湖南省蓝山二中2012届高三第六次联考数学（理）试题

(考试范围：集合与逻辑、算法、函数、导数、三角函数、平面向量、复数、数列、
推理与证明、不等式、计数原理、二项式定理、概率与统计、直线、平面、
简单几何体、空间向量)
　　本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页。时量120分钟。满分150分。
得分：　　　　　　　
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若M＝{x||x－1|<2}，N＝{x|x(x－3)<0}，则M∩N＝
A.{x|0C.{x|－12.已知函数f(x)＝sin(2x－)，若存在α∈(0，π)，使得f(x＋α)＝f(x＋3α)恒成立，则α的值是
A. B. C. D.
3.已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，又知α∩β＝m，且n α，n β，则“n∥m”是“n∥α且n∥β”的
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.6名同学安排到3个宿舍，每个宿舍两人，其中甲必须在一号宿舍，乙和丙均不能到三号宿舍，则不同的安排方法种数为
A.6 B.9 C.12 D.18
5.若f(x)＝f1(x)＝，fn(x)＝fn－1[f(x)](n≥2，n∈N*)，则f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＋f1(1)＋f2(1)＋…＋fn(1)＝
A.n B. C. D.1
6.已知m是一个给定的正整数，如果两个整数a，b被m除得的余数相同，则称a与b对模m同余，记作a≡b(modm)，例如：5≡13(mod4).若22010≡r(mod7)，则r可以为
A.2008 B.2009 C.2010 D.2011
7.在△ABC所在的平面内有一点P，满足＋＋＝，则△PBC与△ABC的面积之比是
A. B. C. D.
8.若函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋2)＝f(x)，且x∈(－1,1]时，f(x)＝1－x2，函数g(x)＝
1(x＝0)))，则函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,10]内零点的个数为
A.12 B.14 C.13 D.8
选择题答题卡
题　号 1 2 3 4 5 6 7 8 得　分
答　案
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
9.已知a是实数，是纯虚数，则a的值是　　　　.
10.若x1，x2，x3，…，x2009，x2010的方差是2，则3(x1－1),3(x2－1)，…，3(x2009－1),3(x2010－1)的方差是　　　　.
11.已知某一几何体的正视图与侧视图如图所示，则在下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形为　　　　(填你认为正确的图序号)
12.已知函数f(x)＝－x2＋ax－2b.若a，b都是区间[0,4]内的数，则使f(1)>0成立的概率是　　　　.
13.某机构对小学生作业负担的情况进行调查，设每个学生平均每天作业的时间为x(单位：分钟)，且x～N(60,100)，已知P(x≤50)＝0.159.现有1000名小学生接受了此项调查，下图是此次调查中某一项的流程图，则输出的结果大约是　　　　.
14.已知关于x的方程9x－(4＋a)·3x＋4＝0有两个实数解x1，x2，则的最小值是　　　　.
15.对有10个元素的总体{1,2,3，…，10}进行抽样，先将总体分成两个子总体A＝{1,2,3,4}和B＝{5,6,7,8,9,10}，再从A和B中分别随机抽取2个元素和3个元素组成样本，用Pij表示元素i和j同时出现在样本中的概率，则P15＝　　　　，所有Pij(1≤i三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分12分)
已知向量m＝(sin，1)，n＝(cos，cos2)，f(x)＝m·n.
(1)若f(x)＝1，求cos(－x)的值；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足acosC＋c＝b，求函数f(B)的取值范围.
17.(本小题满分12分)
在高三年级某班组织的欢庆元旦活动中，有一项游戏规则如下：参与者最多有5次抽题并答题的机会.如果累计答对2道题，立即结束游戏，并获得纪念品；如果5次机会用完仍未累计答对2道题，也结束游戏，并不能获得纪念品.已知某参与者答对每道题答对的概率都是，且每道题答对与否互不影响.
(1)求该参与者获得纪念品的概率；
(2)记该参与者游戏时答题的个数为ξ，求ξ的分布列及期望.
18.(本小题满分12分)
如图，在体积为1的三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC＝AA1＝1，P为线段AB上的动点.
(1)求证：CA1⊥C1P；
(2)当AP为何值时，二面角C1－PB1－A1的大小为？
19.(本小题满分13分)
已知函数f(x)＝－x2＋ax－lnx(a∈R).
(1)求函数f(x)既有极大值又有极小值的充要条件；
(2)当函数f(x)在[，2]上单调时，求a的取值范围.
20.(本小题满分13分)
某旅游景区的观景台P位于高(山顶到山脚水平面M的垂直高度PO)为2km的山峰上，山脚下有一段位于水平线上笔直的公路AB，山坡面可近似地看作平面PAB，且△PAB为等腰三角形.山坡面与山脚所在水平面M所成的二面角为α(0°＜α＜90°)，且sinα＝.现从山脚的水平公路AB某处C0开始修建一条盘山公路，该公路的第一段、第二段、第三段…，第n－1段依次为C0C1，C1C2，C2C3，…，Cn－1Cn(如图所示)，且C0C1，C1C2，C2C3，…，Cn－1Cn与AB所成的角均为β，其中0＜β＜90°，sinβ＝.试问：
(1)每修建盘山公路多少米，垂直高度就能升高100米.若修建盘山公路至半山腰(高度为山高的一半)，在半山腰的中心Q处修建上山缆车索道站，索道PQ依山而建(与山坡面平行，离坡面高度忽略不计)，问盘山公路的长度和索道的长度各是多少？
(2)若修建xkm盘山公路，其造价为 a万元.修建索道的造价为2a万元/km.问修建盘山公路至多高时，再修建上山索道至观景台，总造价最少.
21.(本小题满分13分)
已知正项数列{an}的首项a1＝，函数f(x)＝，g(x)＝.
(1)若正项数列{an}满足an＋1＝f(an)(n∈N*)，证明：{}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；
(2)若正项数列{an}满足an＋1≤f(an)(n∈N*)，数列{bn}满足bn＝，证明：b1＋b2＋…＋bn<1；
(3)若正项数列{an}满足an＋1＝g(an)，求证：|an＋1－an|≤·()n－1.
数学(理科)参考答案
一、选择题
1.A　　2.D　　3.C　　4.B　　5.A　　6.C
7.C　解：由＋＋＝得＋＋＋＝0，即＝2，所以点P是CA边上的三等分点，故S△PBC∶S△ABC＝2∶3.
8.B　解：如图，当x∈[0,5]时，结合图象知f(x)与g(x)共有5个交点，
故在区间[－5,0]上共有5个交点；
当x∈(0,10]时，结合图象知共有9个交点，故函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,10]上共有14个零点.
二、填空题
9.－1　　10.18　　11.①②　　12.　　13.159
14.2　解：原方程可化为(3x)2－(4＋a)·3x＋4＝0，∴3x1·3x2＝4，∴x1＋x2＝2log32，∴x1x2≤(log32)2.
∴＝＝－2≥2.
15.　10
解：(1)由题意有：P15＝＝.
(2)当1≤i当5≤i这样的Pij共有C＝15个，故所有Pij(5≤i当1≤i≤4,5≤j≤10时，Pij＝，这样的Pij共有4·6＝24，所有Pij(1≤i≤4,5≤j≤10)的和为24·＝6，
综上所述，所有Pij(1≤i三、解答题
(2)∵acosC＋c＝b，∴a·＋c＝b，即b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝.
又∵A∈(0，π)，∴A＝.(10分)
又∵0∴f(B)∈(1，).(12分)
17.解：(1)设“参与者获得纪念品”为事件A，则
P(A)＝1－P()＝1－[()5＋C()4()]＝.(4分)
故该参与者获得纪念品的概率为.(5分)
(2)ξ的可能取值为2,3,4,5，
P(ξ＝2)＝()2＝；P(ξ＝3)＝C··＝；
P(ξ＝4)＝C()2＝；P(ξ＝5)＝C()()3＋C()4＝.(8分)
故ξ的分布列为
ξ 2 3 4 5
P
(10分)
Eξ＝2×＋3×＋4×＋5×＝.(12分)
18.解：(1)证明：∵AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥AC，AA1⊥AB.
又∵AB⊥AC，
∴以A为原点，AC，AB，AA1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系.
又∵VABC－A1B1C1＝AB×AC×AA1＝1，∴AB＝2.(2分)
设AP＝m，则P(0，m,0)，而C1(1,0,1)，C(1,0,0)，A1(0,0,1)，
∴＝(－1,0,1)，＝(－1，m，－1)，
∴·＝(－1)×(－1)＋0×m＋1×(－1)＝0，
∴CA1⊥C1P.(6分)
(2)设平面C1PB1的一个法向量n＝(x，y，z)，则
n·\x\to(C1P)＝0))，即
－x＋my－z＝0)).
令y＝1，则n＝(2,1，m－2)，(9分)
而平面A1B1P的一个法向量＝(1,0,0)，
依题意可知cos＝＝＝，
∴m＝2＋(舍去)或m＝2－.
∴当AP＝2－时，二面角C1－PB1－A1的大小为.(12分)
19.解：(1)∵f′(x)＝－2x＋a－＝(x>0)，
∴f(x)既有极大值又有极小值 方程2x2－ax＋1＝0有两个不等的正实数根x1，x2.
(3分)
∴
x1＋x2＝\f(a,2)>0
x1·x2＝\f(1,2)>0))，∴a>2，
∴函数f(x)既有极大值又有极小值的充要条件是a>2.(6分)
(2)f′(x)＝－2x＋a－，令g(x)＝2x＋，
则g′(x)＝2－，g(x)在[，)上递减，在(，2]上递增.(8分)
又g()＝3，g(2)＝，g()＝2，
∴g(x)max＝，g(x)min＝2.(10分)
若f(x)在[，2]单调递增，则f′(x)≥0即a≥g(x)，∴a≥.
若f(x)在[，2]单调递减，则f′(x)≤0，即a≤g(x)，∴a≤2.
所以f(x)在[，2]上单调时，则a≤2或a≥.(13分)
20.解：(1)在盘山公路C0C1上任选一点D，作DE⊥平面M交平面M于E，过E作EF⊥AB交AB于F，连结DF，易知DF⊥C0F.sin∠DFE＝，sin∠DC0F＝.
∵DF＝C0D，DE＝DF，∴DE＝C0D，
所以盘山公路长度是山高的10倍，索道长是山高的倍，
所以每修建盘山公路1000米，垂直高度升高100米.
从山脚至半山腰，盘山公路为10km.从半山腰至山顶，索道长2.5km.(6分)
(2)设盘山公路修至山高x(0＜x＜2)km，则盘山公路长为10xkm，索道长(2－x)km.
设总造价为y万元，
则y＝a＋(2－x)·2a＝(10－5x)a＋10a.
令y′＝－5a＝0，则x＝1.
当x∈(0,1)时，y′＜0，函数y单调递减；当x∈(1,2)时，y′>0，函数y单调递增，
∴x＝1，y有最小值，即修建盘山公路至山高1km时，总造价最小，最小值为15a万元.(13分)
(2)证明：∵an＋1≤，an>0，∴≥，即－≥1.
当n≥2时，－＝(－)＋(－)＋…＋(－)≥n－1，
∴≥n＋1，∴an≤.
当n＝1时，上式也成立，∴an≤(n∈N*)，
∴bn＝≤<＝－，
∴b1＋b2＋…＋bn<(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－<1.(8分)
(3)∵a1＝，a2＝g(a1)＝，a2－a1＝－＝>0.
又∵an＋1－an＝－＝，
由迭代关系可知，an＋1－an>0，∴an≥a1＝.
又∵(2＋an)(2＋an－1)＝(2＋)(2＋an－1)＝5＋4an－1≥7，
∴≤，
∴|an＋1－an|＝|an－an－1|≤|an－an－1|，
∴|an＋1－an|≤|an－an－1|≤()2|an－1－an－2|≤…≤()n－1|a2－a1|＝()n－1.(13分)