胡南省蓝山二中2012届高三第七次联考数学（文）试题

(考试范围：高考文科内容(不含优选法应用))
　　本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页。时量120分钟。满分150分。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.复数z＝(i为虚数单位)所对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.设集合A＝，m＝sin20°，则下列关系中正确的是( )
A.m A B.m A C.∈A D.
3.设命题p： x∈R，|x|≥x；q： x∈R，＝0.则下列判断正确的是( )
A.p假q真 B.p真q假 C.p真q真 D.p假q假
4.下列函数中，既是周期为π的周期函数又是偶函数的是( )
A.y＝10x B.y＝tanx C.y＝sin2x D.y＝|cosx|
5.某公司2005～2010年的年利润x(单位：百万元)与年广告支出y(单位：百万元)的统计资料如下表所示：
年份 2005 2006 2007 2008 2009 2010
利润x 12.2 14.6 16 18 20.4 22.3
支出y 0.62 0.74 0.81 0.89 1 1.11
根据统计资料，则( )
A.利润中位数是16，x与y有正线性相关关系
B.利润中位数是18，x与y有负线性相关关系
C.利润中位数是17，x与y有正线性相关关系
D.利润中位数是17，x与y有负线性相关关系
6.双曲线－＝1(a，b>0)的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝3相切，则双曲线的离心率为( )
A. B. C.2 D.6
7.设函数在区间内有零点，则实数a的取值范围是( )
A.(0，＋∞) B.(－∞，1] C.[1，＋∞) D.[2，＋∞)
8.定义设实数x，y满足约束条件，则的取值范围为( )
A.[－2，] B.[－，－] C.[－2,3] D.[－3，]
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
9.在极坐标系中，A(1，)、B(2，)两点的距离为 .
10.设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则等于 .
11.一空间几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是 cm3.
12.若{an}为等差数列，Sn是其前n项和.且S11＝，则tana6的值为 .
13.直线l：x－y＝0与椭圆＋y2＝1相交A、B两点，点C是椭圆上的动点，则△ABC面积最大值为 .
14.直线l：x－y＝0与曲线 (φ为参数，a>0)有两个公共点A，B，且＝2，则实数a的值为　 　；在此条件下，以直角坐标系的原点为极点，x轴正方向为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为　 　.
15.对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，定义：设f″(x)是函数y＝f(x)的导数y＝f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点为函数y＝f(x)的“拐点”.
有同学发现“任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心；且“拐点”就是对称中心.”请你根据这一发现，求：
(1)函数f(x)＝x3－3x2＋3x对称中心为　 　；
(2)若函数g(x)＝x3－x2＋3x－＋，则g()＋g()＋g()＋g()＋…＋g()＝　 　.
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝asinx＋bcos(x－)的图象经过点(，)，(，0).
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数f(x)在[0，π]上的单调递增区间.
17.(本小题满分12分)
如图：在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，沿对角线BD把△ABD折起，使A移到A1点，过点A1作A1O⊥平面BCD，垂足O恰好落在CD上.
(1)求证：BC⊥A1D；
(2)求直线A1B与平面BCD所成角的正弦值.
18.(本小题满分12分)
某校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：
(1)求分数在[50,60)的频率及全班人数；
(2)求分数在[80,90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高；
(3)若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90,100]之间的概率.
19.(本小题满分13分)
工厂生产某种产品，次品率p与日产量x(万件)间的关系为，(c为常数，且0(1)将日盈利额y(万元)表示为日产量(万件)的函数；
(2)为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？(注：次品率＝×100%)
20.(本小题满分13分)
已知f(x)＝mx(m为常数，m>0且m≠1).
设f(a1)，f(a2)，…，f(an)…(n∈N?)是首项为m2，公比为m的等比数列.
(1)求证：数列{an}是等差数列；
(2)若bn＝an·f(an)，且数列{bn}的前n项和为Sn，当m＝2时，求Sn；
(3)若cn＝f(an)lgf(an)，问是否存在m，使得数列{cn}中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出m的范围；若不存在，请说明理由.
21.(本小题满分13分)
已知动圆G过点F(，0)，且与直线l：x＝－相切，动圆圆心G的轨迹为曲线E.曲线E上的两个动点A(x1，y1)和B(x2，y2).
(1)求曲线E的方程；
(2)已知·＝－9(O为坐标原点)，探究直线AB是否恒过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过，请说明理由.
(3)已知线段AB的垂直平分线交x轴于点C，其中x1≠x2且x1＋x2＝4.求△ABC面积的最大值.
数　学(文科)教师用卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.复数z＝(i为虚数单位)所对应的点在(D)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.设集合A＝，m＝sin20°，则下列关系中正确的是(D)
A.m A B.m A C.∈A D.
3.设命题p： x∈R，|x|≥x；q： x∈R，＝0.则下列判断正确的是(B)
A.p假q真 B.p真q假 C.p真q真 D.p假q假
4.下列函数中，既是周期为π的周期函数又是偶函数的是(D)
A.y＝10x B.y＝tanx C.y＝sin2x D.y＝|cosx|
5.某公司2005～2010年的年利润x(单位：百万元)与年广告支出y(单位：百万元)的统计资料如下表所示：
年份 2005 2006 2007 2008 2009 2010
利润x 12.2 14.6 16 18 20.4 22.3
支出y 0.62 0.74 0.81 0.89 1 1.11
根据统计资料，则(C)
A.利润中位数是16，x与y有正线性相关关系
B.利润中位数是18，x与y有负线性相关关系
C.利润中位数是17，x与y有正线性相关关系
D.利润中位数是17，x与y有负线性相关关系
选择题答题卡
题　号 1 2 3 4 5 6 7 8
答　案 D D B D C A C D
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
9.在极坐标系中，A(1，)、B(2，)两点的距离为 .
10.设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则等于.
11.一空间几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是 cm3.
12.若{an}为等差数列，Sn是其前n项和.且S11＝，则tana6的值为.
13.直线l：x－y＝0与椭圆＋y2＝1相交A、B两点，点C是椭圆上的动点，则△ABC面积最大值为.
14.直线l：x－y＝0与曲线 (φ为参数，a>0)有两个公共点A，B，且＝2，则实数a的值为　2　；在此条件下，以直角坐标系的原点为极点，x轴正方向为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为　ρ2－4ρcosθ＋2＝0　.
15.对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，定义：设f″(x)是函数y＝f(x)的导数y＝f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点为函数y＝f(x)的“拐点”.
有同学发现“任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心；且“拐点”就是对称中心.”请你根据这一发现，求：
(1)函数f(x)＝x3－3x2＋3x对称中心为　(1,1)　；
(2)若函数g(x)＝x3－x2＋3x－＋，则g()＋g()＋g()＋g()＋…＋g()＝　2010　.
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝asinx＋bcos(x－)的图象经过点(，)，(，0).
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数f(x)在[0，π]上的单调递增区间.
(2)由(1)知：f(x)＝sinx－cos(x－)＝sinx－cosx＝sin(x－).(9分)
由2kπ－≤x－≤2kπ＋，解得2kπ－≤x≤2kπ＋　k∈Z.
∵x∈[0，π]，∴x∈[0，]，∴函数f(x)在[0，π]上的单调递增区间为[0，].(12分)
17.(本小题满分12分)
如图：在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，沿对角线BD把△ABD折起，使A移到A1点，过点A1作A1O⊥平面BCD，垂足O恰好落在CD上.
(1)求证：BC⊥A1D；
(2)求直线A1B与平面BCD所成角的正弦值.
解：(1)因为A1O⊥平面BCD，BC 平面BCD，∴BC⊥A1O，
因为BC⊥CD，A1O∩CD＝O，∴BC⊥面A1CD.
因为A1D 面A1CD，∴BC⊥A1D.(6分)
(2)连结BO，则∠A1BO是直线A1B与平面BCD所成的角.
因为A1D⊥BC，A1D⊥A1B，A1B∩BC＝B，∴A1D⊥面A1BC.A1C 面A1BC，∴A1D⊥A1C.
在Rt△DA1C中，A1D＝3，CD＝5，∴A1C＝4.
根据S△A1CD＝A1D·A1C＝A1O·CD，得到A1O＝，
在Rt△A1OB中，sin∠A1BO＝＝＝.
所以直线A1B与平面BCD所成角的正弦值为.(12分)
18.(本小题满分12分)
某校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：
(1)求分数在[50,60)的频率及全班人数；
(2)求分数在[80,90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高；
(3)若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90,100]之间的概率.
解：(1)分数在[50,60)的频率为0.008×10＝0.08，(2分)
由茎叶图知：分数在[50,60)之间的频数为2，所以全班人数为＝25，(4分)
(2)分数在[80,90)之间的频数为25－2－7－10－2＝4；(6分)
频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为÷10＝0.016.(8分)
(3)将[80,90)之间的4个分数编号为1,2,3,4，[90,100]之间的2个分数编号为5,6，
在[80,100]之间的试卷中任取两份的基本事件为：
(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，
(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，
(3,4)，(3,5)，(3,6)，
(4,5)，(4,6)，
(5,6)共15个，(10分)
其中，至少有一个在[90,100]之间的基本事件有9个，
故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是＝0.6.(12分)
19.(本小题满分13分)
工厂生产某种产品，次品率p与日产量x(万件)间的关系为，(c为常数，且0(1)将日盈利额y(万元)表示为日产量(万件)的函数；
(2)为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？(注：次品率＝×100%)
解：(1)当x>c时，p＝，y＝·x·3－·x·＝0；(2分)
当0∴y＝(1－)·x·3－·x·＝·.(4分)
∴日盈利额y(万元)与日产量x(万件)的函数关系为
.(5分)
(2)由(1)知，当x>c时，日盈利额为0.
当0∵y＝，∴y′＝·＝，
令y′＝0，得x＝3或x＝9(舍去).
∴①当00，∴y在区间(0，c]上单调递增，
∴y最大值＝f(c)＝，此时x＝c；
②当3≤c<6时，在(0,3)上，y′>0，在(3，c)上y′<0，
∴y在(0,3)上单调递增，在(3，c)上单调递减.
∴y最大值＝f(3)＝.
综上，若0若3≤c<6，则当日产量为3万件时，日盈利额最大.(13分)
20.(本小题满分13分)
已知f(x)＝mx(m为常数，m>0且m≠1).
设f(a1)，f(a2)，…，f(an)…(n∈N?)是首项为m2，公比为m的等比数列.
(1)求证：数列{an}是等差数列；
(2)若bn＝an·f(an)，且数列{bn}的前n项和为Sn，当m＝2时，求Sn；
(3)若cn＝f(an)lgf(an)，问是否存在m，使得数列{cn}中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出m的范围；若不存在，请说明理由.
解：(1)由题意f(an)＝m2·mn＋1，即man，＝mn＋1.
∴an＝n＋1，(2分)
∴an＋1－an＝1，
∴数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列.(4分)
(2)由题意bn＝anf(an)＝(n＋1)·mn＋1，
当m＝2时，bn＝(n＋1)·2n＋1
∴Sn＝2·22＋3·23＋4·24＋…＋(n＋1)·2n＋1　①(6分)
①式两端同乘以2，得
2Sn＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋n·2n＋1＋(n＋1)·2n＋2　②
②－①并整理，得
Sn＝－2·22－23－24－25－…－2n＋1＋(n＋1)·2n＋2
＝－22－(22＋23＋24＋…＋2n＋1)＋(n＋1)·2n＋2
＝－22－＋(n＋1)·2n＋2
＝－22＋22(1－2n)＋(n＋1)·2n＋2＝2n＋2·n.(9分)
(3)由题意cn＝f(an)·lgf(an)＝mn＋1·lgmn＋1＝(n＋1)·mn＋1·lgm，
要使cn即(n＋1)·mn＋1·lgm<(n＋2)·mn＋2·lgm，对一切n∈N*成立，
①当m>1时，lgm>0，所以n＋1②当0m对一切n∈N*成立，
因为＝1－的最小值为，所以0综上，当01时，数列{cn}中每一项恒小于它后面的项.(13分)
21.(本小题满分13分)
已知动圆G过点F(，0)，且与直线l：x＝－相切，动圆圆心G的轨迹为曲线E.曲线E上的两个动点A(x1，y1)和B(x2，y2).
(1)求曲线E的方程；
(2)已知·＝－9(O为坐标原点)，探究直线AB是否恒过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过，请说明理由.
(3)已知线段AB的垂直平分线交x轴于点C，其中x1≠x2且x1＋x2＝4.求△ABC面积的最大值.
解：(1)依题意，圆心G到定点F(，0)的距离与到直线l：x＝－的距离相等，∴曲线E是以F(，0)为焦点，直线l：x＝－为准线的抛物线.
∴曲线E的方程为y2＝6x.(3分)
(2)当直线AB不垂直x轴时，设直线AB方程为y＝kx＋b　(k≠0).
由消去x得ky2－6y＋6b＝0，Δ＝36－24kb>0.
y1y2＝，x1x2＝·＝＝.
·＝x1x2＋y1y2＝＋＝－9，
∴b2＋6kb＋9k2＝0，(b＋3k)2＝0，b＝－3k，满足Δ>0.
∴直线AB方程为y＝kx－3k，即y＝k(x－3)，
∴直线AB恒过定点(3,0).(7分)
当直线AB垂直x轴时，可推得直线AB方程为x＝3，也过点(3,0).
综上，直线AB恒过定点(3,0).(8分)
(3)设线段AB的中点为M(x0，y0)，则
x0＝＝2，y0＝，kAB＝＝＝＝.
∴线段AB的垂直平分线的方程为y－y0＝－(x－2).
令y＝0，得x＝5，故C(5,0)为定点.
又直线AB的方程为y－y0＝(x－2)，与y2＝6x联立，消去x得y2－2y0y＋2y－12＝0.
由韦达定理得y1＋y2＝2y0，y1y2＝2y－12.
∴|AB|＝·|y1－y2|＝
＝＝.
又点C到直线AB的距离为h＝|CM|＝，
∴S△ABC＝|AB|·h＝
令t＝9＋y(t>9)，则12－y＝21－t.
设f(t)＝(9＋y)2(12－y)＝t2(21－t)＝－t3＋21t2，
则f′(t)＝－3t2＋42t＝－3t(t－14).
当90；当t>14时，f′(t)<0.∴f(t)在(9,14)上单调递增，在(14，＋∞)上单调递减.
∴当t＝14时，[f(t)]max＝142×7.故△ABC面积的最大值为.(13分)
注：第(3)问也可由AB直线方程y＝kx＋b及x1＋x2＝4，推出b＝－2k，然后转化为求关于k的函数的最值问题.