2.3.1等差数列的前n项和 学案 2020-2021学年高一下学期数学人教A版必修5第二章数列

2.3　等差数列的前n项和
第1课时　等差数列的前n项和
必备知识·自主学习
导思
1.数列前n项和的定义是什么?2.等差数列前n项和公式是什么?
1.数列的前n项和
(1)定义:对于数列{an},一般地,我们称a1+a2+a3+…+an为数列{an}的前n项和.
(2)表示:常用符号Sn表示,即Sn=a1+a2+a3+…+an.
由Sn=a1+a2+…+an想一想,a1,an,Sn,Sn-1之间是什么关系?
提示:S1=a1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1.
2.等差数列前n项和公式
(1)两个公式及应用条件.
公式结构
适用条件
公式一
Sn=
知首项、末项、项数
公式二
Sn=na1+d
知首项、公差、项数
(2)应用:①求等差数列的前n项和;
②为求复杂数列的前n项和奠定基础;
③解决实际问题.
对于公式二,若将Sn看成关于n的函数,试判断此函数是什么函数?其解析式具有什么特点?
提示:公式二可变形为Sn=n2+n,当d≠0时可以看作不含常数项的关于n的一元二次式,反之,若一个数列的前n项和是不含常数项的一元二次式,则此数列是等差数列.
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).
(1)对于an=Sn-Sn-1成立的条件是n∈N
.
(　　)
(2)等差数列前n项和公式的推导方法我们称为“倒序相加法”.
(　　)
(3)若数列{an}的前n项和为Sn,则a3+a4+a5=S5-S2.
(　　)
(4)1+3+5+7+9=.
(　　)
提示:(1)×.n>1且n∈N
.
(2)√.等差数列具有a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…的特征,可用倒序相加法.
(3)√.由数列的前n项和的定义可知此说法正确.
(4)×.1+3+5+7+9=.
2.(教材二次开发:练习改编)已知等差数列{an}满足a1=1,n=50,d=2,则其前n项和Sn等于
(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.2
300
B.2
400
C.2
600
D.2
500
【解析】选D.S50=50×1+×2=2
500.
3.设{an}是等差数列,若a2=3,a7=13,则数列{an}的前8项和为
(　　)
A.128
B.80
C.64
D.56
【解析】选C.设数列{an}的前n项和为Sn,则S8====64.
关键能力·合作学习
类型一　有关等差数列的前n项和的计算(数学运算)
【典例】1.(2020·全国Ⅱ卷)记Sn为等差数列的前n项和.若a1=-2,a2+a6=2,则S10=　　　　.?
2.根据下列条件,求相应等差数列{an}的有关未知数:
(1)a1=1,a3+a5=14,Sn=100,求d及n;
(2)S8=48,S12=168,求a1和d.
【思路导引】1.根据等差数列的通项公式,解方程,求出首项和公差,然后用等差数列的前n项和公式计算;
2.(1)先由a1=1,a3+a5=14,求公差,再根据Sn=100求n;(2)列方程组求首项和公差.
【解析】1.设等差数列的公差为d.
因为是等差数列,且a1=-2,a2+a6=2,
根据等差数列通项公式:an=a1+d,
可得a1+d+a1+5d=2,即-2+d++5d=2,
整理可得:6d=6,解得:d=1.
根据等差数列前n项和公式:Sn=na1+d,n∈N
,
可得:S10=10×+=-20+45=25,
所以S10=25.
答案:25
2.(1)a1=1,a3+a5=2a1+6d=14,所以d=2,
所以Sn=n+×2=100.所以n=10.
(2)在等差数列{an}中,S8=8a1+×8×7d=48,
所以2a1+7d=12,S12=12a1+×12×11d=168,
所以2a1+11d=28,
解方程组得a1=-8,d=4.
等差数列前n项和公式的运算方法与技巧
类型
“知三求二型”
基本量
a1,d,n,an,Sn
方法
运用等差数列的通项公式和前n项和公式建立方程(组),通过解方程(组)求出未知量
思想
方程的思想
注意
①利用等差数列的性质简化计算;②注意已知与未知条件的联系;③有时运用整体代换的思想
1.(2019·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则
(　　)
A.an=2n-5
B.an=3n-10
C.Sn=2n2-8n
D.Sn=n2-2n
【解析】选A.由题知,解得
所以an=2n-5,故选A.
2.已知等差数列{an}中,
(1)a1=,S4=20,求S6.
(2)a1=,d=-,Sn=-15,求n及an.
(3)a1=1,an=-512,Sn=-1
022,求d.
【解析】(1)S4=4a1+d=4a1+6d
=2+6d=20,所以d=3.
故S6=6a1+d=6a1+15d=3+15d=48.
(2)因为Sn=n·+=-15,
整理得n2-7n-60=0,解得n=12或n=-5(舍去),
所以a12=+(12-1)×=-4.
(3)由Sn===-1
022,解得n=4.
又由an=a1+(n-1)d,即-512=1+(4-1)d,
解得d=-171.
【补偿训练】
在等差数列{an}中:
(1)已知a5+a10=58,a4+a9=50,求S10.
(2)已知S7=42,Sn=510,an-3=45,求n.
【解析】(1)方法一:由已知条件得
解得
所以S10=10a1+d=10×3+×4=210.
　方法二:由已知条件得所以a1+a10=42,
所以S10==5×42=210.
　(2)S7==7a4=42,所以a4=6.
所以Sn====510.
所以n=20.
类型二　等差数列前n项和的性质(数学运算、逻辑推理)
　角度1　关于通项公式的性质的应用?
【典例】(2020·汕尾高二检测)记等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若=,则=　　　　.?
【思路导引】结合等差数列的性质,寻找a12,a1+a23,S23三者之间的联系.
【解析】因为=,则=====.
答案:
将本例条件“”改为“”,求+的值.
【解析】因为数列{an}和{bn}都是等差数列,
所以+=====.
　角度2　有关奇数项和、偶数项和的问题?
【典例】在项数为2n+1的等差数列{an}中,所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n等于
(　　)
A.9
B.10
C.11
D.12
【思路导引】综合利用等差数列的性质及其前n项和公式推出与n的关系.
【解析】选B.因为等差数列有2n+1项,
所以S奇=,S偶=.
又a1+a2n+1=a2+a2n,
所以===,所以n=10.
　角度3　构造新等差数列?
【典例】已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S10=100,S100=10,试求S110.
【思路导引】方法一:依据S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90,S110-S100成等差数列解答;
方法二:依据数列是等差数列解答;
方法三:直接分析S110,S100,S10之间的关系.
【解析】方法一:因为S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90,S110-S100成等差数列,设公差为d,前10项的和为:10×100+d=10,所以d=-22,
所以前11项的和S110=11×100+d=11×100+×(-22)=-110.
方法二:设等差数列{an}的公差为d,
则=(n-1)+a1,所以数列成等差数列.
所以=,即=,
所以S110=-110.
方法三:设等差数列{an}的公差为d,
S110=a1+a2+…+a10+a11+a12+…+a110=(a1+a2+…+a10)+[(a1+10d)+(a2+10d)+…+(a100+10d)]=S10+S100+100×10d,
又S100-10S10=d-d=10-10×100,
即100d=-22,所以S110=-110.
等差数列前n项和的性质
(1)等差数列{an}中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也构成等差数列.
(2)若{an}与{bn}均为等差数列,且前n项和分别为Sn与S′n,则=.
(3)若等差数列{an}的前n项和为Sn,则数列是等差数列,且首项为a1,公差为.
(4)项的个数的“奇偶”性质.
{an}为等差数列,公差为d.
①若共有2n项,则S2n=n(an+an+1);
S偶-S奇=nd;=;
②若共有2n+1项,则S2n+1=(2n+1)an+1;
S偶-S奇=-an+1;=
(5)等差数列{an}中,若Sn=m,Sm=n(m≠n),
则Sm+n=-(m+n).
(6)等差数列{an}中,若Sn=Sm(m≠n),则Sm+n=0.
1.在等差数列{an}中,a1=-2
018,其前n项和为Sn,若-=5,则S2
020=
(　　)
A.0
B.2
018
C.-2
019
D.2
020
【解析】选D.在等差数列{an}中,其前n项和为Sn,
所以数列是等差数列,
设其公差为d,则5d=-,所以d=1,又a1=-2
018,所以=+2
019×1=1,所以S2
020=2
020.
2.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若=,则等于
(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.设S4=m(m≠0),则S8=3m,
所以S8-S4=2m,
由等差数列的性质知,S12-S8=3m,S16-S12=4m,
所以S16=10m,故=.
3.(1)一个等差数列共2
019项,求它的奇数项和与偶数项和之比.
(2)一个等差数列前20项和为75,其中的奇数项和与偶数项和之比为1∶2,求公差d.
【解析】(1)等差数列{an}共有1
010个奇数项,1
009个偶数项,
所以S奇=,S偶=.
因为a1+a2
019=a2+a2
018,
所以=.
(2)前20项中,奇数项和S奇=×75=25,偶数项和S偶=×75=50,又S偶-S奇=10d,所以d==2.5.
【补偿训练】
1.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn,且=,则使得为整数的正整数n的个数是
(　　)
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】选D.由等差数列的性质可得:
==
==7+.
只有n=1,2,3,5,11时,为整数,
可得使为整数的正整数n的个数是5.
2.等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和是
(　　)
A.130
B.170
C.210
D.260
【解析】选C.因为Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,
所以Sm+S3m-S2m=2(S2m-Sm),
所以30+S3m-100=2(100-30),
所以S3m=210.
类型三　等差数列前n项和的最值(数学运算)
【典例】(2020·榆林高二检测)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a3=-6,S7=-28.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求Sn,并求Sn的最小值.
【思路导引】(1)列关于a1与d的方程组,求a1与d,写出其通项公式;
(2)方法一:分析{an}从哪项开始符号发生改变,下结论;
方法二:根据等差数列的前n项和是关于n的二次函数,利用二次函数的性质求最值.
【解析】(1)设{an}的公差为d,
由题意得
解得a1=-10,d=2.
所以{an}的通项公式为an=2n-12.
(2)方法一:由(1)得,
当n<6时,an<0,当n=6时,an=0,
当n>6时,an>0.
所以当n=5或n=6时,Sn取得最小值,
最小值为S5=S6=5×(-10)+×2=-30.
方法二:由(1)得Sn=
=n2-11n=(n-5.5)2-,
因为n∈N
,所以当n=5或n=6时,Sn取得最小值,最小值为-30.
等差数列前n项和最值的两种求法
(1)符号转折点法.
①当a1>0,d<0时,由不等式组
可求得Sn取最大值时的n值.
②当a1<0,d>0时,由不等式组
可求得Sn取最小值时的n值.
(2)利用二次函数求Sn的最值.
知道公差不为0的等差数列的前n项和Sn可以表示成Sn=an2+bn(a≠0)的形式,我们可将其变形为Sn=a-.
①若a>0,则当最小时,Sn有最小值;
②若a<0,则当最小时,Sn有最大值.
1.等差数列{an}中,Sn为它的前n项和,若a1>0,S20>0,S21<0,则当n=　　时,Sn最大.
(　　)?
A.8
B.9
C.10
D.11
【解析】选C.等差数列{an}中,前n项和为Sn,且S20>0,S21<0,
即a10+a11>0,并且a11<0,所以a10>0,
所以数列{an}的前10项和最大.
2.在等差数列{an}中,a1=25,S17=S9,求Sn的最大值.
【解析】方法一:利用前n项和公式和二次函数的性质.由S17=S9,得25×17+×(17-1)d=25×9+×(9-1)d,解得d=-2.
所以Sn=25n+(n-1)(-2)=-(n-13)2+169.
所以由二次函数的性质,得当n=13时,Sn有最大值169.
方法二:由方法一,得d=-2.
因为a1=25>0,
由得
所以当n=13时,Sn有最大值,最大值为S13=13×25+×(-2)=169.
方法三:由S17=S9,得a10+a11+…+a17=0,
而a10+a17=a11+a16=a12+a15=a13+a14,
故a13+a14=0.
由方法一,得d=-2<0,a1>0,
所以a13>0,a14<0.
故n=13时,Sn有最大值,最大值为S13=13×25+×(-2)=169.
【补偿训练】
1.记等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1>0,a2+a2
018=0,则S2
019=　　　　;当Sn取得最大值时,n=　　　　.?
【解析】因为a2+a2
018=a1+a2
019=0,
所以S2
019==0.
因为a1>0,a1+a2
019=2a1+2
018d=0,
所以a1+1
009d=0,所以a1
010=0,
所以当Sn取得最大值时,n=1
009或1
010.
答案:0　1
009或1
010
2.(2018·全国Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求Sn,并求Sn的最小值.
【解析】(1)设{an}的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.
又a1=-7,所以d=2.
所以{an}的通项公式为an=2n-9.
(2)方法一:(二次函数法)由(1)得Sn==n2-8n=(n-4)2-16,
所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.
方法二:(通项变号法)由(1)知an=2n-9,
则Sn==n2-8n.
由Sn最小?
即
所以≤n≤,
又n∈N
,所以n=4,此时Sn的最小值为S4=-16.
课堂检测·素养达标
1.在等差数列{an}中,若S10=4S5,则等于
(　　)
A.
B.2
C.
D.4
【解析】选A.由题意得10a1+×10×9d=45a1+×5×4d,所以10a1+45d=20a1+40d,
所以10a1=5d,所以=.
2.已知数列{an}的前n项和公式是Sn=2n2+3n,则
(　　)
A.是公差为2的等差数列
B.是公差为3的等差数列
C.是公差为4的等差数列
D.不是等差数列
【解析】选A.因为Sn=2n2+3n,
所以=2n+3,
当n≥2时,-=2n+3-2(n-1)-3=2,
故是公差为2的等差数列.
3.(教材二次开发:练习改编)已知等差数列{an}中,a1=3,d=4,an=39,则Sn=　　　　.?
【解析】因为an=a1+(n-1)d,a1=3,d=4,an=39,
所以39=3+4(n-1),
解得n=10,
所以S10===210.
答案:210
4.已知等差数列{an}中,|a5|=|a9|,公差d>0,则使得前n项和Sn取得最小值的正整数n的值是　　　　.?
【解析】由|a5|=|a9|且d>0得,a5<0,a9>0且a5+a9=0?2a1+12d=0?a1+6d=0,即a7=0,
故S6=S7,且最小.
答案:6或7
5.在等差数列{an}中,
(1)已知a6=10,S5=5,求a8;
(2)已知a2+a4=,求S5.
【解析】(1)方法一:因为a6=10,S5=5,
所以
解得
所以a8=a6+2d=16.
方法二:因为S6=S5+a6=15,
所以15=,即3(a1+10)=15.
所以a1=-5,d==3.
所以a8=a6+2d=16.
(2)方法一:因为a2+a4=a1+d+a1+3d=,
所以a1+2d=.
所以S5=5a1+10d=5(a1+2d)=5×=24.
方法二:因为a2+a4=a1+a5,
所以a1+a5=,
所以S5==×=24.
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