2020—2021学年人教版数学八年级下册 18.2.2-矩形的判定（共22张ppt）

(共22张PPT)
18.2.2
矩形的判定
具有平行四边
形的性质
对角线
角
A
B
C
D
O
矩形的性质：
对边平行且相等；
对角相等，对角线互相平分
矩形的四个角都是直角；
矩形的对角线相等；
直角三角形的性质定理：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
平行四边形具备什么条件时成为矩形呢？
定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.
平行四边形
矩形
请你思考
判定方法1：
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
几何语言：
∵
∠A=90
，四边形ABCD为平行四边形
∴四边形ABCD是矩形
A
B
C
D
你还有其它的判定方法吗？
有一个角是直角
的
四边形是矩形吗？
交流对话,探求新知
有三个角是直角
有两个角是直角
猜想：
有三个角是直角的四边形是矩形
A
B
C
D
∵
∠A=∠B=∠C=90°
∴四边形ABCD是矩形
几何语言：
A
B
C
D
已知：在四边形ABCD中，∠A=
∠B=
∠C=90°
求证：四边形ABCD是矩形
证明：
∵
∠A=
∠B=
∠C=90°
判定方法2：有三个角是直角的四边形是矩形
∴
∠A
+
∠B
=
180°
∠B
+
∠C
=
180°
∴AD∥BC，
AB∥DC
∴四边形ABCD是平行四边形
∵
∠A=90°
∴四边形ABCD是矩形
如果四边形ABCD的对角线AC=BD,这样的四边形是不是矩形?
A
B
C
D
AC=BD
A
B
C
D
AC=BD
都不是矩形
想一想
O
如果一个平行四边形的对角线变成相等呢？
A
B
C
D
将AC同时向两边拉长，使AC=BD
O
A
B
C
D
现在的
ABCD会是一个什么图形？
想一想
猜猜看：
情境一：工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你知道为什么吗？
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形
。
命题：对角线相等的平行四边形是矩形。
已知：平行四边形ABCD，AC=BD。
A
B
C
D
证明:
∵
四边形ABCD是平行四边形，
∴
△ABC≌
△DCB（SSS）
∵
AB//CD
∴
∠ABC+∠DCB=180°
∴
∠ABC=∠DCB=90°
又∵
四边形ABCD是平行四边形
∴四边形ABCD是矩形
∴
∠ABC=∠DCB
求证：四边形ABCD是矩形。
∴
AB=CD,
BC=BC,
AC=BD
∵
AC=BD
对角线相等的平行四边形是矩形
。
矩形的判定方法3：
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形，
AC=BD
∴四边形ABCD是矩形
（对角线相等且互相平分的四边形是矩形。）
A
B
C
D
O
（或OA=OC=OB=OD）
你能归纳矩形的几种判定方法吗？
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
对角线相等的平行四边形是矩形
。
有三个角是直角的四边形是矩形
。
方法1：
方法2：
方法3：
下列各句判定矩形的说法是否正确？
（1）对角线相等的四边形是矩形；
（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
（3）有一个角是直角的四边形是矩形；
（5）有三个角是直角的四边形是矩形；
（6）四个角都相等的四边形是矩形；
（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；
（10）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；
（9）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；
（8）一组对角互补的平行四边形是矩形；
（4）有三个角都相等的四边形是矩形;
X
X
X
X
例2
如图在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且OA=OD,∠OAD=50°
求∠OAB的度数,
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
A
B
C
D
又
OA=OD
∴AC=BD
∴四边形ABCD矩形，
∴∠DAB=90度
又
∵∠OAD=50度，
∴∠=40度
O
如图，M为平行四边形ABCD边AD的中点，且MB=MC，
求证：四边形ABCD是矩形。
A
B
C
D
M
要判定一个四边形是矩形，通常先判定它是平行四边形，再根据平行四边形构成矩形的条件，判定有一个角是直角或者对角线相等。
平行四边形ABCD,E是CD的中点,
△ABE是等边三角形,
求证:四边形ABCD是矩形。
D
A
B
C
E
如图，平行四边形ABCD中，∠1=∠2.此时四边形ABCD是矩形吗？为什么？
解：∵
∴AO=CO,BO=DO
∵
∠1=∠2
∴AO=BO
∴AC=BD
∴四边形ABCD是矩形
ABCD
如图，?ABCD中，AB=6,
BC=8,
AC=10.求证四边形ABCD是矩形.
证明：∵
AB=6,BC=8,AC=10
且62+82=102
∴AB2+BC2=AC2
∴
∠B=900
∵
ABCD是平行四边形
∴四边形ABCD是矩形
例：如图，△ABC中，AB=AC,
AD、AE分别是∠A与∠A的外角的平分线，BE⊥AE.求证：
AB=DE.
证明：∵AB=AC,AD平分∠BAC
∴AD⊥BC,
∠1=
∠BAC
/2
∵
AE平分∠BAF
∴
∠2=
∠BAF/2
∵
∠BAC
+
∠BAF=1800
∴
∠1+
∠2=(∠BAC
+
∠BAF)/2=900
∵
BE⊥AE
∴
∠BDA=
∠DAE=
∠BEA=900
∴四边形BDAE是矩形
1
2
F
例：
如果平行四边形四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形是矩形．
已知：如图，
???ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，
求证：四边形
EFGH为矩形．
∴∠BGC=90°
同理可证∠AFB=∠AED=90°
∴四边形EFGH是矩形
证明：∵AB∥CD
　　∴∠ABC＋∠BCD=180°
　　∵BG平分∠ABC，CG平分∠BCD　　
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例：平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点Ｏ，点Ｐ是四边形外一点，且PA⊥PC,PB⊥PD，垂足为Ｐ。
求证：四边形ABCD为矩形
Ｂ
Ａ
Ｃ
Ｄ
Ｏ
Ｐ
已知△ABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F.(1)求证:EO=FO;(2)
当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形,并说明理由.
M
O
A
B
C
E
F
N
议一议
F
E
A
C
O
M
N
B