湖南省蓝山二中2012届高三第四次联考数学（理）试题

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．计算复数的值为（　 　）
A．0 B． C． D．
2．已知命题，，则命题的否定是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知：等差数列满足，，则数列{}的公差d＝（　 　）
A．138 B．135 C．95 D．23
4．集合，，那么＂＂是＂＂的（　 　）
A．充分不必要条件　　　　　　　　　B．必要不充分条件
C．充要条件　　　　　　　　　　　　D．既不充分也不必要条件
5．如下图所示的程序框图运行后输出的结果为（　 　）
A．36 B．45 C．55 D．66
第5题图 第6题图
6．如上图，平面内的两个单位向量，，它们的夹角是，与、向量的夹角都为，且＝，若，则值为（　 　）
A．2 B．4 C． D．
7．已知：且，若函数在是增函数，则的取值范围是（　 　）
A． B． C． D．
解：当时，的对称轴，
在上递增，且即，是增函数，
当时，是减函数，在上是减函数
综上：，选Ａ
8．若定义在上的函数满足：对于任意，，有．设的最大值、最小值分别为，，则的值为（　 　）
A．2009 B．2010 C．4018 D．4020
二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分．把答案填在题中的横线上）
9．已知函数(其中)的最小正周期为，则的值为 ．
10．已知，与的夹角为，则在上的投影为
解：
11．已知，，且，则的最大值为 ．
12．观察下列不等式
一般地，当时 （用含的式子表示）
13．已知函数的定义域为，为偶函数，当时，，当时，的递增区间是 ．
14．定义，如．
对于函数，则函数的解析式是：=，且的 单调递减区间是 （写成开区间或闭区间都给全分）．
15．若函数，同时满足下列条件，（1）在D内为单调函数；（2）存在实数，．当时，，则称此函数为Ｄ内等射函数，设
则(1)在的单调性为 ；(2)当为R内的等射函数时，的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（本小题满分12分）在四边形中，，，，
，且．
（1）求三角形的面积和边的长度；
（2）求的值．
17．（本小题满分12分）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且
（1）求角A的大小；
（2）若，求△ABC的周长l的取值范围．
18．（本小题满分12分）已知数列是等差数列，是等比数列，且，，．
（1）求数列和的通项公式
（2）数列满足，求数列的前项和．
19．（本题满分13分）设函数，已知，且，曲线在x=1处取极值．
（Ⅰ）如果函数的递增区间为，求的取值范围；
（Ⅱ）如果当是与无关的常数时，恒有，求实数的最小值
20．（本小题满分13分）某企业的产品以往专销欧美市场，在全球金融风暴的影响下，欧美市场的销量受到严重影响，该企业在政府的大力扶助下积极开拓国内市场，并基本形成了市场规模；自2009年9月以来的第n个月（2009年9月为第一个月）产品的内销量、出口量和销售总量（销售总量=内销量与出口量的和）分别为bn、cn和an(单位：万件)，依据销售统计数据发现形成如下营销趋势：bn + 1 = a an，cn + 1 = an + b an2 （其中a、b为常数），已知a1 = 1万件，a2 = 1.5万件，a3 = 1.875万件．
（1）求a，b的值，并写出an + 1与an满足的关系式；
（2）试用你所学的数学知识论证销售总量逐月递增且控制在2万件内；
（3）试求从2009年9月份以来的第n个月的销售总量an关于n的表达式．
21．（本小题满分13分）已知函数f (x) =
（1）若函数f (x)在其定义域内为单调函数，求实数a的取值范围；
（2）若函数f (x)的图象在x = 1处的切线垂直于y轴，数列{}满足
．
①若a1≥3，求证：an≥n + 2；
②若a1 = 4，试比较的大小，并说明你的理由．
理科数学教师用卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．计算复数的值为（　C　）
A．0 B． C． D．
2．已知命题，，则命题的否定是（ D ）
A． B．
C． D．
3．已知：等差数列满足，，则数列{}的公差d＝（　C　）
A．138 B．135 C．95 D．23
4．集合，，那么＂＂是＂＂的（　A　）
A．充分不必要条件　　　　　　　　　B．必要不充分条件
C．充要条件　　　　　　　　　　　　D．既不充分也不必要条件
5．如下图所示的程序框图运行后输出的结果为（　B　）
A．36 B．45 C．55 D．66
第5题图 第6题图
6．如上图，平面内的两个单位向量，，它们的夹角是，与、向量的夹角都为，且＝，若，则值为（　B　）
A．2 B．4 C． D．
7．已知：且，若函数在是增函数，则的取值范围是（　A　）
A． B． C． D．
解：当时，的对称轴，
在上递增，且即，是增函数，
当时，是减函数，在上是减函数
综上：，选Ａ
8．若定义在上的函数满足：对于任意，，有．设的最大值、最小值分别为，，则的值为（　C　）
A．2009 B．2010 C．4018 D．4020
二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分．把答案填在题中的横线上）
9．已知函数(其中)的最小正周期为，则的值为 2 ．
10．已知，与的夹角为，则在上的投影为
解：
11．已知，，且，则的最大值为 4 ．
12．观察下列不等式
一般地，当时（用含的式子表示）
13．已知函数的定义域为，为偶函数，当时，，当时，的递增区间是．
解：∵关于y轴对称，∴关于x=1成轴对称．
14．定义，如．
对于函数，则函数的解析式是：=，且的 单调递减区间是（写成开区间或闭区间都给全分）．
解：∵，
又由，得即的单调减区间为．
15．若函数，同时满足下列条件，（1）在D内为单调函数；（2）存在实数，．当时，，则称此函数为Ｄ内等射函数，设
则(1)在的单调性为 增函数 ；(2)当为R内的等射函数时，的取值范围是．
三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（本小题满分12分）在四边形中，，，，
，且．
（1）求三角形的面积和边的长度；
（2）求的值．
解：（1）由已知，
∴， ……………………………………………3分
∴，则 …………5分
由余弦定理得…………………………7分
（2）在Rt△中，，．…………9分
∴
．………………………………12分
17．（本小题满分12分）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且
（1）求角A的大小；
（2）若，求△ABC的周长l的取值范围．
解：（1）由 ……………………2分
…………………4分
，，，又
……………………………………………6分
（2）由正弦定理得：，
……………………………8分
…………10分
，，
…………………………………………11分
……………………………………………12分
18．（本小题满分12分）已知数列是等差数列，是等比数列，且，，．
（1）求数列和的通项公式
（2）数列满足，求数列的前项和．
解：(1)设的公差为，的公比为
由，得，从而
因此　　　　　　　　　 ………………………………………3分
又，
从而，故 ……………………………6分
（2）
令
……………………………9分
两式相减得
，又 ……………………………12分
19．（本题满分13分）设函数，已知，且，曲线在x=1处取极值．
（Ⅰ）如果函数的递增区间为，求的取值范围；
（Ⅱ）如果当是与无关的常数时，恒有，求实数的最小值
解：（Ⅰ）∵，∴又，可得，即，故，．则判别式知方程（*）有两个不等实根，
设为，又由知，为方程（*）的一个实根，
又由根与系数的关系得，．………………………3分
当或时，，当时，，
故函数的递增函数区间为，由题设知，
因此， …………………………………………………6分
由（1）知，得的取值范围为． …………………………………8分
（Ⅱ）由，即，即．
因，得，整理得． ………………………9分
设，它可以看作是关于的一次函数．
由题意，函数对于恒成立．
故即得或．…………………………11分
由题意，故．
因此的最小值为． …………………………………………………13分
20．（本小题满分13分）某企业的产品以往专销欧美市场，在全球金融风暴的影响下，欧美市场的销量受到严重影响，该企业在政府的大力扶助下积极开拓国内市场，并基本形成了市场规模；自2009年9月以来的第n个月（2009年9月为第一个月）产品的内销量、出口量和销售总量（销售总量=内销量与出口量的和）分别为bn、cn和an(单位：万件)，依据销售统计数据发现形成如下营销趋势：bn + 1 = a an，cn + 1 = an + b an2 （其中a、b为常数），已知a1 = 1万件，a2 = 1.5万件，a3 = 1.875万件．
（1）求a，b的值，并写出an + 1与an满足的关系式；
（2）试用你所学的数学知识论证销售总量逐月递增且控制在2万件内；
（3）试求从2009年9月份以来的第n个月的销售总量an关于n的表达式．
（2）证法（Ⅰ）由于an + 1 = 2an –an2 = – (an – 2)2 + 2≤2．
但an + 1≠2，否则可推得a 1= a 2= 2与a 1= 1，a2 = 1.5矛盾．故an + 1＜2 于是an＜2
又an + 1– an= –an2 + 2an – an = –an (an – 2) ＞0，
所以an + 1＞an 从而an＜an + 1＜2 …………………………………9分
证法（Ⅱ）由数学归纳法
（i）当n = 1时，a1 = 1，a2 = 1.5，显然a1＜a2＜2成立
（ii）假设n = k时， ak＜ak + 1＜2成立．
由于函数f (x) = –x2 + 2x = –(x – 2)2 + 2在[0，2]上为增函数，
则f (ak) ＜f (ak + 1) ＜f (2)即ak (4 – ak) ＜ak + 1(4 –ak + 1) ＜×2×(4 – 2)
即 ak + 1＜ak + 2＜2成立． 综上可得n∈N*有an＜an + 1＜2 …………………………9分
（3）由an + 1 = 2an –an2得2 (an + 1– 2) = – (an – 2)2 即(2 – an + 1) = (2 – an)2
又由（2）an＜an + 1＜2可知2 – an + 1＞0，2 – an＞0
则lg (2 – an + 1) = 2 lg (2 – an) – lg 2 ∴lg (2 – an +1) – lg2 = 2[lg (2 – an) – lg2]
即{lg (2 – an + 1) – lg2}为等比数列，公比为2，首项为lg (2 – a1) – lg 2 = –lg 2
故lg (2 – an) – lg 2 = (–lg 2)·2n – 1 ∴an = 2 – 2 (n∈N*)为所求 ……………13分
21．（本小题满分13分）已知函数f (x) =
（1）若函数f (x)在其定义域内为单调函数，求实数a的取值范围；
（2）若函数f (x)的图象在x = 1处的切线垂直于y轴，数列{}满足
．
①若a1≥3，求证：an≥n + 2；
②若a1 = 4，试比较的大小，并说明你的理由．
【解析】（1）∵f (1) = a – b = 0，∴a = b，∴f′(x) = ．要使函数f (x)在其定义域内为单调函数，则 (0，+∞)内(x) = 恒大于等于零，或恒小于等于零．
由得而 由得 而 经验证a=0及a=1均合题意，故
∴所求实数a的取值范围为a≥1或a≤0． ………………………5分
（2）∵函数f (x)的图象在x = 1处的切线的斜率为0，∴f′(1) = 0，即a + a – 2 = 0，解得a = 1，∴f′(x) = ，∴an + 1 = f′ ………7分
①用数学归纳法证明：（i）当n = 1时，a1≥3 = 1 + 2，不等式成立；（ii）假设当n = k时不等式成立，即那么ak – k≥2＞0，∴ak + 1 = ak (ak – k) + 1≥2 (k + 2) + 1 = (k + 3) + k + 2＞k + 3，也就是说，当n = k + 1时，ak + 1≥(k + 1) + 2．根据（i）和（ii），对于所有n≥1，有an≥n + 2． ……………………………………10分
开始
A = 1，S = 0
否
C
B
O
A
是
输出S
S = S + A
结束
A = A + 1
D
A
B
C
′
>
开始
A = 1，S = 0
否
C
B
O
A
是
输出S
S = S + A
结束
A = A + 1
D
A
B
C
2
′
>