湖南省蓝山二中2012届高三第三次联考数学（理）试题
文档属性
| 名称 | 湖南省蓝山二中2012届高三第三次联考数学（理）试题 |
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| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 420.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标B版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2012-02-13 00:00:00 | ||
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文档简介
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合， ，则下列结论正确的是 （ ）
A． B． C． D．
2．若函数的定义域为R, 则“函数为奇函数”是“函数奇函数”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
3．已知函数的最小正周期为，则该函数图象（ ）
A．关于直线对称 B．关于直线对称
C．关于点(，0)对称 D．关于点(，0)对称
4．如右图，设为互相垂直的单位向量，则向量可表示为（ ）
A． B．
C． D．
5．设数列，分别为等差数列与等比数列，且，则以下结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
6. 函数是函数的导函数，且函数在点处的切线为，如果函数在区间
上的图像如图所示，且，那么（ ）
A．是的极大值点
B．=是的极小值点
C．不是极值点
D．是极值点
7．设为△内一点，若，有，则△的形状一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
8．已知函数满足：①定义域为R；②，有；③当时，．则方程在区间内的解个数是（ ）
A．20 B．12
C．11 D．10
选择题答题卡
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．
9．复数的实部与虚部之和为 ．
10．计算 ．
11．已知{}是各项均为正数的等比数列，=5，=10，则HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.DSMT4 = ．
12．已知函数，
则 ．
13．设有算法如右图：如果输入A=144, B=39,则输出的结
果是 .
14．设函数,．若，使得与同时成立，则实数a的取值范围是 ．
15．当n为正整数时，定义函数N (n)表示n的最大奇因数．如N (3) = 3，N (10) = 5，…．
记．
则（1） 86 ．（2） ．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）已知A,B,C三点的坐标分别为，，，其中．
（1）若，求角的值；
（2）若，求的值．
17．(本小题满分12分)在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，
（1）求角A，B，C的大小；
（2）若BC边上的中线AM的长为，求△ABC的面积．
19．（本小题满分13分）已知是函数的极值点．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）当R时，函数有两个零点，求实数m的取值范围.
20．（本小题满分13分）设数列是有穷等差数列，给出下面数表：
…… 第1行
…… 第2行
… … …
… …
… 第行
上表共有行，其中第1行的个数为，从第二行起，每行中的每一个数都等于它肩上两数之和.记表中各行的数的平均数（按自上而下的顺序）分别为．
（1）求证：数列成等比数列；
（2）若，求和.
21．（本小题满分13分）已知函数的图象在上连续不断，定义：，．其中，表示函数在上的最小值，表示函数在上的最大值．若存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”．
（1）已知函数，试写出，的表达式，并判断是否为上的“阶收缩函数”，如果是，请求对应的的值；如果不是，请说明理由；
（2）已知，函数是上的2阶收缩函数，求的取值范围.
理科数学教师用卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合， ，则下列结论正确的是 （ C ）
A． B． C． D．
2．若函数的定义域为R, 则“函数为奇函数”是“函数奇函数”的（ C ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
3．已知函数的最小正周期为，则该函数图象（ D ）
A．关于直线对称 B．关于直线对称
C．关于点(，0)对称 D．关于点(，0)对称
【解析】由已知得，时，f (x) = 0，故点是它的一个对称中心．
4．如右图，设为互相垂直的单位向量，则向量可表示为（ A ）
A． B．
C． D．
5．设数列，分别为等差数列与等比数列，且，则以下结论正确的是（ A ）
A. B. C. D.
【解析】
，于是故选A
6. 函数是函数的导函数，且函数在点处的切线为，如果函数在区间
上的图像如图所示，且，那么（ B ）
A．是的极大值点
B．=是的极小值点
C．不是极值点
D．是极值点
7．设为△内一点，若，有，则△的形状一定是（ B ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【解析】由题设得，，再由向量的几何意义易知，，故选B．
8．已知函数满足：①定义域为R；②，有；③当时，．则方程在区间内的解个数是（ C ）
A．20 B．12
C．11 D．10
【解析】（数形结合）在同一直角坐标内作
出函数和的图象如右图，
由图易知，与的图象
在有两个交点，在内有9个
交点，故方程在区间
内共有11个解．
选择题答题卡
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C D A A B B C
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．
9．复数的实部与虚部之和为．
10．计算 8 ．
11．已知{}是各项均为正数的等比数列，HYPERLINK "http://www./"=5，=10，则=HYPERLINK "http://www./"．
【解析】由等比数列的性质知，，，成等比数列,所以．
12．已知函数，
则．
13．设有算法如右图：如果输入A=144, B=39,则输出的结
果是 3 .
【解析】（1）A=144，B=39，C=27；（2）A=39，B=27，C=12；（3）A=27，B=12，C=3；（4）A=12，B=3，C=0.所以A=3．
14．设函数,．若，使得与同时成立，则实数a的取值范围是（7，＋∞）．
【解析】由题设知，，即或,且恒过定点．①当时，如上左图，则；③当时，如上右图，， 又，显然不成立．综上知，的取值范围为．
15．当n为正整数时，定义函数N (n)表示n的最大奇因数．如N (3) = 3，N (10) = 5，…．
记．
则（1） 86 ．（2） ．
【解析】由题设知，．
（1）
．
（2）
，．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）已知A,B,C三点的坐标分别为，，，其中．
（1）若，求角的值；
（2）若，求的值．
【解析】（1）∵，，
∴，．
由得． …………………………………4分
又，∴． …………………………………6分
（2）由，得，
∴，∴． ……………………………9分
又由，∴，∴．
故． ……………………………12分
17．(本小题满分12分)在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，
（1）求角A，B，C的大小；
（2）若BC边上的中线AM的长为，求△ABC的面积．
【解析】（1）由知，所以，又得，即，解得，（舍）．
故，． …………………………………………6分
（2）在△ABC中，由于BC边上中线AM的长为，故在△ABM中，由余弦定理得
， 即 ① ………………8分
在△ABC中，由正弦定理得
即 ② ………………10分
由①②解得
故 ………………12分
18．（本小题满分12分）某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形ABC的三个顶点处，已知AB=AC=6km，现计划在BC边的高AO上一点P处建造一个变电站．记P到三个村庄的距离之和为y.
（1）设，求y关于的函数关系式；
（2）变电站建于何处时，它到三个小区的距离之和最小？
【解析】（1）在中，
所以=OA=，,
由题意知，. ……………………2分
所以点P到A,B,C的距离之和为
.
故所求函数关系式为. ………………………6分
（2）由（1）得，令,即，又，从而.
当时，；当时, ．
所以当 时，取得最小值， …………………… 10分
此时（km），即点P在OA上距O点km处．
答：变电站建于距O点km处时，它到三个小区的距离之和最小． ……………12分
19．（本小题满分13分）已知是函数的极值点．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）当R时，函数有两个零点，求实数m的取值范围.
【解析】（1）,
．
由已知得，解得a=1． ……………………3分
．
当时，，当时，．又，
所以当时，在上单调递减，单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减． …………7分
（2）由（1）知，当时，单调递减，
当，单调递增，. ………………9分要使函数有两个零点，则函数的图象与直线有两个不同的交点.①当时，m=0或；②当b=0时，； ③当. …………………………13分
【解析】（1）由题设易知，，
．
设表中的第行的数为，显然成等差数列，则它的第行的数是也成等差数列，它们的平均数分别是，，于是.
故数列是公比为2的等比数列. …………………………………7分
（2）由（1）知，，
故当时，，．
于是． ……………………………9分
设，
则 ①
②
①②得，，
化简得，，
故. ……………………………………13分
21．（本小题满分13分）已知函数的图象在上连续不断，定义：，．其中，表示函数在上的最小值，表示函数在上的最大值．若存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”．
（1）已知函数，试写出，的表达式，并判断是否为上的“阶收缩函数”，如果是，请求对应的的值；如果不是，请说明理由；
（2）已知，函数是上的2阶收缩函数，求的取值范围.
【解析】（1）由题意可得，，． ……………………2分
于是．
若是为上的“阶收缩函数”，则在上恒成立，且
成立.
令,，则，所以在单调递减，∴,，即，于是在恒成立;
又成立．
故存在最小的正整数，使是为上的“２阶收缩函数”． ………………6分
（2）,令得或.令，解得或3.
函数,的变化情况如下：
0 2
0 0
0 4
………………………………………………… 8分
ⅰ）时，在上单调递增，因此，，.
因为是上的2阶收缩函数，
所以，①对恒成立；
②存在，使得成立.
①即：对恒成立，由，解得：或，
要使对恒成立，需且只需. ……………………10分
②即：存在，使得成立.
由得：或，所以，需且只需.
综合①②可得：. ………………………11分
y
x
1
2
3
4
5
1
2
4
0
y
x
1
2
3
4
5
1
2
4
0
O
B
C
A
P
（第18题图）
1．设集合， ，则下列结论正确的是 （ ）
A． B． C． D．
2．若函数的定义域为R, 则“函数为奇函数”是“函数奇函数”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
3．已知函数的最小正周期为，则该函数图象（ ）
A．关于直线对称 B．关于直线对称
C．关于点(，0)对称 D．关于点(，0)对称
4．如右图，设为互相垂直的单位向量，则向量可表示为（ ）
A． B．
C． D．
5．设数列，分别为等差数列与等比数列，且，则以下结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
6. 函数是函数的导函数，且函数在点处的切线为，如果函数在区间
上的图像如图所示，且，那么（ ）
A．是的极大值点
B．=是的极小值点
C．不是极值点
D．是极值点
7．设为△内一点，若，有，则△的形状一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
8．已知函数满足：①定义域为R；②，有；③当时，．则方程在区间内的解个数是（ ）
A．20 B．12
C．11 D．10
选择题答题卡
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．
9．复数的实部与虚部之和为 ．
10．计算 ．
11．已知{}是各项均为正数的等比数列，=5，=10，则HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.DSMT4 = ．
12．已知函数，
则 ．
13．设有算法如右图：如果输入A=144, B=39,则输出的结
果是 .
14．设函数,．若，使得与同时成立，则实数a的取值范围是 ．
15．当n为正整数时，定义函数N (n)表示n的最大奇因数．如N (3) = 3，N (10) = 5，…．
记．
则（1） 86 ．（2） ．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）已知A,B,C三点的坐标分别为，，，其中．
（1）若，求角的值；
（2）若，求的值．
17．(本小题满分12分)在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，
（1）求角A，B，C的大小；
（2）若BC边上的中线AM的长为，求△ABC的面积．
19．（本小题满分13分）已知是函数的极值点．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）当R时，函数有两个零点，求实数m的取值范围.
20．（本小题满分13分）设数列是有穷等差数列，给出下面数表：
…… 第1行
…… 第2行
… … …
… …
… 第行
上表共有行，其中第1行的个数为，从第二行起，每行中的每一个数都等于它肩上两数之和.记表中各行的数的平均数（按自上而下的顺序）分别为．
（1）求证：数列成等比数列；
（2）若，求和.
21．（本小题满分13分）已知函数的图象在上连续不断，定义：，．其中，表示函数在上的最小值，表示函数在上的最大值．若存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”．
（1）已知函数，试写出，的表达式，并判断是否为上的“阶收缩函数”，如果是，请求对应的的值；如果不是，请说明理由；
（2）已知，函数是上的2阶收缩函数，求的取值范围.
理科数学教师用卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合， ，则下列结论正确的是 （ C ）
A． B． C． D．
2．若函数的定义域为R, 则“函数为奇函数”是“函数奇函数”的（ C ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
3．已知函数的最小正周期为，则该函数图象（ D ）
A．关于直线对称 B．关于直线对称
C．关于点(，0)对称 D．关于点(，0)对称
【解析】由已知得，时，f (x) = 0，故点是它的一个对称中心．
4．如右图，设为互相垂直的单位向量，则向量可表示为（ A ）
A． B．
C． D．
5．设数列，分别为等差数列与等比数列，且，则以下结论正确的是（ A ）
A. B. C. D.
【解析】
，于是故选A
6. 函数是函数的导函数，且函数在点处的切线为，如果函数在区间
上的图像如图所示，且，那么（ B ）
A．是的极大值点
B．=是的极小值点
C．不是极值点
D．是极值点
7．设为△内一点，若，有，则△的形状一定是（ B ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【解析】由题设得，，再由向量的几何意义易知，，故选B．
8．已知函数满足：①定义域为R；②，有；③当时，．则方程在区间内的解个数是（ C ）
A．20 B．12
C．11 D．10
【解析】（数形结合）在同一直角坐标内作
出函数和的图象如右图，
由图易知，与的图象
在有两个交点，在内有9个
交点，故方程在区间
内共有11个解．
选择题答题卡
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C D A A B B C
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．
9．复数的实部与虚部之和为．
10．计算 8 ．
11．已知{}是各项均为正数的等比数列，HYPERLINK "http://www./"=5，=10，则=HYPERLINK "http://www./"．
【解析】由等比数列的性质知，，，成等比数列,所以．
12．已知函数，
则．
13．设有算法如右图：如果输入A=144, B=39,则输出的结
果是 3 .
【解析】（1）A=144，B=39，C=27；（2）A=39，B=27，C=12；（3）A=27，B=12，C=3；（4）A=12，B=3，C=0.所以A=3．
14．设函数,．若，使得与同时成立，则实数a的取值范围是（7，＋∞）．
【解析】由题设知，，即或,且恒过定点．①当时，如上左图，则；③当时，如上右图，， 又，显然不成立．综上知，的取值范围为．
15．当n为正整数时，定义函数N (n)表示n的最大奇因数．如N (3) = 3，N (10) = 5，…．
记．
则（1） 86 ．（2） ．
【解析】由题设知，．
（1）
．
（2）
，．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）已知A,B,C三点的坐标分别为，，，其中．
（1）若，求角的值；
（2）若，求的值．
【解析】（1）∵，，
∴，．
由得． …………………………………4分
又，∴． …………………………………6分
（2）由，得，
∴，∴． ……………………………9分
又由，∴，∴．
故． ……………………………12分
17．(本小题满分12分)在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，
（1）求角A，B，C的大小；
（2）若BC边上的中线AM的长为，求△ABC的面积．
【解析】（1）由知，所以，又得，即，解得，（舍）．
故，． …………………………………………6分
（2）在△ABC中，由于BC边上中线AM的长为，故在△ABM中，由余弦定理得
， 即 ① ………………8分
在△ABC中，由正弦定理得
即 ② ………………10分
由①②解得
故 ………………12分
18．（本小题满分12分）某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形ABC的三个顶点处，已知AB=AC=6km，现计划在BC边的高AO上一点P处建造一个变电站．记P到三个村庄的距离之和为y.
（1）设，求y关于的函数关系式；
（2）变电站建于何处时，它到三个小区的距离之和最小？
【解析】（1）在中，
所以=OA=，,
由题意知，. ……………………2分
所以点P到A,B,C的距离之和为
.
故所求函数关系式为. ………………………6分
（2）由（1）得，令,即，又，从而.
当时，；当时, ．
所以当 时，取得最小值， …………………… 10分
此时（km），即点P在OA上距O点km处．
答：变电站建于距O点km处时，它到三个小区的距离之和最小． ……………12分
19．（本小题满分13分）已知是函数的极值点．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）当R时，函数有两个零点，求实数m的取值范围.
【解析】（1）,
．
由已知得，解得a=1． ……………………3分
．
当时，，当时，．又，
所以当时，在上单调递减，单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减． …………7分
（2）由（1）知，当时，单调递减，
当，单调递增，. ………………9分要使函数有两个零点，则函数的图象与直线有两个不同的交点.①当时，m=0或；②当b=0时，； ③当. …………………………13分
【解析】（1）由题设易知，，
．
设表中的第行的数为，显然成等差数列，则它的第行的数是也成等差数列，它们的平均数分别是，，于是.
故数列是公比为2的等比数列. …………………………………7分
（2）由（1）知，，
故当时，，．
于是． ……………………………9分
设，
则 ①
②
①②得，，
化简得，，
故. ……………………………………13分
21．（本小题满分13分）已知函数的图象在上连续不断，定义：，．其中，表示函数在上的最小值，表示函数在上的最大值．若存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”．
（1）已知函数，试写出，的表达式，并判断是否为上的“阶收缩函数”，如果是，请求对应的的值；如果不是，请说明理由；
（2）已知，函数是上的2阶收缩函数，求的取值范围.
【解析】（1）由题意可得，，． ……………………2分
于是．
若是为上的“阶收缩函数”，则在上恒成立，且
成立.
令,，则，所以在单调递减，∴,，即，于是在恒成立;
又成立．
故存在最小的正整数，使是为上的“２阶收缩函数”． ………………6分
（2）,令得或.令，解得或3.
函数,的变化情况如下：
0 2
0 0
0 4
………………………………………………… 8分
ⅰ）时，在上单调递增，因此，，.
因为是上的2阶收缩函数，
所以，①对恒成立；
②存在，使得成立.
①即：对恒成立，由，解得：或，
要使对恒成立，需且只需. ……………………10分
②即：存在，使得成立.
由得：或，所以，需且只需.
综合①②可得：. ………………………11分
y
x
1
2
3
4
5
1
2
4
0
y
x
1
2
3
4
5
1
2
4
0
O
B
C
A
P
（第18题图）
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