湖南省蓝山二中2012届高三第四次联考数学（文）试题

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知全集，集合 ，则 ( )
A． B．
C． D．
2．复数，在复平面内，z对应的点位于 ( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知向量a、b不共线，e1 =ka－b，e2 =2a+b，若e1// e2，则实数k的值为 ( )
A． B． C． D．
4．一个递增的等差数列，前三项的和，且成等比数列，则数列的公差为 ( )
A． B．3 C．2 D．1
5．下列命题为真命题的是 ( )
A．是的充分条件 B．是的必要条件
C．是的充要条件 D．是的充分条件
6．右图是函数的部分图象，则下列可以作为其解析式的是 ( )
A． B．
C． D．
7．已知，则的最大值为 ( )
A．－7 B．
C．－1 D．－8
8．把正整数按“S”型排成了如图所示的三角形数表，第n行有n个数，设第n行左侧第一个数为，如，则该数列的前n项和（n为偶数）为（ ）
A． B．
C D．
二、填空题：本大题共7个小题，每小题5分，共35分，把答案填写在题中的横线上.
9．三进制数121(3)化为十进制数为 ．
10．已知向量，，若单位向量满足，则 ．
11．若，则函数的最小值为 ．
12．右图为定义在zT·i+T上的函数的导函数的大致图象，则函数的单调递增区间为 ，的极大值点为 ．
13． ．
14．若函数（）的最小值为－4，则a 的值为 ．
15．已知关于x的一元二次不等式在实数集上恒成立，且，则的最小值为 .
三、解答题：本大题共6个小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16．（本小题满分12分）设集合，．
（1）当a=3时，求；
（2）若，求a的取值范围．
17．（本小题满分12分）设函数.
（1）求的最大值，并求取得最大值时x的取值集合；
（2）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若，b=1，c=，求a的值.
18. （本小题满分12分）已知为等比数列，，前n项和为，且，数列的前n项和为，且点均在抛物线上．
（1）求和的通项公式；
（2）设，求的前n项和．
19．（本小题满分13分）某市近郊有一块大约500m×500m的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其总面积为3000平方米，其中场地四周（阴影部分）为通道，通道宽度均为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米．
（1）分别写出用x表示y和S的函数关系式（写出函数定义域）；
（2）怎样设计能使S取得最大值，最大值为多少？
20．（本小题满分13分）已知函数（）．
（1）若函数在处的切线与x轴平行，求a的值，并求出函数的极值；
（2）已知函数，在（1）的条件下，若恒成立，求b的取值范围．
21．（本小题满分13分）已知函数（）.
（1）若函数有三个零点分别为，且，，求函数的单调区间；
（2）若，，证明：函数在区间(0，2)内一定有极值点；
（3）在（2）的条件下，若函数的两个极值点之间的距离不小于，求的取值范围.
文科数学教师用卷
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知全集，集合 ，则 ( C )
A． B．
C． D．
2．复数，在复平面内，z对应的点位于 ( D )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知向量a、b不共线，e1 =ka－b，e2 =2a+b，若e1// e2，则实数k的值为 ( B )
A． B． C． D．
4．一个递增的等差数列，前三项的和，且成等比数列，则数列的公差为 ( C )
A． B．3 C．2 D．1
5．下列命题为真命题的是 ( D )
A．是的充分条件 B．是的必要条件
C．是的充要条件 D．是的充分条件
6．右图是函数的部分图象，则下列可以作为其解析式的是 ( B )
A． B．
C． D．
7．已知，则的最大值为 ( A )
A．－7 B．
C．－1 D．－8
8．把正整数按“S”型排成了如图所示的三角形数表，第n行有n个数，设第n行左侧第一个数为，如，则该数列的前n项和（n为偶数）为（ B ）
A． B．
C． D．
【解析】方法一：（特值法）因为，把n=2代入选项，排除C、D，再代入n=4，因为，B选项满足，故选B．
方法二：因为当n为奇数时，，当n为偶数时，，
故n是偶数时，
令，，，
，
又，得
则 ．
二、填空题：本大题共7个小题，每小题5分，共35分，把答案填写在题中的横线上.
9．三进制数121(3)化为十进制数为 16 ．
10．已知向量，，若单位向量满足，则．
11．若，则函数的最小值为 3 ．
12．右图为定义在zT·i+T上的函数的导函数的大致图象，则函数的单调递增区间为，的极大值点为2 ．
13． ．
14．若函数（）的最小值为－4，则a 的值为．
15．已知关于x的一元二次不等式在实数集上恒成立，且，则的最小值为 3 .
三、解答题：本大题共6个小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16．（本小题满分12分）设集合，．
（1）当a=3时，求；
（2）若，求a的取值范围．
【解析】（1） ………2分
当a=3时，， …… ………4分
． …… ………6分
（2）因，，
，∴a的取值范围为． …… ………12分
17．（本小题满分12分）设函数.
（1）求的最大值，并求取得最大值时x的取值集合；
（2）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若，b=1，c=，求a的值.
【解析】（1），………3分
则， ……………4分
此时x的取值集合为，即． ……………6分
（2），得， ……………8分
由余弦定理，，得， ……………10分
即 ，得或． ……………12分
18. （本小题满分12分）已知为等比数列，，前n项和为，且，数列的前n项和为，且点均在抛物线上．
（1）求和的通项公式；
（2）设，求的前n项和．
（2），
=，
3= ，两式相减，得
= ……………8分
==， ……………10分
得 ． ……………12分
19．（本小题满分13分）某市近郊有一块大约500m×500m的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其总面积为3000平方米，其中场地四周（阴影部分）为通道，通道宽度均为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米．
（1）分别写出用x表示y和S的函数关系式（写出函数定义域）；
（2）怎样设计能使S取得最大值，最大值为多少？
【解析】（1）由已知，，
则（）， ……2分
（）. ……6分
（2）
………………10分
当且仅当，即时，“=”成立，此时，，． ……12分
即设计米，米时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米． ……………13分
20．（本小题满分13分）已知函数（）．
（1）若函数在处的切线与x轴平行，求a的值，并求出函数的极值；
（2）已知函数，在（1）的条件下，若恒成立，求b的取值范围．
【解析】（1）的定义域为，
， ………………1分
因在处的切线与x轴平行，则，得， ………………3分
此时，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，则当时，有极大值，当时，有极小值．……6分
（2）令，则的定义域为，
=（），
则． ………………8分
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增．
当时，，
只需要，
得 ………………11分
得 ………………13分
21．（本小题满分13分）已知函数（）.
（1）若函数有三个零点分别为，且，，求函数的单调区间；
（2）若，，证明：函数在区间(0，2)内一定有极值点；
（3）在（2）的条件下，若函数的两个极值点之间的距离不小于，求的取值范围.
【解析】（1）因为，又，，则
， ……………1分
因为x1，x2是方程的两根，
则，，得，， ……………3分
所以
.
令 解得：
故的单调递减区间是（－3，1），单调递增区间是． ……………5分
（2）因为，，所以，即.
又，，所以，即. …………… 7分
于是，，. …………… 8分
①当时，因为，而在区间内连续，则在区间内至少有一个零点，设为x=m，则在，>0，单调递增，在，<0，单调递减，故函数在区间内有极大值点x=m； ……………9分
②当时，因为，则在区间（1，2）内至少有一零点.
同理，函数在区间(1，2)内有极小值点.
综上得函数在区间(0，2)内一定有极值点． …………… 10分
2
－2
x
O
y
1
2 3
6 5 4
7 8 9 10
15 14 13 12 11
16 17 18 19 20 21
… … …
第8题图
x
y
O
－1
1
2
3
4
第12题
x米
a米
a米
y米
2
－2
x
O
y
1
2 3
6 5 4
7 8 9 10
15 14 13 12 11
16 17 18 19 20 21
… … …
第8题图
x
y
O
－1
1
2
3
4
第12题
x米
a米
a米
y米