2.4.2等比数列的性质 学案 2020-2021学年高一下学期数学人教A版必修5第二章数列

第2课时　等比数列的性质
学习目标
1.掌握等比数列的性质及其应用.(逻辑推理、数学运算)2.掌握等比中项的实际应用.(数学运算、数学建模)3.熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用.(逻辑推理、数学运算)
必备知识·自主学习
导思
1.结合等差数列的性质,思考等比数列应该具备哪些性质?2.类比等差数列的单调性,分析等比数列的单调性?
1.等比数列项的运算性质
(1)等比数列的项之间的关系.
等比数列{an},m,n,p,q∈N
两项关系
an=amqn-m
三项关系
若m+n=2p,则an·am=
四项关系
若m+n=p+q,则am·an=ap·aq
(2)“子数列”性质.
对于无穷等比数列{an},若将其前k项去掉,剩余各项仍为等比数列,首项为ak+1,公比为q;
若取出所有的k的倍数项,组成的数列仍为等比数列,首项为ak,公比为qk.
(3)两等比数列合成数列的性质.
若数列{an},{bn}均为等比数列,c为不等于0的常数,则数列{can},{},{an·bn},也为等比数列.
　等比数列两项之间的关系an=amqn-m中,当n≤m时成立吗?
提示:成立,如a2=a5q2-5=a5q-3=.
2.等比数列的单调性
递增数列
a1>0
q>1
a1<0
0递减数列
a1>0
0a1<0
q>1
　当q=1,q<0时,分别是什么数列?
提示:当q=1时是常数列;当q<0时是摆动数列.
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).
(1)等比数列{an}中a2·a6=.
(　　)
(2)当等比数列的公比q>1时,一定是递增数列.
(　　)
(3)等比数列{an}中,a1,a4,a7,a10,…仍然是等比数列.
(　　)
提示:(1)×.a2·a6=.
(2)×.当数列的公比q>1时,若a1<0,则是递减数列.
(3)√.a1,a4,a7,a10,…是以a1为首项,q3为公比的等比数列.
2.等比数列{an}的公比q=-,a1=,则数列{an}是
(　　)　　　　　　　　　　　
A.递增数列
B.递减数列
C.常数列
D.摆动数列
【解析】选D.由于公比q=-<0,
所以数列{an}是摆动数列.
3.(教材二次开发:练习改编)在等比数列{an}中,已知a7·a12=10,则a8·a9·a10·a11=　　　　.?
【解析】因为a7·a12=a8·a11=a9·a10=10,
所以a8·a9·a10·a11=102=100.
答案:100
关键能力·合作学习
类型一　等比数列的性质及应用(数学抽象、逻辑推理、数学运算)
1.已知数列{an}是正项等比数列,若是a2和a8的等比中项,则a1a3a5a7a9的值是
(　　)
A.5
B.25
C.5
D.55
【解析】选B.因为是a2和a8的等比中项,
所以a2·a8=5,
又a1a9=a3a7==a2·a8=5,a5>0,
所以a5=,则a1a3a5a7a9=25.
2.在等比数列{an}中,a1+a2=10,a3+a4=60,则a7+a8=
(　　)
A.110
B.160
C.360
D.2
160
【解析】选D.设等比数列{an}的公比为q,
因为a1+a2=10,a3+a4=60,
所以q2(a1+a2)=10q2=60,
解得q2=6.
则a7+a8=q6(a1+a2)=10×63=2
160.
3.等比数列{an}中,a4,a8是关于x的方程x2+10x+4=0的两个实根,则a2a6a10=
(　　)
A.8
B.-8
C.4
D.8或-8
【解析】选B.根据题意,等比数列{an}中,
有a4a8=a2a10=,
a4,a8是关于x的方程x2+10x+4=0的两个实根,
则a4a8=4,a4+a8=-10,
则a4<0,a8<0,则有a6=a4q2<0,
即a6=-2,所以a2a6a10=(a6)3=-8.
　利用性质简化运算
　　　有关等比数列的计算,基本方法是运用方程思想列出基本量a1和q的方程组,先解出a1和q,然后利用通项公式求解.但有时运算稍繁,而利用等比数列的性质充分发挥项的“下标”的指导作用可优化解题过程.
【补偿训练】
1.已知等比数列{an}的各项均为正数,若log3a1+log3a2+…+log3a12=12,则a6a7=
(　　)　　　
A.1
B.3
C.6
D.9
【解析】选D.因为等比数列{an}的各项均为正数,且log3a1+log3a2+…+log3a12=12,
即log3(a1·a2·…·a12)=12,
所以a1·a2·…·a12=312,
所以(a6a7)6=312,
所以a6a7=32=9.
2.在等比数列{an}中,a2a3a4=8,a7=32,则a2=
(　　)
A.-1
B.1
C.±1
D.2
【解析】选C.等比数列{an}中,a2a3a4=8,
则=8,则a3=2,
因为a7=32,所以q4==16,
解得q=±2,
所以a2=±1.
类型二　等比中项的实际应用(数学运算、数学建模)
【典例】某工厂2019年1月的生产总值为a万元,计划从2019年2月起,每月生产总值比上一个月增长m%,那么到2020年8月底该厂的生产总值为多少万元?
【思路导引】(1)该问题可以转化为等比数列模型吗?
(2)a1,q分别是多少?要求哪一个量?
【解析】设从2019年1月开始,第n个月该厂的生产总值是an万元,则an+1=an+anm%,
所以=1+m%.
则数列{an}是首项a1=a,公比q=1+m%的等比数列.
所以an=a(1+m%)n-1.
故2020年8月底该厂的生产总值为
a20=a(1+m%)20-1=a(1+m%)19万元.
　关于等比数列在应用问题中的应用
首先根据题意判断是否是等比数列模型,其次分析等比数列的首项、公比、项数,最后利用等比数列的通项公式计算解题.
　某厂生产电脑,原计划第一季度每月增加台数相同,在生产过程中,实际上二月份比原计划多生产10台,三月份比原计划多生产25台,这样三个月产量成等比数列,而第三个月的产量是原计划第一季度总产量的一半少10台,问该厂第一季度实际生产电脑多少台?
【解析】根据已知,可设该厂第一季度原计划3个月生产电脑台数分别为x-d,x,x+d,d>0,
则实际上3个月生产电脑台数分别为x-d,x+10,x+d+25,
由题意得
解得x=90,d=10,
故共有(x-d)+(x+10)+(x+d+25)=3x+35=3×90+35=305(台),
即该厂第一季度实际生产电脑305台.
【拓展延伸】
　　　在应用性问题中,判断是否为等比数列模型的关键是看增长(缩减)是否按照同一比例.
【拓展训练】
某工厂三年的生产计划是从第二年起每一年比上一年增长的产值都相同,三年的总产值为300万元.如果第一年、第二年、第三年分别比原计划产值多10万元、10万元、11万元,那么每一年比上一年的产值增长的百分数都相同,求原计划每年的产值.
【解析】由题意得,原计划三年中每年的产值组成等差数列,设为a-d,a,a+d(d>0),
则有(a-d)+a+(a+d)=300,解得a=100.
又由题意知(a-d)+10,a+10,(a+d)+11组成等比数列,所以(a+10)2=[(a-d)+10][(a+d)+11].
将a=100代入上式,得1102=(110-d)(111+d),
即d2+d-110=0.
解得d=10或d=-11(舍去).
所以原计划三年的产值分别为90万元,100万元,110万元.
【补偿训练】
(1)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入,若该公司2018年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是
(　　)
(参考数据:lg
1.12≈0.05,lg
1.3≈0.11,lg
2≈0.30)　
A.2020年
B.2021年
C.2022年
D.2023年
【解析】选C.设2018年全年投入研发资金为a1=130,2018年后n年投入的研发资金为an,则数列{an}成以a1为首项,以1.12为公比的等比数列,
所以an=130×1.12n-1,令130×1.12n-1>200,得n>+1≈+1=4.8,
即当n≥5时该公司全年投入的研发资金开始超过200万元.所以2022年会超过200万元.
(2)已知光线每通过一块特制玻璃板,强度要减弱20%,要使通过玻璃板的光线强度减弱到原来的以下,则至少需要重叠玻璃板块数为(参考数据:lg
2≈0.301
0)
(　　)
A.4
B.5
C.6
D.7
【解析】选D.设经过n块玻璃板后,光线强度为an,
则数列{an}是以为公比的等比数列,
由题意可得,<,两边同时取对数可得,nlg
<-lg
4,
所以n>=≈6,则n=7.
类型三　等比数列和等差数列的综合应用(逻辑推理、数学运算)
角度1　灵活设项解题?
【典例】三个数成等比数列,其积为64,如果第一个数与第三个数各减去1,则这三个数成等差数列,求这三个数.
【思路导引】利用等比数列设出前三项,表示出等差数列后求未知数.
【解析】因为三个数成等比数列,
设三个数为,a,aq,则×a×aq=a3=64,
所以a=4,所以三个数为,4,4q,
第一个数与第三个数各减去1为-1,4,4q-1,
则-1+4q-1=8,即2q2-5q+2=0,
解得q=2或,
所以这三个数为2,4,8或8,4,2.
　本例中的条件若改为“其积为512,如果第一个数与第三个数各减去2”,试求这三个数.
【解析】设三个数依次为,a,aq,
因为·a·aq=512,所以a=8.
因为+(aq-2)=2a,
所以2q2-5q+2=0,
所以q=2或q=,
所以这三个数为4,8,16或16,8,4.
　角度2　等差、等比数列的性质?
【典例】已知{an}是等差数列,{bn}是正项等比数列,且b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,
b5=a4+2a6,则a2
018+b9=
(　　)　　　　
A.2
274
B.2
074
C.2
226
D.2
026
【思路导引】分别用等差数列的首项a1、公差d、等比数列的公比q表示出已知条件,求出a1,d,q后求a2
018+b9.
【解析】选A.设等差数列{an}的公差为d,正项等比数列{bn}的公比为q>0,
因为b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6,
所以q2=q+2,q3=2a1+6d,q4=3a1+13d,
解得q=2,a1=d=1,
则a2
018+b9=1+2
017+28=2
274.
　巧设等差数列、等比数列
(1)若三数成等差数列,常设成a-d,a,a+d.若三数成等比数列,常设成,a,aq或a,aq,aq2.
(2)若四个数成等比数列,可设为,a,aq,aq2.若四个正数成等比数列,可设为,,aq,aq3.
1.设公差不为零的等差数列{an}满足a3=7,且a1-1,a2-1,a4-1成等比数列,则a10等于　　　　.?
【解析】设等差数列{an}的公差为d,则d≠0,
则a1=a3-2d=7-2d,a2=a3-d=7-d,
a4=a3+d=7+d,由于a1-1,a2-1,a4-1成等比数列,
则(a2-1)2=(a1-1)(a4-1),
即(6-d)2=(6-2d)(6+d),
化简得d2-2d=0,由于d≠0,解得d=2,
因此,a10=a3+7d=7+7×2=21.
答案:21
2.已知数列{an}是由实数构成的等比数列,a1=2,且a2-4,a3,a4成等差数列,则{an}的公比为　　　　.?
【解析】因为数列{an}是由实数构成的等比数列,设公比为q,
a1=2,且a2-4,a3,a4成等差数列,
所以2a3=(a2-4)+a4,
即2×2q2=2q-4+2q3,
整理,得(q-2)(q2+1)=0,
所以{an}的公比q=2.
答案:2
3.四个数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,第一个数与第四个数之和为16,第二个数与第三个数之和为12,求这四个数.
【解析】设后三个数依次为,a,aq,
则第一个数为-a.
由题意得
解得或
所以所求的四个数依次为0,4,8,16或15,9,3,1.
【拓展延伸】
等比数列与等差数列的区别与联系:
等差数列
等比数列
不同点
(1)强调每一项与前一项的差;(2)a1和d可以为零;(3)等差中项唯一.
(1)强调每一项与前一项的比;(2)a1与q均不为零;(3)等比中项不唯一.
相同点
(1)都强调每一项与前一项的关系;(2)公差与公比都必须是常数;(3)数列都可以由a1,d或a1,q确定.
联系
(1)若{an}为正项等比数列,则数列{logaan}为等差数列;(2){an}为等差数列,则数列{}为等比数列.
【拓展训练】
数列{an}的前n项和记为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n≥1).
(1)求{an}的通项公式;
(2)等差数列{bn}的各项为正,其前n项和为Tn,且T3=15,又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列,求Tn.
【思路导引】(1)可借助Sn-Sn-1=an(n≥2)来求出an;
(2)考虑方程的思想求出d,再求Tn.
【解析】(1)由an+1=2Sn+1,可得an=2Sn-1+1(n≥2),
两式相减,得an+1-an=2an,an+1=3an(n≥2).
又因为a2=2S1+1=3,所以a2=3a1.
故{an}是首项为1,公比为3的等比数列,所以an=3n-1.
(2)设{bn}的公差为d,
由T3=15,得b1+b2+b3=15,可得b2=5,
故可设b1=5-d,b3=5+d.
又a1=1,a2=3,a3=9,
由题意可得(5-d+1)(5+d+9)=(5+3)2.
解得d1=2,d2=-10.
因为等差数列{bn}的各项为正,所以d>0,所以d=2.
Tn=3n+×2=n2+2n.
【补偿训练】
在等比数列{an}中,a2=3,a5=81.
(1)求an;
(2)设bn=log3an,求数列{bn}的前n项和Sn.
【解析】(1)设{an}的首项为a1,公比为q,
依题意得
解得
因此,an=3n-1.
(2)因为bn=log3an=n-1,
所以数列{bn}的前n项和Sn==.
课堂检测·素养达标
1.(教材二次开发:习题改编)对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是
(　　)　　　　　　　　　
A.a1,a3,a9成等比数列
B.a2,a3,a6成等比数列
C.a2,a4,a8成等比数列
D.a3,a6,a9成等比数列
【解析】选D.设等比数列的公比为q,
因为==q3,即=a3a9,
所以a3,a6,a9成等比数列.
2.在等比数列{an}中,a3a4a5=3,a6a7a8=24,则a9a10a11的值为
(　　)
A.48
B.72
C.144
D.192
【解析】选D.因为=q9=8(q为公比),
所以a9a10a11=a6a7a8q9=24×8=192.
3.在等比数列{an}中,若a1a2a3=8,a3a4a5=512,则a10等于
(　　)
A.512
B.256
C.1
024
D.2
048
【解析】选A.因为{an}为等比数列,
所以a1a2a3==8,
所以a2=2,因为a3a4a5==512,
所以a4=8,
由等比数列的性质可知a2,a4,a6,a8,a10成等比数列,公比为=4,
所以a10=2·44=2×28=29=512.
4.已知数列{an}为等比数列.
(1)若a1+a2+a3=21,a1a2a3=216,求an;
(2)若a3a5=18,a4a8=72,求公比q.
【解析】(1)因为a1a2a3==216,
所以a2=6,所以a1a3=36.
又因为a1+a3=21-a2=15,
所以a1,a3是方程x2-15x+36=0的两根3和12.
当a1=3时,q==2,an=3·2n-1;
当a1=12时,q=,an=12·.
(2)因为a4a8=a3q·a5q3=a3a5q4=18q4=72,
所以q4=4,所以q=±.
【新情境·新思维】
已知数列{}是等比数列,公比为q,则数列{an}
(　　)
A.是等差数列,公差为log3q
B.是等差数列,公差为3q
C.是等比数列,公比为log3q
D.既不是等差数列,也不是等比数列
【解析】选A.因为数列{}是等比数列,
所以==q,
所以an+1-an=log3q(常数),
所以数列{an}
是等差数列,公差为log3q.
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