湖南省蓝山二中2012届高三第三次联考数学（文）试题

（考试范围：集合、逻辑、函数、导数、三角函数、平面向量、复数、数列）
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
设全集，集合，，则 =（ ）
A． B． C． D．
设是虚数单位，则复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
在平行四边形ABCD中，下列结论中不正确的是（ ）
A. = B. ＋＝ C. ＋＝ D. －＝
已知幂函数的图象经过点(2,)，则函数的定义域为（ ）.
A． B．
C． D．
在中，已知三内角成等差数列；.
则是的（ ）
A． 充分必要条件 B．必要不充分条件
C． 充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与b的夹角是（ ）
A． B． C． D．
阅读如右图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）
A. －10 B. 0 C. 10 D. 20
已知函数为奇函数，设，
则（ ）
A. 1005 B. 2010 C. 2011 D.4020
二、填空题：本大题共7个小题，每小题5分，共35分，把答案填写在题中的横线上.
若函数______.
设等差数列的前项和为，若，则 ．
已知函数，则= .
向量a＝(cos 15°，sin 15°)，b＝(sin 15°，cos 15°)，则|a－b|的值是 ．
函数在 处的切线斜率为，
则= .
设函数f(x)＝|3x－1|的定义域是[a，b]，值域是[2a，2b] (b>a)，则a＋b＝ .
给出下面的数表序列：
其中表n（n=1,2,3 ）有n行，表中每一个数“两脚”的两数都是此数的2倍，记表n中所有的数之和为，例如，，.则
（1） .
（2）数列的通项=
三、解答题：本大题共6个小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16. （本小题满分12分）
已知，，，
函数 ，且函数的最小正周期为.
（I）求函数的解析式；
（Ⅱ）求函数在上的单调区间.
17．（本小题满分12分）
已知公差不为零的等差数列中，，且成等比数列.
（I）求数列的通项公式；
（II）设，求数列的前项和.
18. （本小题满分12分）
在中，角所对的边分别为.
设向量，
（I）若，求角；
（Ⅱ）若，，，求边的大小.
19. （本小题满分13分）
已知，函数，， .
（I）求函数的单调递减区间；
（Ⅱ）若在区间上至少存在一个实数，使成立，试求正实数的取值范围.
20．（本小题满分13分）
某鱼塘2009年初有鱼10（万条），每年年终将捕捞当年鱼总量的50%，在第二年年初又将有一部分新鱼放入鱼塘. 根据养鱼的科学技术知识，该鱼塘中鱼的总量不能超过19.5（万条）（不考虑鱼的自然繁殖和死亡等因素对鱼总量的影响），所以该鱼塘采取对放入鱼塘的新鱼数进行控制，该鱼塘每年只放入新鱼（万条）.
（I）设第年年初该鱼塘的鱼总量为(年初已放入新鱼（万条）,2010年为第一年)，求及与间的关系；
（Ⅱ）当时，试问能否有效控制鱼塘总量不超过19.5（万条）？若有效，说明理由；若无效，请指出哪一年初开始鱼塘中鱼的总量超过19.5（万条）.
21. 已知函数（），且.
（Ⅰ）试用含有的式子表示，并求的极值；
（Ⅱ）对于函数图象上的不同两点，，如果在函数图象上存在点（其中），使得点处的切线，则称存在“伴随切线”. 特别地，当时，又称存在“中值伴随切线”. 试问：在函数的图象上是否存在两点、使得它存在“中值伴随切线”，若存在，求出、的坐标，若不存在，说明理由.
文科数学教师用卷
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
设全集，集合，，则 =（ B ）
A． B． C． D．
设是虚数单位，则复数的虚部是（ B ）
A． B． C． D．
在平行四边形ABCD中，下列结论中不正确的是（ D ）
A. = B. ＋＝ C. ＋＝ D. －＝
已知幂函数的图象经过点(2,)，则函数的定义域为（ C ）.
A． B．
C． D．
【解析】　由已知得，所以，，
所以函数的定义域为.
在中，已知三内角成等差数列；.
则是的（ A ）
A． 充分必要条件 B．必要不充分条件
C． 充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与b的夹角是（ B ）
A． B． C． D．
【解析】　∵a·(b－a)＝a·b－a2＝2，∴a·b＝2＋a2＝3.
∴cos〈a，b〉＝＝＝，∴a与b的夹角为.
阅读如图所示的程序框图，则输出的结果是（ C ）
A. －10 B. 0 C. 10 D. 20
【解析】由题意得，．
已知函数为奇函数，设，
则（ B ）
A. 1005 B. 2010 C. 2011 D.4020
二、填空题：本大题共7个小题，每小题5分，共35分，把答案填写在题中的横线上.
若函数___1___.
设等差数列的前项和为，若，则 27 ．
已知函数，则= 2 .
向量a＝(cos 15°，sin 15°)，b＝(sin 15°，cos 15°)，则|a－b|的值是 1 ．
【解析】　由题设，|a|＝1，|b|＝1，
a·b＝sin(15°＋15°)＝.
∴|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝1＋1－2×＝1.
∴|a－b|＝1.
函数在 处的切线斜率为，
则= .
设函数f(x)＝|3x－1|的定义域是[a，b]，值域是[2a，2b] (b>a)，则a＋b＝ 1 .
【解析】　因为f(x)＝|3x－1|的值域为[2a，2b]，
所以b>a≥0，
而函数f(x)＝|3x－1|在[0，＋∞)上是单调递增函数，
因此应有，解得∵
所以有a＋b＝1.
给出下面的数表序列：
其中表n（n=1,2,3 ）有n行，表中每一个数“两脚”的两数都是此数的2倍，记表n中所有的数之和为，例如，，.则
（1）.
（2）数列的通项=
【解析】（1），
（2）依题意， ①
由①2得， ②
将①-②得
所以 .
三、解答题：本大题共6个小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16. （本小题满分12分）
已知，，，
函数 ，且函数的最小正周期为.
（I）求函数的解析式；
（Ⅱ）求函数在上的单调区间.
【解析】（I） ………………2分
………………4分
因为函数的最小正周期为，所以.
. .………………6分
17．（本小题满分12分）
已知公差不为零的等差数列中，，且成等比数列.
（I）求数列的通项公式；
（II）设，求数列的前项和.
【解析】（I）设等差数列
由成等比数列，得 ………………2分
即
得或（舍去）. 故，
所以 ……………… 6分
（II），
所以数列是以2为首项，4为公比的等比数列. ………………8分
………………… 12分
18. （本小题满分12分）
在中，角所对的边分别为.
设向量，
（I）若，求角；
（Ⅱ）若，，，求边的大小.
【解析】（I）由，
因为，所以，. ………………6分
（Ⅱ）由，
已知，所以，，
因为，所以，.
.
根据正弦定理.
因为，
所以. ………………12分
19. （本小题满分13分）
已知，函数，， .
（I）求函数的单调递减区间；
（Ⅱ）若在区间上至少存在一个实数，使成立，试求正实数的取值范围.
【解析】（I）由求导得，. ……………………1分
①当时，由，解得
所以 在上递减. …………3分
②当时，由可得
所以 在上递减. …………………5分
综上：当时，单调递减区间为；
当时，单调递减区间为 …………………6分
（Ⅱ）设 . ……………………8分
对求导，得， ……………………9分
因为，，所以，
在区间上为增函数，则. ……………………11分
依题意，只需，即，
即，解得或（舍去）.
所以正实数的取值范围是. ……………………13分
20．（本小题满分13分）
某鱼塘2009年初有鱼10（万条），每年年终将捕捞当年鱼总量的50%，在第二年年初又将有一部分新鱼放入鱼塘. 根据养鱼的科学技术知识，该鱼塘中鱼的总量不能超过19.5（万条）（不考虑鱼的自然繁殖和死亡等因素对鱼总量的影响），所以该鱼塘采取对放入鱼塘的新鱼数进行控制，该鱼塘每年只放入新鱼（万条）.
（I）设第年年初该鱼塘的鱼总量为(年初已放入新鱼（万条）,2010年为第一年)，求及与间的关系；
（Ⅱ）当时，试问能否有效控制鱼塘总量不超过19.5（万条）？若有效，说明理由；若无效，请指出哪一年初开始鱼塘中鱼的总量超过19.5（万条）.
【解析】（I）依题意，， ……………………1分
……………………4分
（Ⅱ）当时，，，
所以是首项为-5，公比为的等比数列. ………………7分
故，得 ………………9分
若第年初无效，则.
所以，则第5年初开始无效. ……………………………12分
即2014年初开始无效. …………………………………………13分
21. 已知函数（），且.
（Ⅰ）试用含有的式子表示，并求的极值；
（Ⅱ）对于函数图象上的不同两点，，如果在函数图象上存在点（其中），使得点处的切线，则称存在“伴随切线”. 特别地，当时，又称存在“中值伴随切线”. 试问：在函数的图象上是否存在两点、使得它存在“中值伴随切线”，若存在，求出、的坐标，若不存在，说明理由.
（Ⅱ）在函数的图象上不存在两点、使得它存在“中值伴随切线”.
假设存在两点，，不妨设，则
，，
，
在函数图象处的切线斜率
，
由
化简得：，.
令，则，上式化为：，即，
若令，
，
由，，在在上单调递增，.
这表明在内不存在，使得=2.
综上所述，在函数上不存在两点、使得它存在“中值伴随切线”. ……………13分
s=0，n=1
开始
n=n+1
输出s
结束
N
Y
s=0，n=1
开始
n=n+1
输出s
结束
N
Y