2020-2021学年九年级下册数学北师大新版《第3章 圆》单元测试题（word版含解析）

2020-2021学年九年级下册数学北师大新版《第3章
圆》单元测试题
一．选择题
1．下列命题中，正确的个数是（　　）
（1）直径是弦，但弦不一定是直径；（2）半圆是弧，但弧不一定是半圆；
（3）半径相等的两个圆是等圆；（4）一条弦把圆分成的两段弧中，至少有一段是优弧．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．如图，在圆内接四边形ABCD中，∠B＝50°，则∠D＝（　　）
A．40°
B．130°
C．120°
D．150°
3．一个点到一个圆的最短距离是3cm，最长距离是6cm，则这个圆的半径是（　　）
A．4.5cm
B．1.5cm
C．4.5cm或1.5cm
D．9cm或3cm
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，BC＝4cm．以点C为圆心，以3cm长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（　　）
A．相离
B．相交
C．相切
D．不确定
5．如图，有一块边长为6
cm的正三角形ABC木块，点P是边CA延长线上的一点，在A，P之间拉一细绳，绳长AP为15
cm．握住点P，拉直细绳，把它紧紧缠绕在三角形ABC木块上（缠绕时木块不动），则点P运动的路线长为（精确到0.1厘米，π≈3.14）（　　）
A．28.3cm
B．28.2cm
C．56.5cm
D．56.6cm
6．正方形的边长是4cm，那么它的外接圆半径为（　　）
A．
cm
B．
cm
C．2cm
D．4cm
7．如图，PA＝PB，OE⊥PA，OF⊥PB，则以下结论：①OP是∠APB的平分线；②PE＝PF③CA＝BD；④CD∥AB；其中正确的有（　　）个．
A．4
B．3
C．2
D．1
8．如图，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC于点H．若AC＝24，AH＝18，⊙O的半径OC＝13，则AB的长为（　　）
A．15
B．
C．13
D．
9．如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连接AC，BC，分别以AC，BC为边向外作正方形ACDE，BCFG，DE，FG，，的中点分别是M、N、P、Q，若MP+NQ＝12，AC+BC＝18，则AB的长为（　　）
A．9
B．
C．11
D．15
10．如图，直线l：y＝﹣x+1与坐标轴交于A，B两点，点M（m，0）是x轴上一动点，以点M为圆心，2个单位长度为半径作⊙M，当⊙M与直线l相切时，m的值为（　　）
A．4或﹣4
B．4﹣或4+
C．﹣4+或4+
D．4﹣或4+
二．填空题
11．已知直线l：y＝x﹣4，点A（0，2），点B（2，0），设点P为直线l上一动点，当P的坐标为　
　时，过P，A，B三点不能作出一个圆．
12．圆内接正五边形中，每个外角的度数＝　
　度．
13．已知三角形的周长为P，面积为S，其内切圆半径r，则r：S＝　
　．
14．如图，PA切⊙O于点A，PA＝cm，∠APO＝30°，则PO的长为　
　cm．
15．如图，△ABC内接于⊙O，D是劣弧弧AB上的一点，E是BC延长线上一点，AE交⊙O于F，为使△ADB∽△ACE，应补充的一个条件是　
　或　
　．
16．已知弓形的弦长为24cm，高为8cm，则此弓形所在圆的半径是　
　．
17．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆周角　
　，相等的圆周角所对的弧　
　，同弧或等弧所对圆周角是其所对的圆心角的　
　．
18．如图所示，AB、CD是⊙O的直径，⊙O的半径为R，AB⊥CD，以B为圆心，以BC为半径作弧CED，则弧CED与弧CAD围成的新月形ACED的面积为　
　．
19．如右图中有　
　条直径，有　
　条弦，以点A为端点的优弧有　
　条，有劣弧　
　条．
20．如图1，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝6，AD＝10，点P在边AD上运动，以P为圆心，PA为半径的⊙P与对角线AC交于A，E两点．不难发现，随着AP的变化，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化．如图2，当⊙P与边CD相切时，⊙P与平行四边形ABCD的边有三个公共点．若公共点的个数为4，则相对应的AP的取值范围为　
　．
三．解答题
21．如图，在图中，用图形（阴影）表示与A的距离小于或等于2cm的所有点组成的图形．
22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）当BC＝CE＝2时，求DE的长度．
23．如图，半径为2的正三角形ABC的中心为O，过O与两个顶点画弧，求这三条弧所围成的阴影部分的面积．
24．如图，AB是⊙O的直径．
（1）若OD∥AC，与的大小有什么关系？为什么？
（2）把（1）中的条件和结论交换一下，还能成立吗？说明理由．
25．如图，有一拱桥为圆弧形，跨度AB＝60米，拱高PM＝18米，当洪水泛滥时，跨度只有30米时要采取紧急措施，测量人员测得水面A1B1到拱顶距离只有4米时，是否采取紧急措施？
26．如图所示，△ABC中，AC＝BC，以AC为直径的⊙O交AB于E，作△BCA的外角平分线CF交⊙O于F，连接EF，求证：EF＝BC．
27．如图，AB是⊙O的直径，延长AB到C，使BC＝，切线BF分别交切线CD及AD的延长线于E、F，求∠F的度数．
28．已知，如图，正六边形ABCDEF的边长为6cm，求这个正六边形的外接圆半径R、边心距r6、面积S6．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：当弦为直径时，不会把圆分成一段优弧一段劣弧，
∴（4）为假命题
而（1）、（2）、（3）均正确
故选：C．
2．解：∵圆内接四边形ABCD中，∠B＝50°，
∴∠D＝180°﹣50°＝130°．
故选：B．
3．解：如图，分点在圆内与圆外两种情况．
①当点P在⊙O内时，
此时PA＝3cm，PB＝6cm，AB＝9cm，
因此半径为4.5cm；
②当点P在⊙O外时，如图此时PA＝3cm，PB＝6cm，
直线PB过圆心O，直径AB＝6﹣3＝3cm，
因此半径为1.5cm．
故选：C．
4．解：过C作CD⊥AB，垂足为D，
∵∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝30°，
∵BC＝4cm，
∴CD＝2cm，
∵2＜3，
∴⊙C与直线AB相交．
故选：B．
5．解：第一个小扇形的弧长等于cm，
第二个为cm，
第三个为三者相加得56.5cm．
故选：C．
6．解：如图，连接OA，OD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOD＝90°，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∴OA2+OD2＝AD2，即2OA2＝42，解得OA＝2（cm）．
故选：B．
7．解：
连接OP、OC、OA、OD、OB、CD、AB．
∵PC?PA＝PD?PB（相交弦定理），PA＝PB（已知），
∴PC＝PD，
∴AC＝BD；
在△AOC和△BOD中，
∵∠AOC＝∠BOD（等弦对等角），
OA＝OB（半径），
OD＝OC（半径），
∴△AOC≌△BOD，
∴③CA＝BD；
OE＝OF；
又∵OE⊥PA，OF⊥PB，
∴①OP是∠APB的平分线；
∴②PE＝PF；
在△PCD和△PAB中，
PC：PA＝PD：PB，
∠DPC＝∠BPA，
∴△PCD∽△PAB，
∴∠PDC＝PBA，
∴④CD∥AB；
综上所述，①②③④均正确，故答案选A．
8．解：如图，作直径AE，连接CE，
∴∠ACE＝90°，
∵AH⊥BC，
∴∠AHB＝90°，
∴∠ACE＝∠AHB，
∵∠E＝∠B，
∴△ACE∽△AHB，
∴＝，
∴AB＝，
∵AC＝24，AH＝18，AE＝2OC＝26，
∴AB＝＝．
则AB的长为．
故选：B．
9．解：连接OP，OQ，
∵DE，FG，，的中点分别是M，N，P，Q，
∴OP⊥AC，OQ⊥BC，
∴H、I是AC、BD的中点，
∴OH+OI＝（AC+BC）＝9，
∵MH+NI＝AC+BC＝18，MP+NQ＝12，
∴PH+QI＝18﹣12＝6，
∴AB＝OP+OQ＝OH+OI+PH+QI＝9+6＝15，
故选：D．
10．解：在y＝﹣x+1中，
令x＝0，则y＝1，
令y＝0，则x＝，
∴A（0，1），B（，0），
∴AB＝2；
如图，设⊙M与AB相切与C，
连接MC，则MC＝2，MC⊥AB，
∵∠MCB＝∠AOB＝90°，∠ABO＝∠CBM，
∴△BMC～△BAO，
∴＝，即＝，
∴BM＝4，
∴OM＝4﹣，或OM＝4+．
∴m＝﹣4，m＝4+．
故选：C．
二．填空题
11．解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∵A（0，2），点B（2，0），
∴，
解得，
∴y＝﹣x+2．
解方程组，得，
∴当P的坐标为（3，﹣1）时，过P，A，B三点不能作出一个圆．
故答案为（3，﹣1）．
12．解：360°÷5＝72°．
故答案为：72．
13．解：∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OD⊥AC，OE⊥AB，OF⊥BC，OD＝OE＝OF＝r，
∴S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC＝AB?OE+OC?AB+OF?BC＝r（AB+AC+BC）＝Pr，
∴r：S＝2：P．
14．解：连接OA，得到∠OAP＝90°．
已知PA＝cm，∠APO＝30°，则PO＝＝2（cm）．
15．解：∵四边形ADBC是⊙O的内接四边形，
∴∠ACE＝∠D，∴当∠BAD＝∠EAC或∠ABD＝∠E时，△ADB∽△ACE．
16．解：如右图所示，
CD＝24，AB＝8，
设OB＝OC＝xcm，
∵OB⊥CD，
∴AC＝CD＝12，∠OAC＝90°，
在Rt△OAC中，OC2＝OA2+AC2，
∴x2＝（x﹣8）2+122，
解得x＝13，
答：弓形所在圆的半径是13cm．
故答案是13cm．
17．解：由圆心角、弧、弦的关系及圆周角定理可知：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆周角
相等，
相等的圆周角所对的弧
相等，
同弧或等弧所对圆周角是其所对的圆心角的一半．
故答案为：相等、相等、一半．
18．解：∵DC为直径，
∴∠CBD＝90°，
∵AB⊥CD，
∴∠COB＝90°，
∴BC＝BD＝＝＝R，
∴弧CED与弧CAD围成的新月形ACED的面积S＝S△CBD+S圆O﹣S扇形CBD＝R×R+R2﹣＝R2，
故答案为：R2．
19．解：图中直径只有AB这1条，弦有AC、AB、CD、BC这4条，以点A为端点的优弧有、这2条，劣弧有、这2条，
故答案为：1、4、2、2．
20．解：∵平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝10，
∴BC＝AD＝10，
∵AB⊥AC，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝8，
如图2所示，连接PF，
设AP＝x，则DP＝10﹣x，PF＝x，
∵⊙P与边CD相切于点F，
∴PF⊥CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵AB⊥AC，
∴AC⊥CD，
∴AC∥PF，
∴△DPF∽△DAC，
∴＝，
∴＝，
∴x＝，
即AP＝；
当⊙P与BC相切时，设切点为G，如图3，
S?ABCD＝×6×8×2＝10PG，
∴PG＝，
①当⊙P与边AD、CD分别有两个公共点时，＜AP＜，即此时⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4；
②⊙P过点A、C、D三点，如图4，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，此时AP＝5，
综上所述，AP的值的取值范围是：＜AP＜或AP＝5，
故答案为：＜AP＜或AP＝5．
三．解答题
21．
解：如图，与A的距离小于或等于2cm的所有点组成的图形是如图所示的阴影部分．
22．（1）证明：∵OD⊥AC，
∴＝，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴BD平分∠ABC；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OD⊥AC，
∴AE＝CE＝2，
在Rt△ABC中，AB＝＝2，
∴OD＝，
∵AE＝CE，OA＝OB，
∴OE为△ABC的中位线，
∴OE＝BC＝1，
∴DE＝﹣1．
23．解：作△ABC的外接圆，连接AO并延长交⊙O于A′、同理得到BB′、CC′；
∵△ABC是正三角形，
∴△OAB′也是正三角形；
∴S弓形OA＝S扇形AB′O﹣S△AB′O＝﹣2××＝；
所以S阴影＝6×（）＝4π﹣6．
24．解：（1）．
证明：延长DO交⊙O于E，
∵AC∥OD
∴
∵∠1＝∠2
∴
∴；
（2）仍成立．
证明：延长DO交⊙O于点E，连接AD，
∵，
∴
∴∠3＝∠D
∴AC∥OD．
25．解：连接OA、OA1，如下图所示：
由题可得：AB＝60m，PM＝18m，PN＝4m，OA＝OA1＝OP＝R
OP⊥AB，OP⊥A1B1
由垂径定理可得：AM＝MB＝30m
在Rt△AMO中，由勾股定理可得：
AO2＝AM2+MO2
即R2＝302+（R﹣18）2
解得R＝34m
∵PN＝4m，OP＝R＝34m
∴ON＝30m
在Rt△ONA1中，由勾股定理可得：
A1N2＝A1O2﹣ON2
可得A1N＝16m
故A1B1＝32m＞30m
故不用采取紧急措施．
26．证明：∵CA＝CB，
∴∠B＝∠A，
又∵∠DCA＝2∠FCA，∠DCA＝∠A+∠B＝2∠A，
∴∠FCA＝∠A．
∴CF∥AB．
又∵∠FCA＝∠FEA（同弧所对的圆周角相等），
∴∠FEA＝∠B．
∴BC∥EF．
∴四边形CFEB为平行四边形．
∴EF＝BC．
27．解：连接OD，如图，
∵CD切⊙O于D，
∴OD⊥DC，
又∵BC＝，
∴OC＝2OD，
∴∠C＝30°，∠DOC＝60°，
而OD＝OA，
∴∠A＝30°，
又∵BF为⊙O的切线，
∴BF⊥AB，
∴∠F＝90°﹣∠A＝60°．
28．解：连接OA，OB，过点O作OG⊥AB于G，
∵∠AOB＝60°，OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝6，即R＝6，
∵OA＝OB＝6，OG⊥AB，
∴AG＝AB＝×6＝3，
∴在Rt△AOG中，r6＝OG＝＝3cm，
∴S6＝×6×6×3＝54cm2．