2020-2021学年人教版八年级下册数学 18.2.3正方形 同步练习试卷（Word版含解析）

18.2.3正方形 同步练习
一．选择题
1．下列说法正确的是　　）
A．有一个角是直角的平行四边形是正方形
B．对角线互相垂直的矩形是正方形
C．有一组邻边相等的菱形是正方形
D．各边都相等的四边形是正方形
2．如图，正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，且AE＝AB，连接BE，DE，则∠CDE的度数为（　　）
A．20° B．22.5° C．25° D．30°
3．如图，四边形ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，△DCE为Rt△，∠CED＝90°，OE＝2，若CE?DE＝4，则正方形的面积为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．如图，正方形ABCD中，在BA延长线上取一点，使BE＝BD，连接DE，则∠EDA的度数为（　　）
A．10° B．15° C．30° D．22.5°
5．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，P为边BC上一点，且BP＝OB，则∠COP的度数为（　　）
A．15° B．22.5° C．25° D．17.5°
6．如图，以边长为4的正方形ABCD的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于E、F两点，则线段EF的最小值为（　　）
A．2 B．4 C． D．2
7．如图，已知边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别为AB、CD的中点，连接AC，点G、H在AC上，且AC＝4AG＝4CH，则四边形EHFG的面积为（　　）
A．8 B．4 C． D．
8．E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，求∠AEB的度数是（　　）
A．55° B．60° C．65° D．75°
9．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AD，DC上，AE＝DF＝1，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为（　　）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
10．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE＝AF，AC与EF相交于点G．下列结论：①AC垂直平分EF；②BE+DF＝EF；③当∠DAF＝15°时，△AEF为等边三角形；④当∠EAF＝60°时，∠AEB＝∠AEF．其中正确的结论是（　　）
A．①③ B．②④ C．①③④ D．②③④
二．填空题
11．一个正方形的对角线长为2，则其面积为　 　．
12．如图，点E为正方形ABCD对角线BD上一点，且BE＝BA，则∠DCE的度数为　 　．
13．如图，两个正方形边长分别为2、a（a＞2），图中阴影部分的面积为　 　．
14．如图所示，在边长为6的正方形ABCD外以CD为边作等腰直角△CDE，连接BE，交CD于点F，则CF＝　 　．
15．如图，已知正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在BC，CD上，且BE＝CF＝1，AE，BF交于点P，连接PD，则△APD的面积为　 　．
三．解答题
16．如图，AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，且AB＝AE，EF⊥AC，交BC于F，试说明EC＝EF＝BF．
17．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE＝BF．求证：∠ACF＝∠DBE．
18．正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．
（1）求证：EF＝CF+AE；
（2）当AE＝2时，求EF的长．
参考答案
一．选择题
1．解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，此选项错误，不符合题意；
B、对角线互相垂直的矩形是正方形，此选项正确，符合题意；
C、有一组邻边相等的菱形还是菱形，此选项错误，不符合题意；
D、四条边都相等的四边形是菱形，此选项错误，不符合题意．
故选：B．
2．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ADC＝90°，∠DAC＝45°，
∵AE＝AB，
∴AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝67.5°，
∴∠CDE＝90°﹣67.5°＝22.5°，
故选：B．
3．解：如图，过点O作OM⊥CE于M，作ON⊥DE交ED的延长线于N，
∵∠CED＝90°，
∴四边形OMEN是矩形，
∴∠MON＝90°，
∵∠COM+∠DOM＝∠DON+∠DOM，
∴∠COM＝∠DON，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OC＝OD，
在△COM和△DON中，
，
∴△COM≌△DON（AAS），
∴OM＝ON，CM＝DN，
∴四边形OMEN是正方形，
∵OE＝2，
∴2NE2＝OE2＝（2）2＝8，
∴NE＝ON＝2，
∵DE+CE＝DE+EM+MC＝DE+EM+DN＝EN+EM＝2EN＝4，
设DE＝a，CE＝b，
∴a+b＝4，
∵CE?DE＝4，
CD2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2×4＝8，
∴S正方形ABCD＝8．
故选：D．
4．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝45°＝∠ADB，
∵BE＝BD，
∴∠BDE＝67.5°，
∴∠EDA＝∠BDE﹣∠ADB＝22.5°，
故选：D．
5．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOC＝90°，∠OBC＝45°，
∵BP＝OB，
∴∠BOP＝∠BPO＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠COP＝90°﹣67.5°＝22.5°．
故选：B．
6．解：如图，连接EF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠EAO＝∠FDO＝45°，AO＝DO；
∵∠EOF＝90°，∠AOD＝90°，
∴∠AOE＝∠DOF；
在△AOE与△DOF中，
，
∴△AOE≌△DOF（ASA），
∴OE＝OF（设为λ）；
∴△EOF是等腰直角三角形，
由勾股定理得：
EF2＝OE2+OF2＝2λ2；
∴EF＝OE＝λ，
∵正方形ABCD的边长是4，
∴OA＝2，O到AB的距离等于2（O到AB的垂线段的长度），
由题意可得：2≤λ≤2，
∴2≤EF≤4．
所以线段EF的最小值为2．
故选：D．
7．解：如图，连接BD交AC于点O，连接EF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠EAG＝∠FCH，
∵点E、F分别为AB、CD的中点，
∴AE＝CF，
∵AC＝4AG＝4CH，
∴AG＝OG＝OH＝CH，
∴△EAG≌△FCH（SAS），
∴EG＝FH，∠AGE＝∠CHF，
∴∠EGH＝∠FHG，
∴EG∥FH，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∴GH与EF互相平分，
∴EF经过点O，
∵S△AEO＝S正方形ABCD＝×16＝2，
又∵AG＝OG，
∴S△EOG＝S△AEO＝1，
∴S平行四边形EGFH＝4S△EOG＝4．
故选：B．
8．解：∵E为正方形ABCD内一点，且△EDC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，∠EBC＝60°，AB＝BE＝BC，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝30°，
∴∠AEB＝∠BAE＝（180°﹣30°）＝75°，
故选：D．
9．解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD，
在△ABE和△DAF中，
∵，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠ABE+∠BEA＝90°，
∴∠DAF+∠BEA＝90°，
∴∠AGE＝∠BGF＝90°，
∵点H为BF的中点，
∴GH＝BF，
∵BC＝4、CF＝CD﹣DF＝4﹣1＝3，
∴BF＝＝5，
∴GH＝BF＝＝2.5，
故选：B．
10．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠D＝90°，∠ACD＝∠ACB＝45°，
∵AB＝AD，AE＝AF，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE＝DF，
∴CE＝CF，
又∵∠ACD＝∠ACB＝45°，
∴AC垂直平分EF，故①正确；
∵CE＝CF，∠BCD＝90°，AC垂直平分EF，
∴EG＝GF，
当AE平分∠BAC时，BE＝EG，即BE+DF＝EF，故②错误；
∵Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴∠DAF＝∠BAE＝15°，
∴∠EAF＝60°，
又∵AE＝AF，
∴△AEF是等边三角形，故③正确；
∵AE＝AF，∠EAF＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠AEF＝60°，
∵∠BAC＝45°，∠CAE＝30°，
∴∠BAE＝15°，
∴∠AEB＝75°≠∠AEF，故④错误；
故选：A．
二．填空题
11．解：方法一：∵四边形ABCD是正方形，
∴AO＝BO＝AC＝1，∠AOB＝90°，
由勾股定理得，AB＝，
S正＝（）2＝2．
方法二：因为正方形的对角线长为2，
所以面积为：2×2＝2．
故答案为：2．
12．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠DBC＝∠BDC＝45°，
∵BE＝BA＝BC，
∴∠BEC＝∠BCE＝67.5°，
∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCE＝90°﹣67.5°＝22.5°，
故答案为：22.5°．
13．解：阴影部分的面积＝
14．解：过点E作EG⊥BC，交BC的延长线于G，
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴∠DCE＝45°，CE＝CD，
∴∠ECG＝45°，
∴sin∠ECG＝＝，
∴EG＝CD，
∴CG＝EG＝CD，
∴BG＝BC+CG＝CD，
∵tan∠EBG＝，
∴＝，
∴CF＝CD，
又∵CD＝6，
∴CF＝2，
故答案为2．
15．解：如图，过点P作PH⊥AD于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠C＝90°，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF，
∵∠CBF+∠ABP＝90°，
∴∠BAE+∠ABP＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴AP⊥BF，
∴∠APB＝∠FPA＝90°，
∵正方形ABCD的边长为3，BE＝CF＝1，
∴AE＝＝＝，
∴cos∠BAP＝＝，
即＝，
∴AP＝，
∵PH⊥AD，
∴sin∠PAH＝sin∠BEA，
即＝，
∴＝，
∴PH＝，
∴△APD的面积为：AD?PH＝3×＝．
故答案为：．
三．解答题
16．解：在Rt△AEF和Rt△ABF中，
，
∴Rt△AEF≌Rt△ABF（HL），
∴FE＝FB．
∵正方形ABCD，
∴∠ACB＝∠BCD＝45°，
在Rt△CEF中，
∵∠ACB＝45°，
∴∠CFE＝45°，
∴∠ACB＝∠CFE，
∴EC＝EF，
∴FB＝EC＝EF．
17．证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠EAB＝∠CBF＝∠ABO＝∠BCO＝45°，
在△ABE与△BCF中，，
∴△ABE≌△BCF，
∴∠ABE＝∠BCF，
∴∠ACF＝∠DBE．
18．（1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，
∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°，AE＝CM，
∴F、C、M三点共线，
∴DE＝DM，∠EDM＝90°，
∴∠EDF+∠FDM＝90°，
∵∠EDF＝45°，
∴∠FDM＝∠EDF＝45°，
在△DEF和△DMF中，
∵，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF＝MF，
∴EF＝CF+AE；
（2）解：设EF＝MF＝x，
∵AE＝CM＝2，且BC＝6，
∴BM＝BC+CM＝6+2＝8，
∴BF＝BM﹣MF＝BM﹣EF＝8﹣x，
∵EB＝AB﹣AE＝6﹣2＝4，
在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2＝EF2，
即42+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
则EF＝5．