湖南省蓝山二中2012届高三第七次联考数学（理）试题

(考试范围：高考理科内容(不含选修系列4))
　本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页。时量120分钟。满分150分。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.直线x＋y－1＝0的倾斜角是( )
A.－ B. C. D.
2.“p∧q是真命题”是“p∨q是真命题”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( )
A.9π B.10π
C.11π D.12π
4.在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6等于( )
A.40 B.42
C.43 D.45
5.设m>0，则直线x＋y＋1＋m＝0与圆x2＋y2＝m的位置关系是( )
A.相切 B.相交 C.相切或相离 D.相交或相切
6.下列函数中，图象的一部分如右图所示的是( )
A.y＝sin(2x＋) B.y＝sin(2x－)
C.y＝cos(2x＋) D.y＝cos(2x－)
7.函数y＝lgx－的零点所在的大致区间是( )
A.(6,7) B.(7,8) C.(8,9) D.(9,10)
8.设m∈N*，F(m)表示log2m的整数部分，则F(210＋1)＋F(210＋2)＋F(210＋3)＋…＋F(211)的值为( )
A.10×210 B.10×210＋1 C.10×210＋2 D.10×210－1
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
9.∫x2dx＝ .
10.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品.产品数量之比依次为2∶3∶5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，已知A种型号产品共抽取了16件，那么此样本的容量n＝　 　.
11.如右图所示的算法流程图中，输出S的值为　 　.
12.设A、B为x轴上两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－2y＋1＝0，则直线PB的方程是　 　.
13.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝3|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为　 　.
14.在△ABC中，P为中线AM上的一个动点，若||＝2，则·(＋)的最小值为　 　.
15.如图，将平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标数字0，点(1,0)处标数字1，点(1，－1)处标数字2，点(0，－1)处标数字3，点(－1，－1)处标数字4，点(－1,0)处标数字5，点(－1,1)处标数字6，点(0，1)处标数字7，…以此类推，①标数字50的格点的坐标为　 　.②记格点坐标为(m，n)的点(m、n均为正整数)处所标的数字为f(m，n)，若n>m，则f(m，n)＝　 　.
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分12分)
已知sin－2cos＝0.
(1)求tanx的值；
(2)求的值.
17.(本小题满分12分)
某旅游公司为3个旅游团提供甲、乙、丙、丁4条旅游线路，每个旅游团只能任选其中一条线路，不同的旅游团可选相同的旅游线路.
(1)求3个旅游团选择3条不同的线路的概率；
(2)求选择甲线路旅游团的团数的分布列和期望.
19.(本小题满分13分)
已知函数f(x)＝ax2＋(1－a)x－1－lnx，a∈R.
(1)若函数在区间(2,4)上存在单调递增区间，求a的取值范围；
(2)求函数的单调增区间.
20.(本小题满分13分)
某公园的大型中心花园的边界为椭圆，花园内种植各种花草，为增强观赏性，在椭圆内以其中心为直角顶点且关于中心对称的两个直角三角形内种植名贵花草(如图)，并以该直角三角形斜边开辟观赏小道(不计小道的宽度)，某园林公司承接了该中心花园的施工建设，在施工时发现，椭圆边界上任意一点到椭圆两焦点距离和为4(单位：百米)，且椭圆上点到焦点的最近距离为1(单位：百米).
(1)试以椭圆中心为原点建立适当的坐标系，求出该椭圆的标准方程；
(2)请计算观赏小道的长度(不计小道宽度)的最大值.
21.(本小题满分13分)
顶点在坐标原点，开口向上的抛物线经过A0(1,1)，过A0作抛物线的切线交x轴于B1，过B1点作x轴的垂线交抛物线于A1，过A1作抛物线的切线交x轴于B2，…，过An(xn，yn)作抛物线的切线交x轴于Bn＋1(xn＋1,0)
(1)求{xn}，{yn}的通项公式；
(2)设an＝＋，数列{an}的前n项和为Tn.求证：Tn>2n－.
(3)设bn＝1－log2yn，若对任意正整数n，不等式(1＋)(1＋)…(1＋)≥a成立，求正数a的取值范围.
数　学(理科) 教师用卷
　本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页。时量120分钟。满分150分。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.直线x＋y－1＝0的倾斜角是(C)
A.－ B. C. D.
2.“p∧q是真命题”是“p∨q是真命题”的(A)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是(D)
A.9π B.10π
C.11π D.12π
4.在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6等于(B)
A.40 B.42
C.43 D.45
5.设m>0，则直线x＋y＋1＋m＝0与圆x2＋y2＝m的位置关系是(C)
A.相切 B.相交 C.相切或相离 D.相交或相切
8.设m∈N*，F(m)表示log2m的整数部分，则F(210＋1)＋F(210＋2)＋F(210＋3)＋…＋F(211)的值为(B)
A.10×210 B.10×210＋1 C.10×210＋2 D.10×210－1
选择题答题卡
题　号 1 2 3 4 5 6 7 8
答　案 C A D B C D D B
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
9.∫x2dx＝　　.
10.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品.产品数量之比依次为2∶3∶5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，已知A种型号产品共抽取了16件，那么此样本的容量n＝　80　.
11.如右图所示的算法流程图中，输出S的值为　52　.
12.设A、B为x轴上两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－2y＋1＝0，则直线PB的方程是　x＋2y－5＝0　.
13.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝3|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为　2　.
14.在△ABC中，P为中线AM上的一个动点，若||＝2，则·(＋)的最小值为　－2　.
15.如图，将平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标数字0，点(1,0)处标数字1，点(1，－1)处标数字2，点(0，－1)处标数字3，点(－1，－1)处标数字4，点(－1,0)处标数字5，点(－1,1)处标数字6，点(0，1)处标数字7，…以此类推，①标数字50的格点的坐标为　(4,2)　.②记格点坐标为(m，n)的点(m、n均为正整数)处所标的数字为f(m，n)，若n>m，则f(m，n)＝　(2n＋1)2＋m－n－1，(n>m)　.
【解析】f(1,0)＝12，f(2,1)＝32，f(3,2)＝52，…，f(n＋1，n)＝(2n＋1)2.
∵n>m，∴n≥m－1，∴当n>m时，f(m，n)＝(2n＋1)2＋m－n－1.
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分12分)
已知sin－2cos＝0.
(1)求tanx的值；
(2)求的值.
17.(本小题满分12分)
某旅游公司为3个旅游团提供甲、乙、丙、丁4条旅游线路，每个旅游团只能任选其中一条线路，不同的旅游团可选相同的旅游线路.
(1)求3个旅游团选择3条不同的线路的概率；
(2)求选择甲线路旅游团的团数的分布列和期望.
解：(1)3个旅游团选择3条不同线路的概率为P1＝＝.(4分)
(2)设选择甲线路旅游团数为ξ，则ξ＝0,1,2,3，(5分)
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝.(9分)
∴ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
(10分)
∴期望Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＝.(12分)
18.(本小题满分12分)
如右图，简单组合体ABCDPE，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD＝2EC.
(1)若N为线段PB的中点，求证：EN⊥平面PDB；
(2)若＝，求平面PBE与平面ABCD所成的锐二面角的大小.
解：(1)证法1：连结AC与BD交于点F，连结NF，
∵F为BD的中点，∴NF∥PD且NF＝PD.
又EC∥PD，且EC＝PD，(2分)
∴NF∥EC，且NF＝EC，∴四边形NFCE为平行四边形，
∴NE∥FC.(4分)
∵DB⊥AC，PD⊥平面ABCD，AC 面ABCD，∴AC⊥PD.
又PD∩BD＝D，∴AC⊥面PBD，∴NE⊥面PDB.(6分)
证法2：以点D为坐标原点，以AD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图所示：设该简单组合体的底面边长为1，PD＝a，
则B(1,1,0)，C(0,1,0)，P(0,0，a)，E(0,1，)，N(，，)，
∴＝(，－，0)，＝(1,1，－a)，＝(1,1,0).
∵·＝×1－×1－a×0＝0，
·＝×1－×1＋0×0＝0，
∴EN⊥PB，EN⊥DB.
∵PB、DB 面PDB，且PB∩DB＝B，∴NE⊥面PDB.(6分)
(2)解法1：连结DN，由(1)知NE⊥面PDB，∴DN⊥NE.
∵＝，DB＝AD，∴PD＝DB，∴DN⊥PB，∴为平面PBE的法向量.
设AD＝1，则N(，，)，∴＝(，，).
∵为平面ABCD的法向量，＝(0,0，)，(10分)
设平面PBE与平面ABCD所成的二面角为θ，则cosθ＝＝＝，
∴θ＝45°，即平面PBE与平面ABCD所成的锐二面角为45°.(12分)
解法2：延长PE与DC的延长线交于点G，连结GB，
则GB为平面PBE与平面ABCD的交线.(8分)
∵PD＝2EC，∴CD＝CG＝CB，
∴D、B、G在以C为圆心、以BC为半径的圆上，
∴DB⊥BG.(9分)
∵PD⊥平面ABCD，BG 面ABCD，
∴PD⊥BG，且PD∩DB＝D，∴BG⊥面PDB.
∵PB 面PDB，∴BG⊥PB，
∴∠PBD为平面PBE与平面ABCD所成的锐二面角的平面角.(10分)
在Rt△PDB中，∵PD＝DB，
∴∠PBD＝45°，即平面PBE与平面ABCD所成的锐二面角为45°.(12分)
19.(本小题满分13分)
已知函数f(x)＝ax2＋(1－a)x－1－lnx，a∈R.
(1)若函数在区间(2,4)上存在单调递增区间，求a的取值范围；
(2)求函数的单调增区间.
解：(1)因为函数定义域为{x|x>0}，f′(x)＝ax＋1－a－，(2分)
已知函数在区间(2,4)上存在单调递增区间，
由f′(x)＝≥0，得ax＋1≥0，a≥－>－，
故a的取值范围是(－，＋∞).(6分)
(2)f′(x)＝ax＋1－a－＝＝，
①当a<－1时，由f′(x)≥0得－≤x≤1，f(x)的单调增区间为[－，1]；(7分)
②当a＝－1时，f′(x)＝≤0，f(x)无单调增区间；(8分)
③当－1④当a＝0时，由f′(x)＝≥0得x≥1，f(x)的单调增区间为[1，＋∞)；(10分)
⑤当a>0时，由f′(x)＝≥0得x≥1，f(x)的单调增区间为[1，＋∞).(12分)
综上所述当a<－1时，f(x)的单调增区间为[－，1]；
当a＝－1时，f(x)无单调增区间；
当－1当a≥0时，f(x)的单调增区间为[1，＋∞).(13分)
20.(本小题满分13分)
某公园的大型中心花园的边界为椭圆，花园内种植各种花草，为增强观赏性，在椭圆内以其中心为直角顶点且关于中心对称的两个直角三角形内种植名贵花草(如图)，并以该直角三角形斜边开辟观赏小道(不计小道的宽度)，某园林公司承接了该中心花园的施工建设，在施工时发现，椭圆边界上任意一点到椭圆两焦点距离和为4(单位：百米)，且椭圆上点到焦点的最近距离为1(单位：百米).
(1)试以椭圆中心为原点建立适当的坐标系，求出该椭圆的标准方程；
(2)请计算观赏小道的长度(不计小道宽度)的最大值.
解：(1)如图，以两焦点连线为x轴，中心为坐标原点建立直角坐标系；
设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，
由已知，2a＝4，a－c＝1，a＝2，c＝1，
∴b＝，故椭圆的标准方程＋＝1.(4分)
(2)①若该直角三角形斜边斜率存在且不为0，设直角三角形斜边所在直线方程为y＝kx＋m，
斜边与椭圆的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程组 y=kx+m
＋＝1
得3x2＋4(kx＋m)2＝12，
即(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，(6分)
则Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝48(4k2－m2＋3)>0，
即4k2－m2＋3>0.(7分)
x1+ x2= - 8km
3＋4k2
x1 x2= ，
y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝k2－＋m2
＝，
要使△AOB为直角三角形，需使x1x2＋y1y2＝0，
即＋＝0，所以7m2－12k2－12＝0，(9分)
即m2＝，故4k2－m2＋3＝4k2＋3－＝>0，
所以|AB|＝＝＝
＝
＝＝(10分)
＝≤?eq \r(\f(48,7)(1＋\f(1,48)))＝.(11分)
当仅当16k2＝，k＝±时，等号成立.
②若该直角三角形斜率不存在或斜率为0，则斜边长为.(12分)
综上可知，观赏小道长度的最大值为2(百米).(13分)
21.(本小题满分13分)
顶点在坐标原点，开口向上的抛物线经过A0(1,1)，过A0作抛物线的切线交x轴于B1，过B1点作x轴的垂线交抛物线于A1，过A1作抛物线的切线交x轴于B2，…，过An(xn，yn)作抛物线的切线交x轴于Bn＋1(xn＋1,0)
(1)求{xn}，{yn}的通项公式；
(2)设an＝＋，数列{an}的前n项和为Tn.求证：Tn>2n－.
(3)设bn＝1－log2yn，若对任意正整数n，不等式(1＋)(1＋)…(1＋)≥a成立，求正数a的取值范围.
解：(1)由已知得抛物线方程为y＝x2，y′＝2x，(2分)
则设过点An(xn，yn)的切线为y－x＝2xn(x－xn).
令y＝0，x＝，故xn＋1＝.
又x0＝1，∴xn＝，yn＝.(4分)
(2)证明：由(1)知xn＝()n，
所以an＝＋＝＋
＝＋＝1－＋1＋
＝2－(－).(6分)
由<，>得－<－，
所以an＝2－(－)>2－(－)，(7分)
从而Tn＝a1＋a2＋…＋an>[2－(－)]＋[2－(－)]＋…＋[2－(－)]
＝2n－[(－)＋(－)＋…＋(－)]
＝2n－(－)>2n－，
即Tn>2n－.(9分)
附件1：律师事务所反盗版维权声明
附件2：独家资源交换签约学校名录（放大查看）
学校名录参见：http://21世纪教育网/wxt/list.aspx ClassID=3060