7.1.2复数的几何意义作业与测评- 2020-2021学年高一数学人教A版（2019）必修第二册

7．1.2　复数的几何意义
　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　复平面内的复数与点的对应
1.复数1－2i在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．在复平面内的复数3i－i2对应的点的坐标为(　　)
A．(1,3)
B．(3,1)
C．(－1,3)
D．(3，－1)
3．已知z＝(m2－1)＋mi在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－1,1)
B．(－1,0)
C．(0,1)
D．(－∞，1)
知识点二　复数与复平面内的向量
4.向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是5＋4i，则＋对应的复数是(　　)
A．10
B．10－8i
C．0
D．10＋8i
5．复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，则向量表示的复数是________．
6．在复平面内，已知O为坐标原点，点Z1，Z2分别对应复数z1＝4＋3i，z2＝2a－3i(a∈R)，若⊥，则a＝________.
知识点三　复数的模与共轭复数
7.已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，则下列各式正确的是(　　)
A．z1>z2
B．z1C．|z1|>|z2|
D．|z1|<|z2|
8．已知复数z满足|z|＝1，则z＝(　　)
A．±1
B．±i
C．a＋bi(a，b∈R)，且a2＋b2＝1
D．1＋i
9．已知复数z＝6－2i(i为虚数单位)，则在复平面内z的共轭复数所对应的点为(　　)
A．(6，－2)
B．(6,2)
C．(－2,6)
D．(2,6)
10．已知复数z＝1－2mi(m∈R)，且|z|≤2，则实数m的取值范围是________．
知识点四　复数的几何意义的应用
11.设z∈C，则满足条件|z|＝|3＋4i|的复数z在复平面上对应的点Z的集合是什么图形？
12．已知两向量a，b对应的复数分别是z1＝－3，z2＝－＋mi(m∈R)，且a，b的夹角为60°，求m的值．
　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题
1．已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－3,1)
B．(－1,3)
C．(1，＋∞)
D．(－∞，－3)
2．已知0＜a＜2，复数z＝a＋i(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是(　　)
A．(1，)
B．(1，)
C．(1,3)
D．(1,5)
3．已知复数z＝x＋1＋(y－1)i(x，y∈R)在复平面内对应的点位于第二象限，则点(x，y)所在的平面区域是(　　)
4．复平面内，向量表示的复数为1＋i，将向右平移一个单位后得到向量，则向量与点A′对应的复数分别为(　　)
A．1＋i,1＋i
B．2＋i,2＋i
C．1＋i,2＋i
D．2＋i,1＋i
5．(多选)已知复数z＝1＋cos2θ＋isin2θ(其中i为虚数单位)，下列说法正确的是(　　)
A．复数z在复平面内对应的点可能落在第一象限
B．复数z在复平面内对应的点可能落在实轴上
C．|z|＝2cosθ
D.＝－2cos2θ－isin2θ
二、填空题
6．在复平面内，O为坐标原点，向量对应的复数为3－4i，若点B关于原点的对称点为A，点A关于虚轴的对称点为C，则向量对应的复数为________．
7．复数z＝1＋cosα＋isinα(π<α<2π)的模的取值范围为________．
8．已知i为虚数单位，a为实数，复数z＝a＋2＋(1－2a)i在复平面内对应的点为M，则“a>”是“点M在第四象限”的________(填“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”)．
三、解答题
9．求当实数m为何实数时，复平面内表示复数z＝(1－m)＋(4－m2)i的点位于(1)虚轴上；(2)第二象限；(3)直线3x－y＋1＝0上．
10．设z＝x＋yi(x，y∈R)，若1≤|z|≤，判断复数ω＝x＋y＋(x－y)i的对应点的集合表示什么图形，并求其面积．
7．1.2　复数的几何意义
　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　复平面内的复数与点的对应
1.复数1－2i在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
答案　D
解析　复数1－2i在复平面内对应的点的坐标为(1，－2)，位于第四象限．
2．在复平面内的复数3i－i2对应的点的坐标为(　　)
A．(1,3)
B．(3,1)
C．(－1,3)
D．(3，－1)
答案　A
解析　3i－i2＝1＋3i，故复数3i－i2对应的点的坐标为(1,3)．故选A.
3．已知z＝(m2－1)＋mi在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－1,1)
B．(－1,0)
C．(0,1)
D．(－∞，1)
答案　C
解析　由z在复平面内对应的点在第二象限，得解得0知识点二　复数与复平面内的向量
4.向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是5＋4i，则＋对应的复数是(　　)
A．10
B．10－8i
C．0
D．10＋8i
答案　A
解析　因为向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是5＋4i，所以＝(5，－4)，＝(5,4)，所以＋＝(5，－4)＋(5,4)＝(10,0)，所以＋对应的复数是10.
5．复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，则向量表示的复数是________．
答案　－6－8i
解析　因为复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，所以＝(4,3)，＝(－2，－5)．又因为＝－＝(－2，－5)－(4,3)＝(－6，－8)，所以向量表示的复数是－6－8i.
6．在复平面内，已知O为坐标原点，点Z1，Z2分别对应复数z1＝4＋3i，z2＝2a－3i(a∈R)，若⊥，则a＝________.
答案　
解析　因为z1＝4＋3i，z2＝2a－3i(a∈R)，所以＝(4,3)，＝(2a，－3)．因为⊥，所以8a＝9，即a＝.
知识点三　复数的模与共轭复数
7.已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，则下列各式正确的是(　　)
A．z1>z2
B．z1C．|z1|>|z2|
D．|z1|<|z2|
答案　D
解析　复数不能比较大小，排除A，B；|z1|＝，|z2|＝，∴|z1|<|z2|.故选D.
8．已知复数z满足|z|＝1，则z＝(　　)
A．±1
B．±i
C．a＋bi(a，b∈R)，且a2＋b2＝1
D．1＋i
答案　C
解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则由|z|＝1，得a2＋b2＝1.故选C.
9．已知复数z＝6－2i(i为虚数单位)，则在复平面内z的共轭复数所对应的点为(　　)
A．(6，－2)
B．(6,2)
C．(－2,6)
D．(2,6)
答案　B
解析　由题意，可知＝6＋2i，则在复平面内所对应的点为(6,2)．故选B.
10．已知复数z＝1－2mi(m∈R)，且|z|≤2，则实数m的取值范围是________．
答案　
解析　|z|＝≤2，解得－≤m≤.
知识点四　复数的几何意义的应用
11.设z∈C，则满足条件|z|＝|3＋4i|的复数z在复平面上对应的点Z的集合是什么图形？
解　由|z|＝|3＋4i|得|z|＝5.
这表明向量的长度等于5，即点Z到原点的距离等于5.
因此满足条件的点Z的集合是以原点O为圆心，5为半径的圆．
12．已知两向量a，b对应的复数分别是z1＝－3，z2＝－＋mi(m∈R)，且a，b的夹角为60°，求m的值．
解　因为a，b对应的复数分别为z1＝－3，z2＝－＋mi(m∈R)，
所以a＝(－3,0)，b＝.
又a，b的夹角为60°，
所以cos60°＝，
即＝，解得m＝±.
　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题
1．已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－3,1)
B．(－1,3)
C．(1，＋∞)
D．(－∞，－3)
答案　A
解析　由已知可得复数z在复平面内对应的点的坐标为(m＋3，m－1)，所以解得－3＜m＜1.故选A.
2．已知0＜a＜2，复数z＝a＋i(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是(　　)
A．(1，)
B．(1，)
C．(1,3)
D．(1,5)
答案　B
解析　|z|＝.∵0＜a＜2，∴0＜a2＜4.
∴1＜＜，即1＜|z|＜.故选B.
3．已知复数z＝x＋1＋(y－1)i(x，y∈R)在复平面内对应的点位于第二象限，则点(x，y)所在的平面区域是(　　)
答案　A
解析　由题意得解得故点(x，y)所在的平面区域为A中的阴影部分．
4．复平面内，向量表示的复数为1＋i，将向右平移一个单位后得到向量，则向量与点A′对应的复数分别为(　　)
A．1＋i,1＋i
B．2＋i,2＋i
C．1＋i,2＋i
D．2＋i,1＋i
答案　C
解析　∵表示复数1＋i，∴点A(1,1)，将向右平移一个单位，得对应的复数为1＋i，A′(2,1)，∴点A′对应复数2＋i.故选C.
5．(多选)已知复数z＝1＋cos2θ＋isin2θ(其中i为虚数单位)，下列说法正确的是(　　)
A．复数z在复平面内对应的点可能落在第一象限
B．复数z在复平面内对应的点可能落在实轴上
C．|z|＝2cosθ
D.＝－2cos2θ－isin2θ
答案　ABC
解析　z＝1＋cos2θ＋isin2θ＝2cos2θ＋2isinθcosθ，∵－<θ<，∴cosθ∈(0,1)，sinθ∈(－1,1)，∴复数z在复平面内对应的点可能落在第一象限内、实轴上或第四象限内，A，B正确；|z|＝＝2|cosθ|＝2cosθ，C正确；＝1＋cos2θ－isin2θ＝2cos2θ－isin2θ，D错误．故选ABC.
二、填空题
6．在复平面内，O为坐标原点，向量对应的复数为3－4i，若点B关于原点的对称点为A，点A关于虚轴的对称点为C，则向量对应的复数为________．
答案　3＋4i
解析　∵点B的坐标为(3，－4)，∴点A的坐标为(－3,4)．∴点C的坐标为(3,4)．∴向量对应的复数为3＋4i.
7．复数z＝1＋cosα＋isinα(π<α<2π)的模的取值范围为________．
答案　(0,2)
解析　|z|＝＝，∵π<α<2π，∴－18．已知i为虚数单位，a为实数，复数z＝a＋2＋(1－2a)i在复平面内对应的点为M，则“a>”是“点M在第四象限”的________(填“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”)．
答案　充要条件
解析　由题意得，在复平面内点M的坐标为(a＋2,1－2a)，当a>时，a＋2>>0,1－2a<0，所以点M在第四象限；当点M在第四象限时，则解得a>.故“a>”是“点M在第四象限”的充要条件．
三、解答题
9．求当实数m为何实数时，复平面内表示复数z＝(1－m)＋(4－m2)i的点位于(1)虚轴上；(2)第二象限；(3)直线3x－y＋1＝0上．
解　∵m为实数，∴1－m,4－m2都是实数，
∴复数z＝(1－m)＋(4－m2)i对应的点的坐标为(1－m，4－m2)．
(1)复数z对应的点位于虚轴上，则1－m＝0，解得m＝1.
(2)复数z对应的点位于第二象限，则
∴故1＜m＜2.
(3)复数z对应的点位于直线3x－y＋1＝0上，
则3(1－m)－(4－m2)＋1＝0，解得m＝0或m＝3.
10．设z＝x＋yi(x，y∈R)，若1≤|z|≤，判断复数ω＝x＋y＋(x－y)i的对应点的集合表示什么图形，并求其面积．
解　|ω|＝＝＝|z|，而1≤|z|≤，故≤|ω|≤2.
所以ω对应点的集合是以原点为圆心，半径为和2的两圆所夹圆环内点的集合(含内外圆周)，其面积S＝π[22－()2]＝2π.