湖南省蓝山二中2012届高三第五次联考数学（理）试题

时量：120分钟　　满分：150分
(考试范围：集合、逻辑、算法、函数、导数、三角函数、平面向量与复数、数列、
推理与应用、不等式、不等式证明、计数原理、二项式定理、概率)
　本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页。时量120分钟。满分150分。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A＝{－2,0,1}，集合B＝{x||x|A.3 B.2 C.1 D.0
2.若(1－2x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|的值为( )
A.1 B.16 C.81 D.41
3.如图，设D是图中边长分别为2和4的矩形区域，E是D内位于函数y＝x2图象下方的区域(阴影部分)，向D内随机抛掷30个点，则落在E内的点的个数约为( )
A.15 B.20 C.5 D.10
4.已知命题p：“a＝1是?x>0，x＋≥2的充分必要条件”，命题q：“?x0∈R，x＋x0－2>0”，则下列命题正确的是( )
A.命题“p∧q”是真命题
B.命题“p∧(┐q)”是真命题
C.命题“(┐p)∧q”是真命题
D.命题“(┐p)∧(┐q)”是真命题
5.已知cos(－α)＝，则sin(－2α)的值为( )
A. B.－ C. D.－
6.已知函数f(x)＝ 2a(x≥2) 则f(log45)等于(B)
f(x+2)(x<2)，
A.2 B.4 C.3 D.
x-y+2≥0
7.已知实数x，y满足线性约束条件 x+y-4≥0 ，目标函数z＝y－ax(a∈R)，若z取最大
2x-y-5≤0
值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a的取值范围是( )
A.(0,1) B.(－1,0) C.(1，＋∞) D.(－∞，－1)
8.形如45132这样的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比它们各自相邻的数字大，则由1、2、3、4、5可构成的数字不重复的五位“波浪数”的概率为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
9.幂函数f(x)＝xα(α为常数)的图象经过(3，)，则f(x)的解析式是 　.
10.函数f(x)＝exlnx－1的零点个数是　 　个.
11.按下图所示的程序框图运算：若输出k＝2，则输入x的取值范围是　 　.
12.数列{an}满足：a1＝2，an＝1－(n＝2,3,4，…)，则a12＝　 　.
13.已知函数f(x)＝|x－2|，若?a≠0，且a，b∈R，都有不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|·f(x)成立，则实数x的取值范围是　 　.
14.在△ABC中有如下结论：“若点M为△ABC的重心，则＋＋＝0”，设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，点M为△ABC的重心.如果a＋b＋c＝0，则内角A的大小为 ；若a＝3，则△ABC的面积为　 　.
15.给定集合A＝{a1，a2，a3，…，an}(n∈N?，n≥3)，定义ai＋aj(1≤i三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分12分)
若盒中装有同一型号的灯泡共12只，其中有9只合格品，3只次品.
(1)某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡3次，每次取一只灯泡，求2次取到次品的概率；
(2)某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡，每次从中取一灯泡，若是正品则用它更换已坏灯泡，若是次品则将其报废(不再放回原盒中)，求成功更换会议室的已坏灯泡前取出的次品灯泡只数X的分布列和数学期望.
17.(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝2sinωx·cos(ωx＋)＋(ω>0)的最小正周期为4π.
(1)求正实数ω的值；
(2)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足2bcosA＝acosC＋ccosA，求f(A)的值.
18.(本小题满分12分)
已知数列{an}的前三项与数列{bn}的前三项对应相等，且a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝8n对任意的n∈N*都成立，数列{bn＋1－bn}是等差数列.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
(2)是否存在k∈N*，使得bk－ak∈(0,1)？请说明理由.
19.(本小题满分13分)
某化工厂生产某种产品，每件产品的生产成本是3元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为x元(7≤x≤10)时，一年的产量为(11－x)2万件；若该企业所生产的产品全部销售，则称该企业正常生产；但为了保护环境，用于污染治理的费用与产量成正比，比例系数为常数a(1≤a≤3).
(1)求该企业正常生产一年的利润L(x)与出厂价x的函数关系式；
(2)当每件产品的出厂价定为多少元时，企业一年的利润最大，并求最大利润.
20.(本小题满分13分)
设函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递增，若对任意x，y∈(0，＋∞)都有：f(xy)＝f(x)＋f(y)成立，数列{an}满足：a1＝f(1)＋1，f(－)＋f(＋)＝0.设Sn＝aa＋aa＋aa＋…＋aa＋aa.
(1)求数列{an}的通项公式，并求Sn关于n的表达式；
(2)设函数g(x)对任意x、y都有：g(x＋y)＝g(x)＋g(y)＋2xy，若g(1)＝1，正项数列{bn}满足：b＝g()，Tn为数列{bn}的前n项和，试比较4Sn与Tn的大小.
21.(本小题满分13分)
定义F(x，y)＝(1＋x)y，其中x，y∈(0，＋∞).
(1)令函数f(x)＝F(1，log2(x3＋ax2＋bx＋1))，其图象为曲线C，若存在实数b使得曲线C在x0(－4(2)令函数g(x)＝F(1，log2[(lnx－1)ex＋x])，是否存在实数x0∈[1，e]，使曲线y＝g(x)在点x＝x0处的切线与y轴垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由.
(3)当x，y∈N?，且xF(y，x).
数　学(理科) 教师用卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A＝{－2,0,1}，集合B＝{x||x|A.3 B.2 C.1 D.0
2.若(1－2x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|的值为(C)
A.1 B.16 C.81 D.41
3.如图，设D是图中边长分别为2和4的矩形区域，E是D内位于函数y＝x2图象下方的区域(阴影部分)，向D内随机抛掷30个点，则落在E内的点的个数约为(D)
A.15 B.20 C.5 D.10
4.已知命题p：“a＝1是?x>0，x＋≥2的充分必要条件”，命题q：“?x0∈R，x＋x0－2>0”，则下列命题正确的是(C)
A.命题“p∧q”是真命题
B.命题“p∧(┐q)”是真命题
C.命题“(┐p)∧q”是真命题
D.命题“(┐p)∧(┐q)”是真命题
5.已知cos(－α)＝，则sin(－2α)的值为(B)
A. B.－ C. D.－
6.已知函数f(x)＝ 2a(x≥2) 则f(log45)等于(B)
f(x+2)(x<2)，
A.2 B.4 C.3 D.
解：∵1x-y+2≥0
7.已知实数x，y满足线性约束条件 x+y-4≥0 ，目标函数z＝y－ax(a∈R)，若z取最大
2x-y-5≤0
值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a的取值范围是(C)
A.(0,1) B.(－1,0) C.(1，＋∞) D.(－∞，－1)
解：约束条件对应的平面区域如下图，而直线x＋y－4＝0与x－y＋2＝0交于点A(1,3)，此时取最大值，故a>1.
8.形如45132这样的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比它们各自相邻的数字大，则由1、2、3、4、5可构成的数字不重复的五位“波浪数”的概率为(D)
A. B. C. D.
解：当十位与千位是4或5时，共有波浪数为AA＝12个.当千位是5，十位是3时，万位只能是4，此时共有2个波浪数.当千位是3，十位是5时，末位只能是4.此时共有2个波浪数.故所求概率P＝＝.
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
9.幂函数f(x)＝xα(α为常数)的图象经过(3，)，则f(x)的解析式是　f(x)＝x　.
10.函数f(x)＝exlnx－1的零点个数是　1　个.
11.按下图所示的程序框图运算：若输出k＝2，则输入x的取值范围是　(28,57]　.
解：当输出k＝2时，应满足 2x+1≤115，解得282(2x+1)+1>115
12.数列{an}满足：a1＝2，an＝1－(n＝2,3,4，…)，则a12＝　－1　.
解：由已知a1＝2，a2＝1－＝，a3＝1－＝－1，a4＝1－＝2，
可知{an}是周期为3的周期数列，则a12＝a3×4＝a3＝－1.
13.已知函数f(x)＝|x－2|，若?a≠0，且a，b∈R，都有不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|·f(x)成立，则实数x的取值范围是　[0,4]　.
解：|a＋b|＋|a－b|≥|a|·f(x)及a≠0得f(x)≤恒成立，
而≥＝2，则f(x)≤2，从而|x－2|≤2，解得0≤x≤4.
14.在△ABC中有如下结论：“若点M为△ABC的重心，则＋＋＝0”，设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，点M为△ABC的重心.如果a＋b＋c＝0，则内角A的大小为　　；若a＝3，则△ABC的面积为　　.
解：由a＋b＋c＝a＋b＋c(－－)＝(a－c)＋(b－c)＝0.
又与不共线，则a＝c＝b，由余弦定理可求得cosA＝，故A＝.
又S△＝bcsinA＝×3×3×＝.
15.给定集合A＝{a1，a2，a3，…，an}(n∈N?，n≥3)，定义ai＋aj(1≤i解：①∵2＋4＝6,2＋6＝8,2＋8＝10,4＋6＝10,4＋8＝12,6＋8＝14，∴L(A)＝5.
②不妨设数列{an}是递增等差数列可知a1又据等差数列的性质：当i＋j≤m时，ai＋aj＝a1＋ai＋j－1；
当i＋j>m时，ai＋aj＝ai＋j－m＋am，
因此每个和ai＋aj(1≤i或者等于al＋am(2≤l≤m－1)中的一个.故L(A)＝2m－3.
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分12分)
若盒中装有同一型号的灯泡共12只，其中有9只合格品，3只次品.
(1)某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡3次，每次取一只灯泡，求2次取到次品的概率；
(2)某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡，每次从中取一灯泡，若是正品则用它更换已坏灯泡，若是次品则将其报废(不再放回原盒中)，求成功更换会议室的已坏灯泡前取出的次品灯泡只数X的分布列和数学期望.
解：(1)每次取到一只次品的概率P1＝＝，
则有放回连续取3次，其中2次取得次品的概率P＝C()2·(1－)＝.(5分)
(2)依题知X的可能取值为0、1、2、3.(6分)
且P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝×＝，
P(X＝2)＝××＝，
P(X＝3)＝×××＝.(8分)
则X的分布列如下表：
X 0 1 2 3
P
(10分)
EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝.(12分)
17.(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝2sinωx·cos(ωx＋)＋(ω>0)的最小正周期为4π.
(1)求正实数ω的值；
(2)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足2bcosA＝acosC＋ccosA，求f(A)的值.
解：(1)∵f(x)＝2sinωx(cosωx·cos－sinωx·sin)＋(2分)
＝sinωxcosωx－sin2ωx＋
＝sin2ωx－(1－cos2ωx)＋＝sin(2ωx＋).(5分)
又f(x)的最小正周期T＝＝4π，则ω＝.(6分)
(2)由2bcosA＝acosC＋ccosA及正弦定理可得2sinBcosA＝sinAcosC＋sinCcosA＝sin(A＋C).
又A＋B＋C＝π，则2sinBcosA＝sinB.(8分)
而sinB≠0，则cosA＝.又A∈(0，π)，故A＝.(10分)
由(1)f(x)＝sin(＋)，从而f(A)＝sin(×＋)＝sin＝.(12分)
18.(本小题满分12分)
已知数列{an}的前三项与数列{bn}的前三项对应相等，且a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝8n对任意的n∈N*都成立，数列{bn＋1－bn}是等差数列.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
(2)是否存在k∈N*，使得bk－ak∈(0,1)？请说明理由.
解：(1)已知a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝8n(n∈N*).①
n≥2时，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2an－1＝8(n－1)(n∈N*).②
①－②得2n－1an＝8，解得an＝24－n，在①中令n＝1，可得a1＝8＝24－1，
所以an＝24－n(n∈N*).(4分)
由题意b1＝8，b2＝4，b3＝2，所以b2－b1＝－4，b3－b2＝－2，
∴数列{bn＋1－bn}的公差为－2－(－4)＝2，
∴bn＋1－bn＝－4＋(n－1)×2＝2n－6，
bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)
＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n－8)＝n2－7n＋14(n∈N*).(8分)
(2)bk－ak＝k2－7k＋14－24－k，当k≥4时，f(k)＝(k－)2＋－24－k单调递增，
且f(4)＝1，所以k≥4时，f(k)＝k2－7k＋14－24－k≥1.
又f(1)＝f(2)＝f(3)＝0，所以，不存在k∈N*，使得bk－ak∈(0,1).(12分)
19.(本小题满分13分)
某化工厂生产某种产品，每件产品的生产成本是3元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为x元(7≤x≤10)时，一年的产量为(11－x)2万件；若该企业所生产的产品全部销售，则称该企业正常生产；但为了保护环境，用于污染治理的费用与产量成正比，比例系数为常数a(1≤a≤3).
(1)求该企业正常生产一年的利润L(x)与出厂价x的函数关系式；
(2)当每件产品的出厂价定为多少元时，企业一年的利润最大，并求最大利润.
解：(1)依题意，L(x)＝(x－3)(11－x)2－a(11－x)2＝(x－3－a)(11－x)2，x∈[7,10].(4分)
(2)因为L′(x)＝(11－x)2－2(x－3－a)(11－x)＝(11－x)(11－x－2x＋6＋2a)
＝(11－x)(17＋2a－3x).
由L′(x)＝0，得x＝11?[7,10]或x＝.(6分)
因为1≤a≤3，所以≤≤.
①当≤≤7，即1≤a≤2时，L′(x)在[7,10]上恒为负，则L(x)在[7,10]上为减函数，所以[L(x)]max＝L(7)＝16(4－a).(9分)
②当7<≤，即2即当1≤a≤2时，则每件产品出厂价为7元时，年利润最大，为16(4－a)万元.当220.(本小题满分13分)
设函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递增，若对任意x，y∈(0，＋∞)都有：f(xy)＝f(x)＋f(y)成立，数列{an}满足：a1＝f(1)＋1，f(－)＋f(＋)＝0.设Sn＝aa＋aa＋aa＋…＋aa＋aa.
(1)求数列{an}的通项公式，并求Sn关于n的表达式；
(2)设函数g(x)对任意x、y都有：g(x＋y)＝g(x)＋g(y)＋2xy，若g(1)＝1，正项数列{bn}满足：b＝g()，Tn为数列{bn}的前n项和，试比较4Sn与Tn的大小.
解：(1)当x，y∈(0，＋∞)时，有f(xy)＝f(x)＋f(y)，
令x＝y＝1得f(1)＝2f(1)，得f(1)＝0，所以a1＝f(1)＋1＝1.(1分)
因为f(－)＋f(＋)＝0，所以f(－)＝0＝f(1).
又因为y＝f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，所以－＝1，即－＝4，(3分)
所以数列{}是以1为首项，4为公差的等差数列，所以＝4n－3，所以an＝ .
∵aa＝＝[－]，
∴Sn＝[－＋－＋…＋－]＝[1－].(5分)
(2)由于任意x，y∈R都有g(x＋y)＝g(x)＋g(y)＋2xy，则g(2x)＝2g(x)＋2x2，
∴g(1)＝2g()＋2·()2＝2[2g()＋2·()2]＋＝22g()＋＋
＝22[2g()＋2·()2]＋＋＝23g()＋＋＋
＝…＝2ng()＋＋＋＋…＋＋＝1，
∴g()＝，即b＝.
又bn>0，∴bn＝，(9分)
∴Tn＝＋＋…＋＝1－，又4Sn＝1－.
当n＝1,2,3,4时，4n＋1>2n，∴4Sn>Tn；(10分)
当n≥5时，2n＝C＋C＋C＋…＋C＋C>1＋2n＋2＝1＋n2＋n.
而n2＋n＋1－(4n＋1)＝n2－3n＝n(n－3)>0，故4Sn(用数学归纳法证明参照计分)
21.(本小题满分13分)
定义F(x，y)＝(1＋x)y，其中x，y∈(0，＋∞).
(1)令函数f(x)＝F(1，log2(x3＋ax2＋bx＋1))，其图象为曲线C，若存在实数b使得曲线C在x0(－4(2)令函数g(x)＝F(1，log2[(lnx－1)ex＋x])，是否存在实数x0∈[1，e]，使曲线y＝g(x)在点x＝x0处的切线与y轴垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由.
(3)当x，y∈N?，且xF(y，x).
解：(1)f(x)＝F(1，log2(x3＋ax2＋bx＋1))＝x3＋ax2＋bx＋1，设曲线C在x0(－4又由题设知log2(x3＋ax2＋bx＋1)>0，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
3x20+2ax0+b=-8 ①
∴存在实数b使得 -4x30+ax20+bx0>0 ③
由①得b＝－8－3x－2ax0，代入③得－2x－ax0－8<0，
∴由 2x20+ax0+8>0 有解，
-4< x0<-1
得2×(－4)2＋a×(－4)＋8>0或2×(－1)2＋a×(－1)＋8>0，
∴a<10或a<10，∴a<10.(5分)
(2)∵g(x)＝(lnx－1)ex＋x，
∴g′(x)＝(lnx－1)′ex＋(lnx－1)(ex)′＋1＝＋(lnx－1)ex＋1＝(＋lnx－1)ex＋1.(6分)
设h(x)＝＋lnx－1.则h′(x)＝－＋＝，
当x∈[1，e]时，h′(x)≥0.
h(x)为增函数，因此h(x)在区间[1，e]上的最小值为ln1＝0，即＋lnx－1≥0.
当x0∈[1，e]时，ex0>0，＋lnx0－1≥0，
∴g′(x0)＝(＋lnx0－1)ex0＋1≥1>0.(8分)
曲线y＝g(x)在点x＝x0处的切线与y轴垂直等价于方程g′(x0)＝0有实数解.
而g′(x0)>0，即方程g′(x0)＝0无实数解.
故不存在实数x0∈[1，e]，使曲线y＝g(x)在点x＝x0处的切线与y轴垂直.(9分)
附件1：律师事务所反盗版维权声明
附件2：独家资源交换签约学校名录（放大查看）
学校名录参见：http://21世纪教育网/wxt/list.aspx ClassID=3060