2020-2021学年人教版数学八年级下册16.2二次根式的乘除——商的算数平方根教案（表格式）

教师姓名
单位名称
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学科
初中数学
年级/册
八年级下册
教材版本
人教版
课题名称
《16.2二次根式的乘除——商的算数平方根》
难点名称
合理简洁地进行二次根式的除法运算
难点分析
从知识角度分析为什么难
二次根式除法运算本身内容复杂：
商的算术平方根的性质是本节课的主线，学生掌握性质是二次根式化简和运算的关键，难点就是结果形式，即分母不能有根号，先利用分式的基本性质，再利用二次根式的性质，使得分母中不含根号。
从学生角度分析为什么难
学生对于何时该选用何公式化简运算感到困难：分母含根号的处理方式上，学生可能会出现困难或容易失误，在除法运算中，可以先计算后利用商的算术平方根的性质来进行，也可以先利用分式的性质，去掉分母中的根号，再结合乘法法则和积的算术平方根的性质来进行。
难点教学方法
根据本节教学内容和学生年龄等特点，本节课将采用启发引导和探究相结合的教学方法。在教学过程中“以情境创设为前提，以问题驱动为导向，以学生活动为阵地，以培养能力为宗旨”，在整体设计中采用“创设问题情境----探究学习——交流展示——剖析例题——巩固新知”的模式安排教学；体现数学知识的形成过程。通过真实、熟悉的情景，激发学生的学习动机，尽力唤起学生的求知欲望，促使他们动脑、动手、动口，积极参与学习活动全过程，在老师的指导下生动地、主动地、富有个性地开展学习活动.让学生在探究、交流、归纳、应用的实践活动中自主参与知识的发生发展过程。
教学环节
教学过程
导入
(一)
创设问题情景
导入新课
问题1
设长方形的面积为，其中一边长为，则另一边长表示为：
；
问题2如果矩形的面积是
，其中一边长为
，那么求另一边长时如何列式?
这个结果能否化简？如何化简？
设计意图：让学生体会学习二次根式除法运算是解决实际问题不可或缺的，体会学习二次根式除法的必要性，了解数学与现实世界的联系，产生探索新知的欲望，从而引出本节课的内容。
知识讲解
（难点突破）
（二）复习提问，探究规律
问题3　二次根式的乘法法则是什么内容？二次根式的除法有没有类似的法则呢？
设计意图：让学生回忆探究乘法法则的过程，类比该过程，学生可以探究除法法则。
问题4　探究新知
参考上面的结果，用“>”“<”“=”填空
师生活动：要求学生认真计算每组式子中的两个式子的结果，思考有什么规律。
计算上述各式，你能再列举出这样的计算吗？你有什么新的发现？
将上面运算过程中的两个非负实数分别换成和，则刚刚所得的结论是否仍然成立？
3、请你类比二次根式的乘法法则归纳总结出除法法则，并将法则进行推广。
师生活动　学生回答，给出正确答案后，教师引导学生思考，并总结二次根式除法法则：
，
归纳总结：一般地，对于二次根式的除法是
二次根式相除，________不变，
________相除.（根指数
被开方数）
语言表述：算术平方根的商等于商的算术平方根.
设计意图：让学生把符号语言转化为文字语言，发展学生的数学语言表达能力，学生在用文字语言表述法则时，可以加深对法则的理解和掌握。
问题5　对比乘法法则里字母的取值范围，除法法则里字母的取值范围有何变化？
师生活动　学生思考，回答。学生能说明根据分式的意义知道，分母不为零就可以了。
设计意图:学生在自主探究的过程中发现规律，运用类比思想，由特殊到一般，采用不完全归纳的方法得出二次根式的除法法则后，要明确字母的取值范围，并将法则进行推广，以免在处理更为复杂的二次根式的运算时出现错误，同时还要求学生用数学语言和文字分别描述法则，以培养学生的符号意识。
（三）实战演练
运用新知
例4对例题的运算你有什么看法？是如何进行的？
师生活动
：
分析：题目中的式子都是的形式，学生利用法则直接运算，强调一般根号下不含开得尽方的因数。
思考：对比本节课学习的和上节课学习的，你发现它们之间有什么区别和联系？我们以前学过乘法和除法互为逆运算，那么除以一个二次根式可以看成什么呢？请将你的分析写下来。通过在探究这个问题的过程中，加深对运算的理解。
设计意图：让学生运用法则进行简单的二次根式的除法运算，以检验法则的掌握情况。利用分式的运算法则可以化简二次根式，培养学生的运算能力，在这一过程中让学生自己发现二次根式化简及运算的一些错误，引导学生正确归因，以培养学生的求同思维。
问题6
你还记得单项式除以单项式法则吗？试回顾如何计算
知识拓展：如何计算÷
试回顾如何计算？
师生活动
当二次根式根号外的因数不为1时，可类比单项式除以单项式的法则计算，先将根号前的系数与系数对应相除，根号内的被开方数与被开方数对应相除，再把除得的结果相乘，即
强调：被开方数不含开得尽方的因数
补充练习
计算:
设计意图：让学生按照规范的步骤和格式书写计算过程，在积累解题经验的同时，体会程序化思想，同时体会计算要做到步步有据。
（四）逆向思维，专题讨论
把反过来,就得到（≥0,b>0），利用它就能够实行二次根式的化简.
师生活动?学生类比发现，商的算术平方根等于算术平方根的商（≥0,b>0），即利用该性质可以进行二次根式的化简.
设计意图：二次根式的乘法公式能够逆用,那么除法公式能够逆用吗?此处进行简单处理是因为有二次根式的乘法公式的逆用作基础理解并不难。要清楚互逆运算常常是运算时用到的，化简要分步进行，同时，要结合运用算术平方根的性质进行化简．
例5
：利用商的算术平方根的性质计算
问题7：对于，你可以想到几种不同的化简方法？
师生活动：
师生活动：提问：你是怎么理解例5（1）的？
师生合作回答问题，对于根式运算的最后结果，一般被开方数有开的尽方的因数或因式，应依据二次根式的性质将其移到根号外。
设计意图：通过运算，培养学生的运算能力，明确二次根式的化简方向，商的算术平方根性质可以进行二次根式的化简.
归纳：化简二次根式的步骤：
1.将被开方数尽可能分解成几个平方数.
2、应用
3、将平方项应用
化简.
二次根式运算的结果中，被开方数应不含能开得尽方的因数或因式。
设计意图：为学生解题提供一个明确的思考方向，同时为后续最简二次根式的概念学习奠定基础。
例6例题示范，学会应用
计算：
师生活动　
提问：1、你有几种方法去掉分母中的根号？去分母的依据分别是什么？
第（2）题用什么方法计算更简捷？
3、第（3）题根号下含字母在移出根号时应注意什么？
师生活动：引导学生通过观察寻找解题思路，教师引导学生交流自己的想法，学生交流分析后，教师板书，规范二次根式除法计算步骤和格式，最后师生共同总结解题的基本步骤。
设计意图：这是体会二次根式除法法则优势的实例，让学生经历了从特殊到一般后，再体会从一般运用到特殊，也就是当二次根式除法法则中的字母换成具体数字，开阔学生的思维，学生对法则的理解也获得了升华。
补充练习：
师生活动：教师及时给予点拨和纠正，教师对产生的共性问题进行解释和强调。
设计意图：在进行二次根式的除法运算时，要用到二次根式的乘法以及算术平方根的性质进行化简，练习时，要让学生先说后做，做到步步有据，过程清晰.
课堂练习
（难点巩固）
（五）拓展应用，能力提升
补充乘除混合运算例题讲解
师生活动
1、当所得二次根式的被开方数的因数（式）中，有一些幂的指数不小于2，即含有完全平方的因式（数），我们就可利用积的算术平方根的性质，并用来化简二次根式.
2、二次根式的乘除混合运算，先把根号外的系数依次相乘除，再把根号下的被开方数依次相乘除，最后再化简二次根式。
补充练习：
答案：
设计意图：通过补充例题着重强调在运算过程中要注意的事项，二次根式在进行运算时一定要进行化简。学生独立完成以深化学生对知识和方法的理解，让学生认识到，二次根式是一类特殊的实数，因此满足实数的运算律，关于整式运算的公式和方法也适用。通过课堂上及时检查反馈，更好地突破易错点，要注意算理，说明过程，书写规范。
小结
（六）归纳小结，反思提高
师生共同回顾本节课所学内容，并请学生回答问题：
你能说明二次根式的除法法则是如何得出的吗？
二次根式的除法法则内容是什么？对等式中字母的取值范围有何要求？
你能说明除法法则逆用的意义吗？
4、知识小结：
(
法
则
)
(
拓
展
法
则
)
(
二次根式除
法
)
(
商的算术平方根
性质
)
设计意图：帮助学生对本节课所学的知识、技能、方法三方面有一个系统的认识，归纳本节课探究除法法则的思路，体会数学思想和方法，更好的构建知识网络，培养了学生自我反馈、自主发展的意识。
（七）布置作业：必做题：教科书第10页练习第1题，习题第2题，第11页第8题
选做题：计算：
设计意图：一部分是必做题，及时巩固课堂学过的知识，查漏补缺，进一步巩固易错点，从而内化知识；另一部分是选做题，给学有余力的学生留有充分思考的空间，让学有余力的学生能够学到“根号下为字母的二次根式”的运算，由于数式通性，只要将二次根式中的实数看成字母，二次根式的运算实际上就是整式的运算。
（八）当堂反馈
检测达标
1.
答案：D．
A．
B．
C．
D．
2.
计算：
设计意图：学生独立完成，通过1、2两题考查目标1的完成情况，便于课后查漏补缺。
3.计算：
设计意图：通过第3题考查目标2的完成情况，进一步深化学生对知识和方法的理解。