湖南省蓝山二中2012届高三第五次联考数学（文）试题

(考试范围：集合、逻辑用语、函数、导数、三角函数、
平面向量与复数、数列、不等式、概率统计、立体几何)
　　本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页。时量120分钟。满分150分。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
　1.已知命题p：“?x∈R，x2＋1>0”；命题q：“?x∈R，sinx＝2”则下列判断正确的是 ( )
A.p或q为真，非p为真 B. p或q为真，非p为假
C.p且q为真， 非p为真 D.p且q为真，非p为假
2.要得到一个奇函数，只需将函数f(x)＝sin(x－)的图象
( )
A.向右平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向左平移个单位
3.函数f(x)＝2x－的零点所在区间为 ( )
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
4.甲乙两位同学在高三的5次月考中数学成绩统计如茎叶图所示，若甲乙两人的平均成绩分别是，，则下列判断正确的是 ( )
A. >， 且乙比甲成绩稳定
B. >，且甲比乙成绩稳定
C.<， 且乙比甲成绩稳定
D.<， 且甲比乙成绩稳定
5.如右图是一个简单空间几何体的三视图，其主视图与左视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是( )
A. B.4
C. D.
6.设α、β为两个不同的平面，m、n为两条不同的直线，则以下判断不正确的是 ( )
A.若α∥β，m⊥α，则m⊥β
B.若m⊥α，n⊥α，则m∥n
C.若α⊥β，α∩β＝n，m?α，m⊥n，则m⊥β
D.若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β
8.已知正项等比数列{an}满足：a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得＝4a1，则＋的最小值为( )
A. B. C. D.不存在
选择题答题卡
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
9.函数y＝＋log3(1＋x)的定义域为 　 　.
10.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为100的样本，其频率分布直方图如图所示，则据此估计支出在[50,60)元的同学的概率为　
.
11.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知B＝，a＝，c＝2，
则△ABC的面积为______.
12.若向量a、b满足a＋b＝(2，－1)，a＝(1,2)，则向量a与b的夹角等于　 　 .
13.如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，异面直线BD与B′C所成角为 ；直线A′C与平面ABCD所成角的正弦值为　 　.
x-y≥0
14.满足约束条件 x+y≤2 的点P(x，y)所在区域的面积等于　 　.
x+2y≥2
15.若函数y＝f(x)(x∈D)同时满足下列条件：
(1)f(x)在D内为单调函数；(2)f(x)的值域为D的子集，则称此函数为D内的“保值函数”.
已知函数f(x)＝，g(x)＝ax2＋b.
①当a＝2时，f(x)＝是[0，＋∞)内的“保值函数”，则b的最小值为　 　；
②当－1≤a≤1，且a≠0，－1≤b≤1时，g(x)＝ax2＋b是[0,1]内的“保值函数”的概率为　 .
三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. (本小题满分12分)
已知sin(π－α)＝，α∈(0，).
(1)求sin2α－cos2的值；
(2)求函数f(x)＝cosαsin2x－cos2x的单调递增区间.
17. (本小题满分12分)
为了更好的开展社团活动，丰富同学们的课余生活，现用分层抽样的方法从“模拟联合国”， “街舞”， “动漫”，“话剧”四个社团中抽取若干人组成校社团指导小组，有关数据见下表(单位：人)
社团 相关人数 抽取人数
模拟联合国 24 a
街舞 18 3
动漫 b 4
话剧 12 c
(1)求a，b，c的值；
(2)若从“动漫”与“话剧”社团已抽取的人中选2人担任指导小组组长，求这2人分别来自这两个社团的概率.
19. (本小题满分13分)
某造船公司年造船量最多20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)＝3700x＋45x2－10x3(单位：万元)，成本函数为C(x)＝460x＋500(单位：万元).
(1)求利润函数p(x)；(提示：利润＝产值－成本)
(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？
(3)在经济学中，定义函数f(x)的边际函数Mf(x)＝f(x＋1)－f(x).求边际利润函数Mp(x)，并求Mp(x)单调递减时x的取值范围；试说明Mp(x)单调递减在本题中的实际意义是什么？(参考公式：(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3)
20.(本小题满分13分)
已知点列B1(1，b1)，B2(2，b2)，…，Bn(n，bn)，…(n∈N?)顺次为抛物线y＝x2上的点，过点Bn(n，bn)作抛物线y＝x2的切线交x轴于点An(an,0)，点Cn(cn,0)在x轴上，且点An，Bn，Cn构成以点Bn为顶点的等腰三角形.
(1)求数列{an}，{cn}的通项公式；
(2)是否存在n使等腰三角形AnBnCn为直角三角形，若有，请求出n；若没有，请说明理由.
(3)设数列{}的前n项和为Sn，求证：≤Sn<.
21.(本小题满分13分)
已知函数f(x)＝x(x－a)(x－b)，点A(s，f(s))，B(t，f(t)).
(1)若a＝0，b＝3，函数f(x)在(t，t＋3)上既能取到极大值，又能取到极小值，求t的取值范围；
(2)当a＝0时，＋lnx＋1≥0对任意的x∈[，＋∞)恒成立，求b的取值范围；
(3)若0数　学(文科)教师用卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
　1.已知命题p：“?x∈R，x2＋1>0”；命题q：“?x∈R，sinx＝2”则下列判断正确的是 (B)
A.p或q为真，非p为真 B. p或q为真，非p为假
C.p且q为真， 非p为真 D.p且q为真，非p为假
2.要得到一个奇函数，只需将函数f(x)＝sin(x－)的图象
(D)
A.向右平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向左平移个单位
3.函数f(x)＝2x－的零点所在区间为 (B)
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
4.甲乙两位同学在高三的5次月考中数学成绩统计如茎叶图所示，若甲乙两人的平均成绩分别是，，则下列判断正确的是 (C)
A. >， 且乙比甲成绩稳定
B. >，且甲比乙成绩稳定
C.<， 且乙比甲成绩稳定
D.<， 且甲比乙成绩稳定
5.如右图是一个简单空间几何体的三视图，其主视图与左视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是(C)
A. B.4
C. D.
6.设α、β为两个不同的平面，m、n为两条不同的直线，则以下判断不正确的是 (D)
A.若α∥β，m⊥α，则m⊥β
B.若m⊥α，n⊥α，则m∥n
C.若α⊥β，α∩β＝n，m?α，m⊥n，则m⊥β
D.若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β
7.下列图象中有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的导函数f′(x)的图象，则f(－1)＝(B)
A. B.－ C. D.－
8.已知正项等比数列{an}满足：a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得＝4a1，则＋的最小值为(A)
A. B. C. D.不存在
选择题答题卡
题　号 1 2 3 4 5 6 7 8
答　案 B D B C C D B A
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
9.函数y＝＋log3(1＋x)的定义域为 　(－1,2]　.
10.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为100的样本，其频率分布直方图如图所示，则据此估计支出在[50,60)元的同学的概率为　0.30　
.
11.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知B＝，a＝，c＝2，
则△ABC的面积为　　.
12.若向量a、b满足a＋b＝(2，－1)，a＝(1,2)，则向量a与b的夹角等于　135°　 .
13.如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，异面直线BD与B′C所成角为　　；直线A′C与平面ABCD所成角的正弦值为　　.
x-y≥0
14.满足约束条件 x+y≤2 的点P(x，y)所在区域的面积等于　　.
x+2y≥2
15.若函数y＝f(x)(x∈D)同时满足下列条件：
(1)f(x)在D内为单调函数；(2)f(x)的值域为D的子集，则称此函数为D内的“保值函数”.
已知函数f(x)＝，g(x)＝ax2＋b.
①当a＝2时，f(x)＝是[0，＋∞)内的“保值函数”，则b的最小值为　2　；
②当－1≤a≤1，且a≠0，－1≤b≤1时，g(x)＝ax2＋b是[0,1]内的“保值函数”的概率为　　.
三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. (本小题满分12分)
已知sin(π－α)＝，α∈(0，).
(1)求sin2α－cos2的值；
(2)求函数f(x)＝cosαsin2x－cos2x的单调递增区间.
解：(1)∵sin(π－α)＝，∴sinα＝，又∵α∈(0，)，∴cosα＝， (2分)
∴sin2α－cos2＝2sinαcosα－＝2××－＝，(6分)
(2)f(x)＝×sin2x－cos2x＝sin(2x－)，(9分)
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.(11分)
∴函数f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z.(12分)
17. (本小题满分12分)
为了更好的开展社团活动，丰富同学们的课余生活，现用分层抽样的方法从“模拟联合国”， “街舞”， “动漫”，“话剧”四个社团中抽取若干人组成校社团指导小组，有关数据见下表(单位：人)
社团 相关人数 抽取人数
模拟联合国 24 a
街舞 18 3
动漫 b 4
话剧 12 c
(1)求a，b，c的值；
(2)若从“动漫”与“话剧”社团已抽取的人中选2人担任指导小组组长，求这2人分别来自这两个社团的概率.
解：(1)由表可知抽取比例为，故a＝4，b＝24，c＝2. (4分)
(2)设“动漫”4人分别为：A1，A2，A3，A4；“话剧”2人分别为：B1，B2.则从中任选
2人的所有基本事件为：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A3，A4)，(A1，B1)，
(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)， (B1，B2)共15个， (8分)
其中2人分别来自这两个社团的基本事件为：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，
(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)共8个， (10分)
所以这2人分别来自这两个社团的概率P＝. (12分)
18. (本小题满分12分)
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，E、F分别为PC、BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD.
(1)求证：EF∥平面PAD；
(2)求证：PA⊥平面PCD.
19. (本小题满分13分)
某造船公司年造船量最多20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)＝3700x＋45x2－10x3(单位：万元)，成本函数为C(x)＝460x＋500(单位：万元).
(1)求利润函数p(x)；(提示：利润＝产值－成本)
(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？
(3)在经济学中，定义函数f(x)的边际函数Mf(x)＝f(x＋1)－f(x).求边际利润函数Mp(x)，并求Mp(x)单调递减时x的取值范围；试说明Mp(x)单调递减在本题中的实际意义是什么？(参考公式：(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3)
解：(1)p(x)＝R(x)－C(x)＝3700x＋45x2－10x3－460x－500
＝－10x3＋45x2＋3240x－500，(x∈N?，1≤x≤20) (3分)
(2)p′(x)＝－30x2＋90x＋3240＝－30(x－12)(x＋9)， (6分)
∴当0即年造船量安排12 艘时，可使公司造船的年利润最大. (8分)
(3)∵Mp(x)＝p(x＋1)－p(x)
＝－10(x＋1)3＋45(x＋1)2＋3240(x＋1)－500－(－10x3＋45x2＋3240x－500)
＝－30x2＋60x＋3275＝－30(x－1)2＋3305，(x∈N*,1≤x≤19)
所以，当x≥1时，Mp(x)单调递减，x的取值范围为[1,19]，且x∈N?. (11分)
Mp(x)是减函数的实际意义：随着产量的增加，每艘船的利润在减少.(13分)
20.(本小题满分13分)
已知点列B1(1，b1)，B2(2，b2)，…，Bn(n，bn)，…(n∈N?)顺次为抛物线y＝x2上的点，过点Bn(n，bn)作抛物线y＝x2的切线交x轴于点An(an,0)，点Cn(cn,0)在x轴上，且点An，Bn，Cn构成以点Bn为顶点的等腰三角形.
(1)求数列{an}，{cn}的通项公式；
(2)是否存在n使等腰三角形AnBnCn为直角三角形，若有，请求出n；若没有，请说明理由.
(3)设数列{}的前n项和为Sn，求证：≤Sn<.
解：(1)∵y＝x2，∴y′＝， y′|x＝n＝， 则点Bn(n，bn)作抛物线y＝x2的切线方程为：
y－＝(x－n)，令y＝0，则x＝，即an＝；(3分)
∵点An，Bn，Cn构成以点Bn为顶点的等腰三角形，则：an＋cn＝2n，∴cn＝2n－an＝ (5分)
(2)若等腰三角形AnBnCn为直角三角形，则|AnCn|＝2bn?n＝?n＝2，∴存在n ＝ 2，使等腰三角形A2B2C2为直角三角形 (9分)
(3)∵＝＝＝(－)(11分)
∴Sn＝(1－＋－＋…＋－)＝(1－)<
又1－随n的增大而增大，∴当n ＝1时Sn的最小值为：(1－)＝，
∴≤Sn<(13分)
21.(本小题满分13分)
已知函数f(x)＝x(x－a)(x－b)，点A(s，f(s))，B(t，f(t)).
(1)若a＝0，b＝3，函数f(x)在(t，t＋3)上既能取到极大值，又能取到极小值，求t的取值范围；
(2)当a＝0时，＋lnx＋1≥0对任意的x∈[，＋∞)恒成立，求b的取值范围；
(3)若0解：(1)当a＝0，b＝3时f(x)＝x3－3x2，∴f′(x)＝3x2－6x，
∴f(x)在(－∞，0)和(2，＋∞)上递增，在(0,2)上递减， (2分)
所以f(x)在0和2处分别达到极大和极小，由已知有
t<0且t＋3>2，因而t的取值范围是(－1,0). (4分)
(2)当a＝0时，＋lnx＋1≥0即x2－bx＋lnx＋1≥0
可化为x＋＋≥b，记g(x)＝x＋＋(x≥)，
则g′(x)＝1＋－＝.(6分)
记m(x)＝x2－lnx，则m′(x)＝2x－，
∴m(x)在(，)上递减，在(，＋∞)上递增.
∴m(x)≥m()＝－ln>0
从而g′(x)>0，∴g(x)在[，＋∞)上递增
因此g(x)min＝g()＝－2ln2≥b，故b≤－2ln2. (9分)
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学校名录参见：http://21世纪教育网/wxt/list.aspx ClassID=3060