2020-2021学年人教版数学八年级下册：第十八章 平行四边形 解答题专题练习试卷（Word版含答案提升篇）
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年人教版数学八年级下册：第十八章 平行四边形 解答题专题练习试卷（Word版含答案提升篇） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 225.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-04-06 08:12:49 | ||
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文档简介
人教版数学八年级下册：第十八章
平行四边形
解答题专题练习（提升篇）
1．如图，在?ABCD中，点E是边CD的中点，连接BE并延长，交AD延长线于点F，连接BD、CF．
（1）求证：△CEB≌△DEF；
（2）若AB＝BF，试判断四边形BCFD的形状，并证明．
2．已知，如图，在Rt△ABC中，E是两锐角平分线的交点，ED⊥BC，EF⊥AC，垂足分别为D，F，求证：四边形CDEF是正方形．
3．如图，在?ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥DC于点F，AE＝AF．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠EAF＝60°，CF＝2，求AF的长．
4．已知P是正方形ABCD边BC上一点，连接AP，作PE⊥AP，且∠DCE＝45°．若PE和CE交于E点，连接AE交CD于F．
（1）求证：EP＝AP；
（2）若正方形的边长为4，CF＝3，求CE的长．
5．点O是三角形ABC所在平面内一动点，连接OB、OC，并将AB、OB、OC、AC中点D、E、F、G，依次连接起来，设DEFG能构成四边形．
（1）如图，当点O在△ABC内时，求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）若四边形DEFG是正方形，则线段AO与BC应满足条件
．（不需写出过程）
6．在边长为5的正方形ABCD中，点E在边CD所在直线上，连接BE，以BE为边，在BE的下方作正方形BEFG，并连接AG．
（1）如图1，当点E与点D重合时，AG＝
；
（2）如图2，当点E在线段CD上时，DE＝2，求AG的长；
（3）若AG＝，请直接写出此时DE的长．
7．已知矩形纸片OBCD的边OB在x轴上，OD在y轴上，点C在第一象限，且OB＝8，OD＝6．现将纸片折叠，折痕为EF
（点E、F是折痕与矩形的边的交点），点P为点D的对应点，再将纸片还原．
（Ⅰ）若点P落在矩形OBCD的边OB上，
①如图①，当点E与点O重合时，求点F的坐标；
②如图②，当点E在OB上，点F在DC上时，EF与DP交于点G，若OP＝7，求点F的坐标；
（Ⅱ）若点P落在矩形OBCD的内部，且点E，F分别在边OD，边DC上，当OP取最小值时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．
8．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点（不与A、C重合），过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F
（1）若CE＝8，CF＝6，求OC的长；
（2）当点O在边AC上运动到何处且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？并说明理由．
9．如图，?ABCD中，CG⊥AB于点G，∠ABF＝45°，F在CD上，BF交CG于点E，连接AE，AE⊥AD．
（1）若BG＝1，BC＝，求EF的长度；
（2）求证：AB﹣BE＝CF．
10．如图，△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．
（1）若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长；
（2）求证：EF垂直平分AD．
11．如图1，△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，分别以AB，BC为边向外作正方形ABFG，BCED，连接AD，CF，AD与CF交于点M，AB与CF交于点N．
（1）求证：△ABD≌△FBC；
（2）如图2，在图1基础上连接AF和FD，若AD＝6，求四边形ACDF的面积．
12．已知：如图∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分别是AC、BD的中点．求证：MN⊥BD．
13．已知：如下图，△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，E为BC的中点，连接DE、AE．若DC∥AE，在DC上取一点F，使得DF＝DE，连接EF交AD于O．
（1）求证：EF⊥DA．
（2）若BC＝4，AD＝2，求EF的长．
14．在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，连接AC、BD，E、F分别是AC、BD的中点，连接EF，试证明EF⊥BD．
15．如图，Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∠ACB＝30°，D是AB上一点（不与A、B重合），DE⊥BC于E，若P是CD的中点，请判断△PAE的形状，并说明理由．
参考答案
1．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AF∥BC，
∴∠AFB＝∠CBF，∠FDC＝∠DCB，
∵点E是CD的中点，
∴BE＝EF，
∴△CEB≌△DEF．
（2）解：结论：四边形BCFD是矩形，
理由：∵△CEB≌△DEF，
∴CE＝DE，
∵BE＝EF，
∴四边形BCFD是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∵AB＝BF，
∴BF＝CD，
∴?BCFD为矩形．
2．证明：过E作EM⊥AB，
∵AE平分∠CAB，
∴EF＝EM，
∵EB平分∠CBA，
∴EM＝ED，
∴EF＝ED，
∵ED⊥BC，EF⊥AC，△ABC是直角三角形，
∴∠CFE＝∠CDE＝∠C＝90°，
∴四边形EFDC是矩形，
∵EF＝ED，
∴四边形CDEF是正方形．
3．（1）证法一：连接AC，如图．
∵AE⊥BC，AF⊥DC，AE＝AF，
∴∠ACF＝∠ACE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠DAC＝∠ACB．
∴∠DAC＝∠DCA，
∴DA＝DC，
∴四边形ABCD是菱形．
证法二：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D．
∵AE⊥BC，AF⊥DC，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
又∵AE＝AF，
∴△AEB≌△AFD．
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
（2）连接AC，如图．
∵AE⊥BC，AF⊥DC，∠EAF＝60°，
∴∠ECF＝120°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ACF＝60°，
在Rt△CFA中，AF＝CF?tan∠ACF＝2．
4．（1）证明：连接AC，过P点作PG⊥BC交AC于G点，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝45°，∠BCD＝90°，
∵PG⊥BC，
∴∠GPC＝90°，
∴∠PGC＝45°，
∴PG＝PC，
∵∠DCE＝45°，
∴∠AGP＝∠ECP＝90°+45°＝135°，
∵AP⊥PE，
∴∠APE＝∠GPC＝90°，
∴∠APG＝∠EPC＝90°﹣∠GPE，
在△PAG和△PEC中
∴△PAG≌△PEC（ASA），
∴PE＝PA；
（2）解：延长CB到Q，使BQ＝DF，过E作EH⊥BC，EH交BC延长线于H，连接AQ，PF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠DAB＝∠ABC＝90°，AD＝AB，
∴∠ABQ＝∠D＝90°，
在△ABQ和△ADF中
∴△ABQ≌△ADF（SAS），
∴AQ＝AF，∠DAF＝∠QAB，
∵∠APE＝90°，AP＝PE，
∴∠PAE＝∠AEP＝45°，
∴∠AQP＝∠QAB+∠BAP＝∠DAF+∠BAP＝∠DAB﹣∠PAE＝90°﹣45°＝45°＝∠PAE，
在△QAP和△FAP中
∴△QAP≌△FAP（SAS），
∴QP＝PE，
∵EH⊥BC，∠ABP＝90°，∠APE＝90°，
∴∠ABP＝∠H＝90°，∠APB＝∠PEH＝90°﹣∠EPH，
在△PEH和△APB中
∴△PEH≌△APB（AAS），
∴BP＝EH，
∵∠H＝90°，∠DCE＝45°，
∴∠ECH＝45°＝∠CEH，
∴CH＝EH＝BP，
设EH＝CH＝BP＝x，
∴PC＝4﹣x，PF＝BQ+BP＝DF+BP＝4﹣3+x＝1+x，
在Rt△PCF中，由勾股定理得：（1+x）2＝（4﹣x）2+32，
解之得：x＝，
即CH＝EH＝，
∴在Rt△CHE中，由勾股定理得：CE＝CH＝．
5．（1）证明：∵AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G，
∴DG∥BC，DG＝BC，EF∥BC，EF＝BC，
∴DG∥EF，DG＝EF，
∴四边形DEFG是平行四边形；
（2）解：∵D、E分别是AB、OB的中点，
∴DE∥OA，DE＝OA，
∵四边形DEFG是正方形，
∴DE⊥EF，DE＝EF，
∴AO与BC垂直且相等．
故答案为：垂直且相等．
6．解：（1）如图1，连接CG，
∵四边形ABCD和四边形EBGF是正方形，
∴∠CDB＝∠CBD＝45°，∠DBG＝90°，BD＝BG，
∴∠CBG＝45°，
∴∠CBG＝∠CBD，
∵BC＝BC，
∴△CBD≌△CBG（SAS），
∴∠DCB＝∠BCG＝90°，DC＝CG＝5，
∴G，C，D三点共线，
∴AG＝＝＝5；
故答案为：5；
（2）如图2，过点G作GK⊥AB，交AB的延长线于K，
∵DE＝2，DC＝5，
∴CE＝3，
∵∠EBG＝∠EBC+∠CBG＝90°，∠CBG+∠GBK＝90°，
∴∠EBC＝∠GBK，
∵BE＝BG，∠K＝∠BCE＝90°，
∴△BCE≌△BKG（AAS），
∴CE＝KG＝3，BC＝BK＝5，
∴AK＝10，
由勾股定理得：AG＝＝；
（3）分三种情况：
①当点E在CD的延长线上时，如图3，同理知△BCE≌△BKG（AAS），
∴BC＝BK＝5，
∵AG＝，
由勾股定理得：KG＝＝，
∴CE＝KG＝，此种情况不成立；
②当点E在边CD上时，如图4，
同理得：DE＝；
③当点E在DC的延长线上时，如图5，
同理得CE＝GK＝，
∴DE＝5+＝，
综上，DE的长是或．
7．解：（Ⅰ）①∵折痕为EF，点P为点D的对应点，
∴△DOF≌△POF．
∴∠DOF＝∠POF＝45°．
∵四边形OBCD是矩形，
∴∠ODF＝90°．
∴∠DFO＝∠DOF＝45°．
∴DF＝DO＝6．
∴点F的坐标为（6，6）；
②∵折痕为EF，点P为点D的对应点，
∴DG＝PG，EF⊥PD．
∵四边形OBCD是矩形，
∴DC∥OB，
∴∠FDG＝∠EPG．
∵∠DGF＝∠PGE，
∴△DGF≌△PGE（ASA）．
∴DF＝PE．
∵DF∥PE，
∴四边形DEPF是平行四边形．
∵EF⊥PD，
∴?DEPF是菱形，
设菱形的边长为x，则DE＝EP＝x．
∵OP＝7，
∴OE＝7﹣x，
在Rt△ODE中，由勾股定理得OD2+OE2＝DE2．
∴62+（7﹣x）2＝x2，
解得．
∴，
∴点F的坐标为（，6）；
（Ⅱ）P（，）．
8．解：（1）∵OF是∠BCA的外角平分线，
∴∠OCF＝∠FCD，
又∵MN∥BC，
∴∠OFC＝∠FCD，
∴∠OFC＝∠OCF，
∴OF＝OC，
∴OE＝OF；
∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F
∴∠ECF＝90°，
∵CE＝8，CF＝6，
∴EF＝＝10，
∵CE是∠ACB的角平分线，
∴∠ACE＝∠BCE，
又∵MN∥BC，
∴∠NEC＝∠ECB，
∴∠NEC＝∠ACE，
∴OE＝OC，
∴CO是△ECF上的中线，
∴CO＝EF＝5；
（2）点O是AC的中点且∠ACB＝90°，
理由：∵O为AC中点，
∴OA＝OC，
∵由（1）知OE＝OF，
∴四边形AECF为平行四边形；
∵∠1＝∠2，∠4＝∠5，∠1+∠2+∠4+∠5＝180°，
∴∠2+∠5＝90°，即∠ECF＝90°，
∴?AECF为矩形，
又∵AC⊥EF．
∴?AECF是正方形．
∴当点O为AC中点且△ABC是以∠ACB为直角三角形时，四边形AECF是正方形．
9．解：（1）∵CG⊥AB，BG＝1，，
∴．
∵∠ABF＝45°，
∴△BGE是等腰直角三角形，
∴EG＝BG＝1，
∴EC＝CG﹣EG＝3﹣1＝2，
∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABF＝45°，CG⊥AB，
∴∠CFE＝∠ABF＝45°，∠FCE＝∠BGE＝90°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴EF＝＝2；
（2）证明：过E作EH⊥BE交AB于H，
∵∠ABF＝45°，∠BEH＝90°，
∴△BEH是等腰直角三角形，
∴，BE＝HE，
∴∠BHE＝45°，
∴∠AHE＝180°﹣∠BHE＝180°﹣45°＝135°，
由（1）知，△BGE和△ECF都是等腰直角三角形，
∴∠BEG＝45°，CE＝CF，
∴∠BEC＝180°﹣∠BEG＝180°﹣45°＝135°，
∴∠AHE＝∠CEB，
∵AE⊥AD，
∴∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠DAE+∠EAB＝90°+∠EAB，
由（1）知，∠FCE＝90°，
∴∠BCD＝∠FCE+∠BCG＝90°+∠BCG，
∵在平行四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD，
∴90°+∠EAB＝90°+∠BCG，
∴∠EAB＝∠BCG，
即∠EAH＝∠BCE，
在△△EAH和△BCE中，
∴△EAH≌△BCE（AAS），
∴AH＝CE＝CF，
∴AB﹣BE＝AB﹣BH＝AH＝CF，
即AB﹣BE＝CF．
10．（1）解：∵AD是高，E、F分别是AB、AC的中点，
∴DE＝AE＝AB＝×10＝5，DF＝AF＝AC＝×8＝4，
∴四边形AEDF的周长＝AE+DE+DF+AF＝5+5+4+4＝18；
（2）证明：∵DE＝AE，DF＝AF，
∴EF垂直平分AD．
11．（1）证明：∵四边形ABFG和四边形BCED是正方形，
∴BC＝BD，AB＝BF，∠CBD＝∠ABF＝90°，
∴∠CBD+∠ABC＝∠ABF+∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBF，
在△ABD和△FBC中
，
∴△ABD≌△FBC（SAS）；
（2）解：∵△ABD≌△FBC，
∴∠BAD＝∠BFC，AD＝FC＝6，
∴∠AMF＝180°﹣（∠BAD+∠ANM）
＝180°﹣（∠BFC+∠BNM）
＝180°﹣（180°﹣∠ABF）
＝180°﹣（180°﹣90°）
＝90°，
即AD⊥CF，
∴四边形ACDF的面积S＝S△ACD+S△ADF
＝+
＝
＝
＝18．
12．证明：如图，连接BM、DM，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点，
∴BM＝DM＝AC，
∵点N是BD的中点，
∴MN⊥BD．
13．解：（1）∵△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，E为BC的中点，
∴DE＝AE＝BC，
∴∠EDA＝∠EAD，
∵DC∥AE，
∴∠ADC＝∠EAD，
∴∠ADC＝∠EDA，
∵DF＝DE，
∴EF⊥DA；
（2）∵BC＝4，
∴DE＝BC＝2，
∵DE＝AE，，
∴DO＝AD＝，
在Rt△DEO中，EO＝＝1，
∵DF＝DE，
∴EF＝2EO＝2．
14．证明：如图，连接BE、DE，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点，
∴BE＝DE＝AC，
∵F是BD的中点，
∴EF⊥BD．
15．解：△PAE的形状为等边三角形；理由如下：
∵在Rt△CAD中，∠CAD＝90°，P是斜边CD的中点，
∴PA＝PC＝CD，
∴∠ACD＝∠PAC，
∴∠APD＝∠ACD+∠PAC＝2∠ACD，
同理：在Rt△CED中，PE＝PC＝CD，∠DPE＝2∠DCB，
∴PA＝PE，即△PAE是等腰三角形，
∴∠APE＝2∠ACB＝2×30°＝60°，
∴△PAE是等边三角形．
平行四边形
解答题专题练习（提升篇）
1．如图，在?ABCD中，点E是边CD的中点，连接BE并延长，交AD延长线于点F，连接BD、CF．
（1）求证：△CEB≌△DEF；
（2）若AB＝BF，试判断四边形BCFD的形状，并证明．
2．已知，如图，在Rt△ABC中，E是两锐角平分线的交点，ED⊥BC，EF⊥AC，垂足分别为D，F，求证：四边形CDEF是正方形．
3．如图，在?ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥DC于点F，AE＝AF．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠EAF＝60°，CF＝2，求AF的长．
4．已知P是正方形ABCD边BC上一点，连接AP，作PE⊥AP，且∠DCE＝45°．若PE和CE交于E点，连接AE交CD于F．
（1）求证：EP＝AP；
（2）若正方形的边长为4，CF＝3，求CE的长．
5．点O是三角形ABC所在平面内一动点，连接OB、OC，并将AB、OB、OC、AC中点D、E、F、G，依次连接起来，设DEFG能构成四边形．
（1）如图，当点O在△ABC内时，求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）若四边形DEFG是正方形，则线段AO与BC应满足条件
．（不需写出过程）
6．在边长为5的正方形ABCD中，点E在边CD所在直线上，连接BE，以BE为边，在BE的下方作正方形BEFG，并连接AG．
（1）如图1，当点E与点D重合时，AG＝
；
（2）如图2，当点E在线段CD上时，DE＝2，求AG的长；
（3）若AG＝，请直接写出此时DE的长．
7．已知矩形纸片OBCD的边OB在x轴上，OD在y轴上，点C在第一象限，且OB＝8，OD＝6．现将纸片折叠，折痕为EF
（点E、F是折痕与矩形的边的交点），点P为点D的对应点，再将纸片还原．
（Ⅰ）若点P落在矩形OBCD的边OB上，
①如图①，当点E与点O重合时，求点F的坐标；
②如图②，当点E在OB上，点F在DC上时，EF与DP交于点G，若OP＝7，求点F的坐标；
（Ⅱ）若点P落在矩形OBCD的内部，且点E，F分别在边OD，边DC上，当OP取最小值时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．
8．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点（不与A、C重合），过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F
（1）若CE＝8，CF＝6，求OC的长；
（2）当点O在边AC上运动到何处且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？并说明理由．
9．如图，?ABCD中，CG⊥AB于点G，∠ABF＝45°，F在CD上，BF交CG于点E，连接AE，AE⊥AD．
（1）若BG＝1，BC＝，求EF的长度；
（2）求证：AB﹣BE＝CF．
10．如图，△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．
（1）若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长；
（2）求证：EF垂直平分AD．
11．如图1，△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，分别以AB，BC为边向外作正方形ABFG，BCED，连接AD，CF，AD与CF交于点M，AB与CF交于点N．
（1）求证：△ABD≌△FBC；
（2）如图2，在图1基础上连接AF和FD，若AD＝6，求四边形ACDF的面积．
12．已知：如图∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分别是AC、BD的中点．求证：MN⊥BD．
13．已知：如下图，△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，E为BC的中点，连接DE、AE．若DC∥AE，在DC上取一点F，使得DF＝DE，连接EF交AD于O．
（1）求证：EF⊥DA．
（2）若BC＝4，AD＝2，求EF的长．
14．在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，连接AC、BD，E、F分别是AC、BD的中点，连接EF，试证明EF⊥BD．
15．如图，Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∠ACB＝30°，D是AB上一点（不与A、B重合），DE⊥BC于E，若P是CD的中点，请判断△PAE的形状，并说明理由．
参考答案
1．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AF∥BC，
∴∠AFB＝∠CBF，∠FDC＝∠DCB，
∵点E是CD的中点，
∴BE＝EF，
∴△CEB≌△DEF．
（2）解：结论：四边形BCFD是矩形，
理由：∵△CEB≌△DEF，
∴CE＝DE，
∵BE＝EF，
∴四边形BCFD是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∵AB＝BF，
∴BF＝CD，
∴?BCFD为矩形．
2．证明：过E作EM⊥AB，
∵AE平分∠CAB，
∴EF＝EM，
∵EB平分∠CBA，
∴EM＝ED，
∴EF＝ED，
∵ED⊥BC，EF⊥AC，△ABC是直角三角形，
∴∠CFE＝∠CDE＝∠C＝90°，
∴四边形EFDC是矩形，
∵EF＝ED，
∴四边形CDEF是正方形．
3．（1）证法一：连接AC，如图．
∵AE⊥BC，AF⊥DC，AE＝AF，
∴∠ACF＝∠ACE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠DAC＝∠ACB．
∴∠DAC＝∠DCA，
∴DA＝DC，
∴四边形ABCD是菱形．
证法二：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D．
∵AE⊥BC，AF⊥DC，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
又∵AE＝AF，
∴△AEB≌△AFD．
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
（2）连接AC，如图．
∵AE⊥BC，AF⊥DC，∠EAF＝60°，
∴∠ECF＝120°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ACF＝60°，
在Rt△CFA中，AF＝CF?tan∠ACF＝2．
4．（1）证明：连接AC，过P点作PG⊥BC交AC于G点，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝45°，∠BCD＝90°，
∵PG⊥BC，
∴∠GPC＝90°，
∴∠PGC＝45°，
∴PG＝PC，
∵∠DCE＝45°，
∴∠AGP＝∠ECP＝90°+45°＝135°，
∵AP⊥PE，
∴∠APE＝∠GPC＝90°，
∴∠APG＝∠EPC＝90°﹣∠GPE，
在△PAG和△PEC中
∴△PAG≌△PEC（ASA），
∴PE＝PA；
（2）解：延长CB到Q，使BQ＝DF，过E作EH⊥BC，EH交BC延长线于H，连接AQ，PF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠DAB＝∠ABC＝90°，AD＝AB，
∴∠ABQ＝∠D＝90°，
在△ABQ和△ADF中
∴△ABQ≌△ADF（SAS），
∴AQ＝AF，∠DAF＝∠QAB，
∵∠APE＝90°，AP＝PE，
∴∠PAE＝∠AEP＝45°，
∴∠AQP＝∠QAB+∠BAP＝∠DAF+∠BAP＝∠DAB﹣∠PAE＝90°﹣45°＝45°＝∠PAE，
在△QAP和△FAP中
∴△QAP≌△FAP（SAS），
∴QP＝PE，
∵EH⊥BC，∠ABP＝90°，∠APE＝90°，
∴∠ABP＝∠H＝90°，∠APB＝∠PEH＝90°﹣∠EPH，
在△PEH和△APB中
∴△PEH≌△APB（AAS），
∴BP＝EH，
∵∠H＝90°，∠DCE＝45°，
∴∠ECH＝45°＝∠CEH，
∴CH＝EH＝BP，
设EH＝CH＝BP＝x，
∴PC＝4﹣x，PF＝BQ+BP＝DF+BP＝4﹣3+x＝1+x，
在Rt△PCF中，由勾股定理得：（1+x）2＝（4﹣x）2+32，
解之得：x＝，
即CH＝EH＝，
∴在Rt△CHE中，由勾股定理得：CE＝CH＝．
5．（1）证明：∵AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G，
∴DG∥BC，DG＝BC，EF∥BC，EF＝BC，
∴DG∥EF，DG＝EF，
∴四边形DEFG是平行四边形；
（2）解：∵D、E分别是AB、OB的中点，
∴DE∥OA，DE＝OA，
∵四边形DEFG是正方形，
∴DE⊥EF，DE＝EF，
∴AO与BC垂直且相等．
故答案为：垂直且相等．
6．解：（1）如图1，连接CG，
∵四边形ABCD和四边形EBGF是正方形，
∴∠CDB＝∠CBD＝45°，∠DBG＝90°，BD＝BG，
∴∠CBG＝45°，
∴∠CBG＝∠CBD，
∵BC＝BC，
∴△CBD≌△CBG（SAS），
∴∠DCB＝∠BCG＝90°，DC＝CG＝5，
∴G，C，D三点共线，
∴AG＝＝＝5；
故答案为：5；
（2）如图2，过点G作GK⊥AB，交AB的延长线于K，
∵DE＝2，DC＝5，
∴CE＝3，
∵∠EBG＝∠EBC+∠CBG＝90°，∠CBG+∠GBK＝90°，
∴∠EBC＝∠GBK，
∵BE＝BG，∠K＝∠BCE＝90°，
∴△BCE≌△BKG（AAS），
∴CE＝KG＝3，BC＝BK＝5，
∴AK＝10，
由勾股定理得：AG＝＝；
（3）分三种情况：
①当点E在CD的延长线上时，如图3，同理知△BCE≌△BKG（AAS），
∴BC＝BK＝5，
∵AG＝，
由勾股定理得：KG＝＝，
∴CE＝KG＝，此种情况不成立；
②当点E在边CD上时，如图4，
同理得：DE＝；
③当点E在DC的延长线上时，如图5，
同理得CE＝GK＝，
∴DE＝5+＝，
综上，DE的长是或．
7．解：（Ⅰ）①∵折痕为EF，点P为点D的对应点，
∴△DOF≌△POF．
∴∠DOF＝∠POF＝45°．
∵四边形OBCD是矩形，
∴∠ODF＝90°．
∴∠DFO＝∠DOF＝45°．
∴DF＝DO＝6．
∴点F的坐标为（6，6）；
②∵折痕为EF，点P为点D的对应点，
∴DG＝PG，EF⊥PD．
∵四边形OBCD是矩形，
∴DC∥OB，
∴∠FDG＝∠EPG．
∵∠DGF＝∠PGE，
∴△DGF≌△PGE（ASA）．
∴DF＝PE．
∵DF∥PE，
∴四边形DEPF是平行四边形．
∵EF⊥PD，
∴?DEPF是菱形，
设菱形的边长为x，则DE＝EP＝x．
∵OP＝7，
∴OE＝7﹣x，
在Rt△ODE中，由勾股定理得OD2+OE2＝DE2．
∴62+（7﹣x）2＝x2，
解得．
∴，
∴点F的坐标为（，6）；
（Ⅱ）P（，）．
8．解：（1）∵OF是∠BCA的外角平分线，
∴∠OCF＝∠FCD，
又∵MN∥BC，
∴∠OFC＝∠FCD，
∴∠OFC＝∠OCF，
∴OF＝OC，
∴OE＝OF；
∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F
∴∠ECF＝90°，
∵CE＝8，CF＝6，
∴EF＝＝10，
∵CE是∠ACB的角平分线，
∴∠ACE＝∠BCE，
又∵MN∥BC，
∴∠NEC＝∠ECB，
∴∠NEC＝∠ACE，
∴OE＝OC，
∴CO是△ECF上的中线，
∴CO＝EF＝5；
（2）点O是AC的中点且∠ACB＝90°，
理由：∵O为AC中点，
∴OA＝OC，
∵由（1）知OE＝OF，
∴四边形AECF为平行四边形；
∵∠1＝∠2，∠4＝∠5，∠1+∠2+∠4+∠5＝180°，
∴∠2+∠5＝90°，即∠ECF＝90°，
∴?AECF为矩形，
又∵AC⊥EF．
∴?AECF是正方形．
∴当点O为AC中点且△ABC是以∠ACB为直角三角形时，四边形AECF是正方形．
9．解：（1）∵CG⊥AB，BG＝1，，
∴．
∵∠ABF＝45°，
∴△BGE是等腰直角三角形，
∴EG＝BG＝1，
∴EC＝CG﹣EG＝3﹣1＝2，
∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABF＝45°，CG⊥AB，
∴∠CFE＝∠ABF＝45°，∠FCE＝∠BGE＝90°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴EF＝＝2；
（2）证明：过E作EH⊥BE交AB于H，
∵∠ABF＝45°，∠BEH＝90°，
∴△BEH是等腰直角三角形，
∴，BE＝HE，
∴∠BHE＝45°，
∴∠AHE＝180°﹣∠BHE＝180°﹣45°＝135°，
由（1）知，△BGE和△ECF都是等腰直角三角形，
∴∠BEG＝45°，CE＝CF，
∴∠BEC＝180°﹣∠BEG＝180°﹣45°＝135°，
∴∠AHE＝∠CEB，
∵AE⊥AD，
∴∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠DAE+∠EAB＝90°+∠EAB，
由（1）知，∠FCE＝90°，
∴∠BCD＝∠FCE+∠BCG＝90°+∠BCG，
∵在平行四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD，
∴90°+∠EAB＝90°+∠BCG，
∴∠EAB＝∠BCG，
即∠EAH＝∠BCE，
在△△EAH和△BCE中，
∴△EAH≌△BCE（AAS），
∴AH＝CE＝CF，
∴AB﹣BE＝AB﹣BH＝AH＝CF，
即AB﹣BE＝CF．
10．（1）解：∵AD是高，E、F分别是AB、AC的中点，
∴DE＝AE＝AB＝×10＝5，DF＝AF＝AC＝×8＝4，
∴四边形AEDF的周长＝AE+DE+DF+AF＝5+5+4+4＝18；
（2）证明：∵DE＝AE，DF＝AF，
∴EF垂直平分AD．
11．（1）证明：∵四边形ABFG和四边形BCED是正方形，
∴BC＝BD，AB＝BF，∠CBD＝∠ABF＝90°，
∴∠CBD+∠ABC＝∠ABF+∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBF，
在△ABD和△FBC中
，
∴△ABD≌△FBC（SAS）；
（2）解：∵△ABD≌△FBC，
∴∠BAD＝∠BFC，AD＝FC＝6，
∴∠AMF＝180°﹣（∠BAD+∠ANM）
＝180°﹣（∠BFC+∠BNM）
＝180°﹣（180°﹣∠ABF）
＝180°﹣（180°﹣90°）
＝90°，
即AD⊥CF，
∴四边形ACDF的面积S＝S△ACD+S△ADF
＝+
＝
＝
＝18．
12．证明：如图，连接BM、DM，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点，
∴BM＝DM＝AC，
∵点N是BD的中点，
∴MN⊥BD．
13．解：（1）∵△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，E为BC的中点，
∴DE＝AE＝BC，
∴∠EDA＝∠EAD，
∵DC∥AE，
∴∠ADC＝∠EAD，
∴∠ADC＝∠EDA，
∵DF＝DE，
∴EF⊥DA；
（2）∵BC＝4，
∴DE＝BC＝2，
∵DE＝AE，，
∴DO＝AD＝，
在Rt△DEO中，EO＝＝1，
∵DF＝DE，
∴EF＝2EO＝2．
14．证明：如图，连接BE、DE，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点，
∴BE＝DE＝AC，
∵F是BD的中点，
∴EF⊥BD．
15．解：△PAE的形状为等边三角形；理由如下：
∵在Rt△CAD中，∠CAD＝90°，P是斜边CD的中点，
∴PA＝PC＝CD，
∴∠ACD＝∠PAC，
∴∠APD＝∠ACD+∠PAC＝2∠ACD，
同理：在Rt△CED中，PE＝PC＝CD，∠DPE＝2∠DCB，
∴PA＝PE，即△PAE是等腰三角形，
∴∠APE＝2∠ACB＝2×30°＝60°，
∴△PAE是等边三角形．