湖南省蓝山二中2012届高三第六次联考数学（文）试题

(考试范围：集合、逻辑用语、算法、函数、导数、三角函数、立体几何、
平面向量、复数、数列、不等式、概率统计、解析几何)
　　本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页。
时量120分钟。满分150分。
得分：　　　　　　　
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.若A＝{x|x＋1>0}，B＝{x|x－3<0}，x∈Z，则A∩B＝
A.{1,2} B.{0,1,2}
C.{1,2,3} D.{0,1,2,3}
2.一组实验数据如下表，与两个变量之间的关系最接近的是下列关系式中的
t 1.02 1.99 3.01 4.00 5.10 6.12
V 0.01 1.50 4.04 7.50 12.09 18.01
A.V＝log2t B.V＝－log2t
C.V＝(t2－1) D.V＝2t－2
3.已知α、β是不同的两个平面，直线a α，直线b β.命题p：a与b没有公共点；命题q：α∥β，则p是q的
A.充要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
4.直线xsin2－ycos2＝0的倾斜角的大小是
A.－ B.－2
C. D.2
5.在一次运动员的选拔中，测得到7名选手身高(单位：cm)分布的茎叶图如图.已知记录的平均身高为177cm，但有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为x，那么x的值为
A.5 B.6
C.7 D.8
6.执行如图所示的程序框图，若输出的n＝6，则输入整数p的最大值是
A.32 B.31
C.15 D.16
7.设双曲线- ＝1(a>0，b>0)的离心率为，抛物线y2＝20x的准线过双曲线的左焦点，则此双曲线的方程为
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
8.已知实系数一元二次方程x2＋(1＋a)x＋a＋b＋1＝0的两个实根为x1、x2，满足02.则的取值范围是
A.(－1，－) B.(－3，－1)
C.(－3，－) D.(－3，)
选择题答题卡
题　号 1 2 3 4 5 6 7 8
答　案
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
9.sin45°cos15°＋cos45°sin15°的值为　　　　.
10.若＝ad－bc，则复数＝　　　　　.
11.函数y＝2cos2－1的最小正周期是　　　　.
12.若直线l：y＋1＝k(x－2)被圆C：x2＋y2－2x－24＝0截得的弦AB最短，则直线AB的方程是　　　　　　　.
13.有一个底面圆半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为　　　.
14.已知向量a＝(3,4)，|a－b|＝1，则|b|的范围是　　　　　.
15.某同学在研究函数f(x)＝(x∈R)时，分别给出下面几个结论：
①等式f(－x)＋f(x)＝0对x∈R恒成立；
②函数f(x)的值域为(－1,1)；
③若x1≠x2，则一定有f(x1)≠f(x2)；
④函数g(x)＝f(x)－x在R上有三个零点.
其中正确结论的序号有　　　　　.(请将你认为正确的结论的序号都填上)
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分12分)
在△ABC中，角A、B、C的对应边分别为a，b，c，且满足a2－ab＋b2＝c2.
(1)求角C；
(2)若△ABC的面积为，c＝2，求a＋b的值.
17.(本小题满分12分)
如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝2，E、M分别是DC、BC的中点.
(1)证明：AM⊥面PME；
(2)求二面角P—AM—D的大小.
18.(本小题满分12分)
已知：△ABC为直角三角形，∠C为直角，A(0，－8)，顶点C在x轴上运动，M在y轴上，＝(＋)，设B的运动轨迹为曲线E.
(1)求B的运动轨迹曲线E的方程；
(2)过点P(2,4)的直线l与曲线E相交于不同的两点Q、N，且满足＝，求直线l的方程.
19.(本小题满分13分)
统计某校高三年级100名学生的数学月考成绩，得到样本频率分布直方图如下图所示，已知前4组的频数分别是等比数列的前4项，后6组的频数分别是等差数列的前6项，
(1)求数列、的通项公式；
(2)设m、n为该校学生的数学月考成绩，且已知m、n∈∪，求事件“>10”的概率.
20.(本小题满分13分)
为了加快经济的发展，某省选择A、B两城市作为龙头带动周边城市的发展，决定在A、B两城市的周边修建城际轻轨，假设10km为一个单位距离，A、B两城市相距8个单位距离，设城际轻轨所在的曲线为E，使轻轨E上的点到A、B两市的距离之和为10个单位距离，
(1)建立如图的直角坐标系，求城际轻轨所在曲线E的方程；
(2)若要在曲线E上建一个加油站M与一个收费站N，使M、N、B三点在一条直线上，并且AM＋AN＝12个单位距离，求M、N之间的距离有多少个单位距离？
(3)在A、B两城市之间有一条与AB所在直线成45°的笔直公路l，直线l与曲线E交于P，Q两点，求四边形PAQB的面积的最大值.
21.(本小题满分13分)
定义在D上的函数f(x)，如果满足：对任意x∈D，存在常数M，都有f(x)≥M成立，则称f是D上的有界函数，其中M称为函数f的下界.已知函数f(x)＝(x2－3x＋3)·ex，其定义域为[－2，t](t>－2)，设f(－2)＝m，f(t)＝n.
(1)试确定t的取值范围，使得函数f(x)在[－2，t]上为单调递增函数；
(2)试判断m，n的大小，并说明理由；并判断函数f在定义域上是否为有界函数，请说明理由；
(3)求证：对于任意的t>－2，总存在x0∈(－2，t)满足＝(t－1)2，并确定这样的x0的个数.
文科数学参考答案
一、选择题
题　号 1 2 3 4 5 6 7 8
答　案 B C B D D A C C
二、填空题
9.　　10.3＋i　　11.2π　　12.x－y－3＝0　　13.　　14.[4,6]　　15.①②③
三、解答题
17.解：(1)连接EA，∵△PCD为正三角形，∴PE⊥CD，
∵平面PCD⊥平面ABCD，∴PE⊥平面ABCD，∴PE⊥AM.(3分)
∵四边形ABCD是矩形，∴△ADE、△ECM、△ABM均为直角三角形，由勾股定理可求得
EM＝，AM＝，AE＝3，∴EM2＋AM2＝AE2，∴∠AME＝90°，∴AM⊥EM.(4分)
又EM∩PE＝E，∴AM⊥面PME.(6分)
(2)∵AM⊥平面PME，∴PM⊥AM，∴∠PME是二面角P—AM—D的平面角，
PE＝PDsin60°＝，∴tan∠PME＝＝＝1，∴∠PME＝45°，
∴二面角P—AM—D为45°.(12分)
18.解：(1)由＝(＋)，知M为BC中点，(2分)
设B(x，y)则M(0，)，C(－x,0).(4分)
又∠C为直角，故·＝0，∴x2＝4y(5分)
B的运动轨迹曲线E的方程为x2＝4y.(x≠0)(6分)
(2)∵＝，∴点P是线段QN的中点，
设Q(x1，y1)、N(x2，y2)，线段QN的中点P(2,4)，设l：y－4＝k(x－2)
方法一：则x＝4y1，①　x＝4y2，②
①－②得：4y1－4y2＝(x1－x2)(x1＋x2)，(8分)
∴直线l的斜率为k＝＝(x1＋x2)＝1.(11分)
方法二：由
x2＝4y))，消去y得x2－4kx＋8k－16＝0，(*)
方程(*)中Δ＝16(k2－2k＋4)>0，显然方程(*)有两个不相等的实数根.(8分)
由x1＋x2＝4k＝4 k＝1.(11分)
所以直线l的方程为x－y＋2＝0.(12分)
19.解：(1)由已知：第2组的频数为3，第3组的频数为9，又前4组的频数是等比数列，
所以an＝3n－1，(3分)
又第4组的频数为27，后6组是首项为27，和是87的等差数列，
所以bn＝－5n＋32.(6分)
(2)由(1)知成绩在中的有3人，成绩在中的有2人，分别记为：a1，a2，a3和b1，b2，由>10知，这两人必来自两个不同的组，(8分)
所以事件“>10”的概率为.(13分)
20.解：(1)以AB为x轴，以AB中点为原点O建立直角坐标系.设曲线E上点P(x，y)，
∵|PA|＋|PB|＝10＞＝8
∴动点轨迹为椭圆，且a＝5，c＝4，从而b＝3.
∴曲线E的方程为＋＝1.(4分)
(2)由|AM|＋|AN|＋|BM|＋|BN|＝20，|AM|＋|AN|＝12，所以|MN|＝8.(8分)
(3)将y＝x＋t代入＋＝1，得34y2－18ty＋9t2－25×9＝0.
设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝.
＝＝，
S＝S△ABP＋S△ABQ＝AB·＝，
所以当t＝0时，面积最大是，此时直线为l：y＝x.(13分)
21.解：(1)f′(x)＝(x2－3x＋3)·ex＋(2x－3)·ex＝x(x－1)·ex.
由f′(x)>0 x>1或x<0；由f′(x)<0 0所以f(x)在(－∞，0]，[1，＋∞)上单调递增，在[0,1]上单调递减，
要使f(x)在[－2，t]上为单调递增函数，则－2(2)n>m.
因为f(x)在(－∞，0]，[1，＋∞)上单调递增，在[0,1]上单调递减，
所以f(x)在x＝1处取极小值e.又f(－2)＝所以f(x)在[－2，＋∞)上的最小值为f(－2)，从而当t>－2时，f(－2)即m由上知，因为f(x)在上递增，且恒大于0，f(x)在(0，＋∞)的最小值为e，
所以函数f在(－∞，＋∞)上是有界函数，M＝0.(8分)
(3)因为＝x－x0，所以＝(t－1)2，即为x－x0＝(t－1)2.
令g(x)＝x2－x－(t－1)2，从而问题转化为证明方程g(x)＝x2－x－(t－1)2＝0
在(－2，t)上有解，并讨论解的个数.
因为g(－2)＝6－(t－1)2＝－(t＋2)(t－4)，g(t)＝t(t－1)－(t－1)2＝(t＋2)(t－1)，
所以①当t>4或－2