湖南省蓝山二中2011-2012学年高二上学期期末考试数学（理）试题

总分：100分 时量：120分钟
一、选择题（每题3分，共45分）
1．x>2是的 （ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 既充分又必要条件 D. 既不充分又不必要条件
2．抛物线在点M（，）处的切线的倾斜角是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
3．计算机执行下面的程序段后，输出的结果是（ ）
A． B． C． D．
4．下列值等于1的是（ ）
A． B． C． D．
5.若＝（2,-3,1）,＝(2,0,3)，＝(0,2,2)，则（＋）＝（ ）
A. 4 B. 15 C. 7 D. 3
6．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是 ( )
A．3.5 B．-3 C．3 D．-0.5
7.在空间直角坐标系中，若向量= ( -2,1,3 )，= (1,-1,1 )，= ( 1,-,-)
则它们之间的关系是 ( )
A. 且// B. 且
C．// 且 D. //且//
8. 已知函数在处的导数为3，则的解析式可能为 （ ）
A． B． C． D．
9．抛物线上一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（ ）
A. B. C. D.
10. 在第1、3、4、5、8路公共汽车都要停靠的一个站（假定这个站一次只能停靠一辆汽车），有一位乘客在等候第4路或第8路公共汽车.假定当时各路汽车首先到此站的可能性相等，则首先到站正好是这位乘客所需乘的汽车的概率等于（ ）
A. B. C. D.
11.有一个由奇数组成的数列1,3,5,7,9,┅，现在进行如下分组：第一组含一个数，第二组含两个数，第三组含三个数，第四组含四个数，┅，经观察，可以猜想每组内各数之和与其组的编号数的关系为（ ）
A．等于 B.等于 C.等于 D.等于
12. 已知则以为邻边的平行四边形的面积为( )
A．　　　　　B．　　　　C．4　　　　　　D．8
13.给出以下命题： ⑴若，则f(x)>0； ⑵;
⑶f(x)的原函数为F(x)，且F(x)是以T为周期的函数，则；
其中正确命题的个数为( )
A、1 B、2 C、3 D、0
14.已知双曲线的右焦点为F,若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且仅有一个交点，则此双曲线离心率的范围是 （ ）
A . B. C. D.
15.内接于半径为R的半圆且周长最大的矩形的边长为( )
A.和 B.和 C.和 D.和
二、填空题（每题3分，共15分）
16.甲乙两人下棋比赛，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是
17. 三棱柱中，M、N分别是、的中点，设，，，则等于
18. 已知函数，则它的单调递增区间是
19．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，
按图所标边长，由勾股定理有：
设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O—LMN，如果用表示三个侧面面积，表示截面面积，那么你类比得到的结论是
20. P是双曲线的右支上一动点，M、N分别是圆和上的动点，则的最大值为
三、解答题（每题8分，共40分）
21. （本小题满分8分）
已知动点P到定点A（5，0）的距离与到定直线的距离的比是，求P点的轨迹方
程，并画出轨迹示意图。
22．（本小题满分8分）
在边长为2的正方体中，E是BC的中点，
F是的中点
求证：CF∥平面
求二面角的平面角的余弦值。
23.（本小题满分8分）
已知:椭圆C的中心在原点,焦点在轴上,焦距为8,且经过点（0，3）
求此椭圆的方程
若已知直线，问：椭圆C上是否存在一点,使它到直线的距离最小 最小距离是多少
24.（本小题满分8分）
一艘小船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比。已知在速度为每小时10公里时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元。问：此船以多大的速度航行时，能使每公里的费用最少？
25．（本题满分8分）
已知函数在上为增函数，函数在上为减函数.
（1）分别求出函数和的导函数；
（2）求实数的值；
（3）求证：当时,
高二数学（理）参考答案
一、选择题（每题3分，共45分）
1．x>2是的 （ A ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 既充分又必要条件 D. 既不充分又不必要条件
2．抛物线在点M（，）处的切线的倾斜角是（ B ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
3．计算机执行下面的程序段后，输出的结果是（ B ）
A． B． C． D．
4．下列值等于1的是 （C ）
A． B． C． D．
5.若＝（2,-3,1）,＝(2,0,3)，＝(0,2,2)，则（＋）＝（ D ）
A. 4 B. 15 C. 7 D. 3
6．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是 ( B )
A．3.5 B．-3 C．3 D．-0.5
7.在空间直角坐标系中，若向量= ( -2,1,3 )，= (1,-1,1 )，= ( 1,-,-)
则它们之间的关系是 ( A )
A. 且// B. 且
C．// 且 D. //且//
8. 已知函数在处的导数为3，则的解析式可能为 （ A ）
A．(x-1)3+3(x-1) B．2(x-1)2 C．2(x-1) D．x-1
9．抛物线上一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（ B ）
A. B. C. D.
10. 在第1、3、4、5、8路公共汽车都要停靠的一个站（假定这个站一次只能停靠一辆汽车），有一位乘客在等候第4路或第8路公共汽车.假定当时各路汽车首先到此站的可能性相等，则首先到站正好是这位乘客所需乘的汽车的概率等于（ D ）
A. B. C. D.
11.有一个由奇数组成的数列1,3,5,7,9,┅，现在进行如下分组：第一组含一个数，第二组含两个数，第三组含三个数，第四组含四个数，┅，经观察，可以猜想每组内各数之和与其组的编号数的关系为（ B ）
A．等于 B.等于 C.等于 D.等于
12. 已知则以为邻边的平行四边形的面积为( A )
A．　　　　　B．　　　　C．4　　　　　　D．8
13.给出以下命题： ⑴若，则f(x)>0； ⑵;
⑶f(x)的原函数为F(x)，且F(x)是以T为周期的函数，则；
其中正确命题的个数为( B )
A、1 B、2 C、3 D、0
14.已知双曲线的右焦点为F,若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支
有且仅有一个交点，则此双曲线离心率的范围是 （ C ）
A . B. C. D.
15.内接于半径为R的半圆且周长最大的矩形的边长为( D )
A.和 B.和 C.和 D.和
二、填空题（每题3分，共15分）
16.甲乙两人下棋比赛，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是
17. 三棱柱中，M、N分别是、的中点，设，，，则等于
18. 已知函数，则它的单调递增区间是和
19．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，
按图所标边长，由勾股定理有： ( http: / / www.21cnjy.com / )设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O—LMN，如果用表示三个侧面面积，表示截面面积，那么你类比得到的结论是
20. P是双曲线的右支上一动点，M、N分别是圆和上的动点，则的最大值为 9
三、解答题（每题8分，共40分）
21. （本小题满分8分）
已知动点P到定点A（5，0）的距离与到定直线的距离的比是，求P点的轨迹方
程，并画出轨迹示意图。
解：轨迹方程是 ………………6分
图略 ………………8分
22．（本小题满分8分）
在边长为2的正方体中，E是BC的中点，F是的中点
求证：CF∥平面
求二面角的平面角的余弦值。
解：分别以,, 为x轴，y轴，z轴
建立空间直角坐标系，
则（2,0,2）,E(1,2,0),
D(0,0,0), C(0,2,0), F(0,0,1), ………2分
则
设平面的法向量是
则， 取………4分
,,所以，CF∥平面。…6分
（2）是面的法向量
………………8分
23.（本小题满分8分）
已知:椭圆C的中心在原点,焦点在轴上,焦距为8,且经过点（0，3）
求此椭圆的方程
若已知直线，问：椭圆C上是否存在一点,使它到直线的距离最小 最小距离是多少
解:(1) ……………4分
（2）由直线的方程与椭圆的方程可以知道,直线与椭圆不相交
设直线平行于直线,则直线的方程可以写成 (1)
由方程组
消去,得 (2)
令方程(2)的根的判别式,得 (3)
解方程(3)得或,
由图可知,当时,直线与椭圆交点到直线的距离最近,此时直线的方程为
直线与直线间的距离
所以,最小距离是. ………………8分
24.（本小题满分8分）
一艘小船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10公里时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问：此船以多大的速度航行时，能使每公里的费用最少？
解：设船速度为x公里/小时（x>0）时，燃料费用Q为元，则
………………2分
………………4分
；
增。
∴当x=20时，y取得最小值。
∴此轮船以20公里/小时的速度行驶时每公里的费用总和最小。………8分
25．（本题满分8分）
已知函数在上为增函数，函数在上为减函数.
（1）分别求出函数和的导函数；
（2）求实数的值；
（3）求证：当时,
当x>0时, 1+>1,
所以由(1)知：f(1+)>f(1),即：ln(1+)+ >1,化简得：(1+x)ln(1+)>1
g(1+)所以当x>0时,xln(1+)<1<(x+1)ln(1+). ………………8分
PRINT ，
A
B
C
D
D'
C'
B'
A'
F
E
PRINT ，
b
c
a
L
N
M
O
A
B
C
D
D'
C'
B'
A'
F
E