌△CAN（SAS）．
（2）∵△BCM≌△CAN，
∴∠BCM＝∠CAN，
∴∠AEM＝∠ACE+∠EAC＝∠ACE+∠BCM＝60°．
如图，作DG⊥AN于G，DH⊥MC，交MC的延长线于H．
∵∠AEM＝60°，
∴∠AEC＝120°，
∵∠DGE＝∠H＝90°，
∴∠GEH+∠GDH＝180°，
∴∠GDH＝∠ADC＝60°，
∴∠ADG＝∠CDH，
在△DGA和△DHC中，
，
∴△DGA≌△DHC（AAS），
∴DG＝DH，
∵DG⊥AN，DH⊥MC，
∴∠DEG＝∠DEH，
∴DE平分∠AEC，
即∠AED＝60°．
（3）证明：由（2）可知，∠GED＝60°，
在Rt△DEG中，∵∠EDG＝30°，
∴DE＝2EG，
在△DEG和△DEH中，
，
△DEG≌△DEH（AAS），
∴EG＝EH，
∵△DGA≌△DHC，
∴GA＝CH，
∴EA+EC＝EG+AG+EH﹣CH＝2EG＝DE，
即EA+EC＝ED．
9．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥OC，
∴∠BEF＝∠OFE，
由折叠的性质可得：∠BEF＝∠OEF，
∴∠OEF＝∠OFE，
∴OE＝OF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）设BE＝OE＝x，则AE＝8﹣x，
在Rt△AEO中，AE2+OA2＝OE2，
∴（8﹣x）2+42＝x2，
解得：x＝5，
∴OF＝OE＝5，AE＝OG＝3，
∴E（3，4），F（5，0），
∴EF＝＝2．
10．解：（1）∵在长方形OABC中，OA＝4，AB＝6，
∴点B的坐标是（4，6）；
（2）∵点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣C﹣B﹣A﹣O的线路移动，
∴2×4＝8，
∵OA＝4，OC＝6，
∴当点P移动4秒时，在线段CB上，离点C的距离是：8﹣6＝2，
即当点P移动4秒时，此时点P在线段CB上，离点C的距离是2个单位长度，点P的坐标是（2，6）．
故答案为：（4，6）．
11．（1）四边形AECD是矩形，
证明：∵DC＝AB，E为AB的中点，
∴CD＝BE＝AE．
又∵DC∥AB，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AC＝BC，E为AB中点，
∴CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∴四边形AECD是矩形；
（2）当△ABC满足∠ACB＝90°时，可使得四边形AECD为正方形，
证明：∵∠ACB＝90°，E为AB的中点，
∴AE＝CE＝AB，
∵四边形AECD是矩形，
∴四边形AECD是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．
12．解：（1）邻边长分别为1和3的平行四边形是2阶准菱形；
邻边长分别为3和4的平行四边形是3阶准菱形；
故答案为2，3．
（2）①如图所示，a＝8或a＝5或a＝或a＝；
②10阶准菱形，如图所示．
∵a＝7b+r，b＝4r，
∴a＝7×4r+r＝29r，如图所示：
故?ABCD是10阶准菱形．
13．解：（1）延长EB至H，使BH＝DF，连接AH，如图1，
∵在正方形ABCD中，
∴∠ADF＝∠ABH，AD＝AB，
在△ADF和△ABH中，
∵，
∴△ADF≌△ABH（SAS），
∴∠BAH＝∠DAF，AF＝AH，
∴∠FAH＝90°，
∴∠EAF＝∠EAH＝45°，
在△FAE和△HAE中，
∵，
∴△FAE≌△HAE（SAS），
∴EF＝HE＝BE+HB，
∴EF＝BE+DF，
∴△CEF的周长＝EF+CE+CF＝BE+CE+DF+CF＝BC+CD＝2AB＝4．
故答案为：EF；4．
（2）延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，如图2，
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠ABM＝180°，
∴∠D＝∠ABM，
在△ABM和△ADF中，
，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AF＝AM，∠DAF＝∠BAM，
∵∠BAD＝∠C＝90°，∠EAF＝45°，
即∠BAD＝2∠EAF，
∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，
∴∠EAB+∠BAM＝∠EAM＝∠EAF，
在△FAE和△MAE中，
，
∴△FAE≌△MAE（SAS），
∴EF＝EM＝BE+BM＝BE+DF，
即EF＝BE+DF．
14．（1）证明：如图1中，连接CG．
∵四边形ABCD是正方形，
∴CB＝CD，∠CBE＝∠ADC＝∠CDG＝∠BCD＝90°，BE＝DG，
∴△CBE≌△CDG，
∴∠BCE＝∠DCG，CE＝CG，
∴∠ECG＝∠BCD＝90°，
∴△ECG是等腰直角三角形，
∴∠CEH＝45°．
（2）如图2中，作HM⊥BC于M，HN⊥AB于N．
∵∠EBC＝∠EHC＝90°，
∴∠EBC+∠EHC＝180°，
∴E、B、C、H四点共圆，
∴∠HBC＝∠HEC＝45°，
∴∠HBN＝∠HBM＝45°，
∵HM⊥BC，HN⊥BA，
∴HM＝HN，
易知HE＝HC，BN＝BM＝HM＝HN，
∴△HNE≌△HMC，
∴NE＝CM，
∴EB+BC＝BN﹣EN+BM+CM＝2BM＝BH．
（3）∵BC＝CD＝6，BH＝4，BE+BC＝BH＝8，
∴BE＝2，BM＝BN＝HN＝HM＝4，CM＝2，
在Rt△BEC中，EC＝＝2，
∴EH＝CH＝GH＝2，
∵AG∥BC，
∴∠GFH＝∠HCM，∵∠FHG＝∠HMC，
∴△GFH∽△HCM，
∴＝，
∴＝，
∴FG＝5．
15．解：（1）∵AB＝AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．
∴∠BAE＝∠DAG，
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠EAF＝∠FAG，
∵∠ADC＝∠B＝90°，
∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线，
在△AFE和△AFG中，
∴△AFE≌△AFG（SAS），
∴EF＝FG，
即：EF＝BE+DF．
（2）∠B+∠D＝180°时，EF＝BE+DF；
∵AB＝AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，
∴∠BAE＝∠DAG，
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠EAF＝∠FAG，
∵∠ADC+∠B＝180°，
∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线，
在△AFE和△AFG中，
∴△AFE≌△AFG（SAS），
∴EF＝FG，
即：EF＝BE+DF．