东莞市第五高级中学2020—2021学年度第二学期第一阶段考试
高一年级数学试卷
满分150分,考试时间120分钟
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若复数z满足false,则false在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.若false,则false的坐标是 ( )
A.false B.false C.false D.false
44386501035053.在false中,点false满足false,则( )
A.false B.false
C.false D.false
4.在false中,若false,false,false,则false等于( )
A.1 B.2 C.false D.false
5.在复平面内,已知平行四边形false顶点false,false,false分别表示false,false,则点false对应的复数为( )
A.false B.false C.false D.false
6.在△false中,false,则false( )
A.false B.false C.false D.false
589026019057.如图,为测量河对岸A,B两点间的距离,沿河岸选取相距40米的C,D两点,测得∠ACB=60°,∠BCD=45°,∠ADB=60°,∠ADC=30°,则A,B两点的距离是( )
A.20米 B.20米
C.40米 D.20米
54711602933708.如图四边形ABCD为平行四边形,false,若false,则false的值为( )
A.false B.false C.false D.1
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.下面是关于复数false(i为虚数单位)的命题,其中真命题为( )
A.false B.false C.z是方程false的一个根 D.z的虚部为false
10.下列说法中错误的是( )
A.向量false与false是共线向量,则A,B,C,D四点必在一条直线上
B.零向量与零向量共线
C.若false,则false
D.温度含零上温度和零下温度,所以温度是向量
11.下列结论正确的是( )
A.在false中,若false,则false
B.在锐角三角形false中,不等式false恒成立
C.在false中,若false,false,则false为等腰直角三角形
D.在false中,若false,false,三角形面积false,则三角形外接圆半径为false
12.数学家欧拉在false年提出定理:三角形的外心?重心?垂心依次位于同一条直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,此直线被称为三角形的欧拉线,该定理则被称为欧拉线定理.设点false?false?false分别是false的外心?重心?垂心,且false为false的中点,则( )
A.false B.false
C.false D.false
填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知向量false与false的夹角为120°,且false,那么false的值为______.
14.向量false,false,若false,则false_________.
15.设false的内角false所对的边分别为false,已知false,则false的取值范围为_____.
16.在false中,false,false,false,false,则false的最小值为______,
若false,则false______.(对一空得3分,全对得5分)
四、解答题:本大题共6个大题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本题10分)已知向量false满足false,false.
(1)若false的夹角false为false,求false;
(2)若false,求false与false的夹角false.
18.(本题12分)已知false为实数,设复数false.
(1)当false为虚数时,求false的值;
(2)当false对应的点在直线false上,求false的值.
19.(本题12分)在锐角false中,内角false所对的边分别是false,且false.
(1)求角false的大小;
(2)若false,false,求false的面积.
444817534861520.(本题12分)如图在平行四边形false中,false,false,false,E为false的中点,H为线段false上靠近点E的四等分点,记false,false.
(1)用false,false表示false,false;
(2)求线段false的长.
false
false
false
false
false
false
false
(第21题图)
21.(本题12分)已知半圆圆心为false,直径false,false为半圆弧上靠近点false的三等分点,若false为半径false上的动点,以false点为坐标原点建立平面直角坐标系,如图所示.
(1)求点false、false、false的坐标;
(2)若false,求false与false夹角的大小;
(3)试确定点false的位置,使false取得最小值,并求此最小值.
22.(本题满分12分)某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位:m),如示意图,垂直放置的标杆BC的高度false=4m,仰角∠ABE=false,∠ADE=false.
(1)该小组已经测得一组false、false的值,tanfalse=1.24,tanfalse=1.20,请据此算出H的值;
4632960842010(2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离false(单位:m),使false与false之差较大,可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m,试问false为多少时,falsefalsefalse最大?
东莞市第五高级中学2020—2021学年度第二学期第一阶段考试
高一数学参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
A
B
C
D
B
D
BC
AD
ABC
ABD
13.-8 14.false 15.false 16.false false
【详解】
1.A
【详解】∵false,∴false,则false在复平面内对应的点false位于第一象限.故选:A.
2.C
【详解】false,false.故选C.
3.A
【详解】由点false满足false,可得false,
由图可知false,故选:A
4.B
【详解】由false,false,可得false
由正弦定理得false,false.故选:B
5.C
【详解】由题意false,设false,
∵false是平行四边形,AC中点和BO中点相同,
∴false,即false,∴false点对应是false.故选:C.
6.D
【详解】由正弦定理,可得false,
设false,则false,
由余弦定理,可得falsefalse.故选:D.
7.B
【详解】在△BCD中,∠BDC=60°+30°=90°,∠BCD=45°,
所以∠CBD=90°-45°=∠BCD,所以BD=CD=40,BC==40.
在△ACD中,∠ADC=30°,∠ACD=105°,则∠CAD=45°.
由正弦定理,得AC==20.
在△ABC中,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC×BC×cos∠BCA
=(40)2+(20)2-2×40×20×cos 60°
=2 400,所以AB=20,故A,B两点之间的距离为20米.
8.D
【详解】选取false为基底,则false,
又false,
将以上两式比较系数可得false.故选D.
9.BC
【详解】解:false,false,A错误;
false,B正确;false,C正确;z的虚部为false,D错误.故选:BC.
10.AD
【详解】false与false是共线向量,则A,B,C,D四点不一定在一条直线上,故A错误;
零向量与任一向量共线,故B正确;若false,则false,故C正确;
温度是数量,只有正负,没有方向,故D错误.故选:AD
11.ABC
【详解】在false中,由false,故A正确;
若false,则false,又因为false,所以false为锐角,符合false为锐角三角形,故B正确;
对选项C,false,整理得:false.
因为false,所以false,即false
所以false,即false,
false,
即false,又false,所以false.
故false,则false为等腰直角三角形,故C正确.
对选项D,false,解得false.
false,所以false.
又因为false,false,故D错误.故选:ABC
443865011049012.ABD
【详解】因为false是false的重心,false是false的外心,false是false的垂心,
且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,所以false,
对于选项A:因为false是false的重心,false为false的中点,所以false,
又因为false,所以false,即false,故选项A正确;
对于选项B:因为false是false的重心,false为false的中点,所以false,
false,因为false,所以false,
false
false,即false,故选项B正确;
对于选项C:false,故选项C不正确;
对于选项D:设点false是false的外心,所以点false到三个顶点距离相等,即false,故选项D正确;故选:ABD.
13.-8
【详解】false.故答案为: -8.
14.false
【详解】因为false,且false,故false,解得false.
15.false
【详解】因为false中,false,false,由余弦定理可得,false,
即false,
当且仅当false时,等号成立,所以false,则false,
又在三角形中,两边之和大于第三边,则false,综上,false.
16.false false
【详解】因为false,所以false
false
所以false.
若false,则false,即false,
整理得:false,所以false,解得:false.
17.【详解】(1)由已知,得false,…………2分
所以falsefalse,所以false.………5分
(2)因为false,所以false.所以false,…………6分
即false,所以false.…………………………9分
又false,所以false,即false与false的夹角为false.…………………………10分
18.解:(1)当false为虚数时,有false, ……………………………2分
即false, ……………………………3分
亦即false且false, ……………………………6分
(2)false复数false对应的点false在直线false上,
false, ……………………………8分
即false, ……………………………9分
解得false或false, …………………………11分
所以,复数false对应的点在直线false上时,false或false. ……………12分
19.(1)∵false
由正弦定理得false ……………2分
∴ false ……………4分
又false为锐角三角形,∴false ……………5分
(2)∵false
由余弦定理得:false ……………6分
falsefalse
即:false ∴false ……………10分
false ……………12分
20.【详解】(1)由已知得false,……3分
false,
………………………………………………7分(求出false也应给2分)
所以false,false;(可不写)
(2)由(1)得false,
所以false,…………11分
所以线段false的长为false.………………………………12分
21.解:(1)因为半圆的直径false,由题易知:false、false, …………1分
又false,易得: false. …………2分
(2)由(1)知,false,false, …………4分
所以false. …………5分
设false与false夹角为false,则falsefalse, …………6分
又因为false,所以false,即false与false的夹角为false. …………7分
(3)设false(false),由(1)知,false,false,
false, …………9分
所以false. …………10分
又因为false,所以当false时,false有最小值为false,
此时点false的坐标为false . …………12分
【解析】(1)false,……………………1分
同理:false,false. ……………………3分
AD—AB=DB,故得false,……………………4分
解得false.
因此,算出的电视塔的高度false是124m.……………………5分
(2)由题设知false,得false,…………7分
false
……………………9分
false,(当且仅当false时,
取等号)故当false时,false最大.……………………11分
因为false,则false,
所以当false时,false-false最大.
故所求的false是falsem.……………………12分