6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 作业与测评- 2020-2021学年高一数学人教A版（2019）必修第二册Word含解析

6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示
6．3.3　平面向量加、减运算的坐标表示
　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　平面向量的正交分解及坐标表示
1.给出下列几种说法：
①相等向量的坐标相同；
②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；
③一个坐标对应唯一的一个向量；
④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应．
其中正确说法的个数是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
2．如下图，向量a，b，c的坐标分别是________、________、________.
3．在平面直角坐标系中，点A(2,3)，B(－3,4)，如图所示，x轴、y轴正方向上的两个单位向量分别为i和j，则下列说法正确的是________(只填序号)．
①＝2i＋3j；②＝3i＋4j；③＝－5i＋j；
④＝5i－j.
知识点二　平面向量加、减运算的坐标表示
4.如果用i，j分别表示x轴和y轴方向上的单位向量，且A(2,3)，B(4,2)，则可以表示为(　　)
A．2i＋3j
B．4i＋2j
C．2i－j
D．－2i＋j
5．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线．若＝(2,4)，＝(1,3)，则等于(　　)
A．(－2，－4)
B．(－3，－5)
C．(3,5)
D．(2,4)
知识点三　平面向量加、减坐标运算的应用
6.设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，且＝4i＋2j，＝3i＋4j，＝，则C点的坐标为(　　)
A．(－2,1)
B．(1，－2)
C．(2，－1)
D．(－1,2)
7．已知平面上三个点的坐标为A(3,7)，B(4,6)，C(1，－2)，求点D的坐标，使得这四个点为构成平行四边形的四个顶点．
8．已知点A(2,3)，B(5,4)，＝(5λ，7λ)．若＝＋(λ∈R)，试求λ为何值时：
(1)点P在第一、三象限的角平分线上？
(2)点P在第三象限内？
一、选择题
1．已知＝(－2,4)，＝(2,6)，则＝(　　)
A．(0,5)
B．(4,2)
C．(2,5)
D．(2,1)
2．向量＝(7，－5)，将按向量a＝(3,6)平移后得向量，则的坐标为(　　)
A．(10,1)
B．(4，－11)
C．(7，－5)
D．(3,6)
3．若向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与相等，已知A(1,2)和B(3,2)，则x的值为(　　)
A．－1
B．－1或4
C．4
D．1或－4
4．已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　)
A．(－7，－4)
B．(7,4)
C．(－1,4)
D．(1,4)
5．(多选)已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，关于坐标平面内的任一向量a，下列结论中正确的是(　　)
A．存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)
B．若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2或y1≠y2
C．若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的起点是原点O
D．若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)
二、填空题
6．在平面直角坐标系内，已知i，j是两个互相垂直的单位向量，若a＝i－2j，则向量a用坐标表示为________．
7．已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60°，则的坐标为________．
8．如图，在正方形ABCD中，O为中心，且＝(－1，－1)，则＝________；＝________；＝________.
三、解答题
9．已知a＋b＝(2，－3)，a－b＝(－6,7)，求a和b.
10．已知点A(2,2)，B(－2,2)，C(4,6)，D(－5,6)，E(－2，－2)，F(－5，－6)．在平面直角坐标系中，分别作出向量，，，并求向量，，的坐标．
6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示
6．3.3　平面向量加、减运算的坐标表示
　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　平面向量的正交分解及坐标表示
1.给出下列几种说法：
①相等向量的坐标相同；
②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；
③一个坐标对应唯一的一个向量；
④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应．
其中正确说法的个数是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
答案　C
解析　由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故③错误．
2．如下图，向量a，b，c的坐标分别是________、________、________.
答案　(－4,0)　(0,6)　(－2，－5)
解析　解法一：将各向量向基底所在直线分解．
a＝－4i＋0j，∴a＝(－4,0)，b＝0i＋6j，∴b＝(0,6)，
c＝－2i－5j，∴c＝(－2，－5)．
解法二：根据一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标，知a＝(－6,2)－(－2,2)＝(－4,0)；b＝(2,6)－(2,0)＝(0,6)；c＝(－3，－6)－(－1，－1)＝(－2，－5)．
3．在平面直角坐标系中，点A(2,3)，B(－3,4)，如图所示，x轴、y轴正方向上的两个单位向量分别为i和j，则下列说法正确的是________(只填序号)．
①＝2i＋3j；②＝3i＋4j；③＝－5i＋j；
④＝5i－j.
答案　①③④
解析　i，j互相垂直，故可作为基底，由平面向量基本定理，有＝2i＋3j，＝－3i＋4j，＝－＝－5i＋j，＝－＝5i－j，故①③④正确.
知识点二　平面向量加、减运算的坐标表示
4.如果用i，j分别表示x轴和y轴方向上的单位向量，且A(2,3)，B(4,2)，则可以表示为(　　)
A．2i＋3j
B．4i＋2j
C．2i－j
D．－2i＋j
答案　C
解析　记O为坐标原点，则＝2i＋3j，＝4i＋2j，所以＝－＝2i－j.
5．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线．若＝(2,4)，＝(1,3)，则等于(　　)
A．(－2，－4)
B．(－3，－5)
C．(3,5)
D．(2,4)
答案　B
解析　∵＝＋，∴＝－＝(－1，－1)，∴＝－＝(－3，－5)，故选B.
知识点三　平面向量加、减坐标运算的应用
6.设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，且＝4i＋2j，＝3i＋4j，＝，则C点的坐标为(　　)
A．(－2,1)
B．(1，－2)
C．(2，－1)
D．(－1,2)
答案　D
解析　由题意可知A(4,2)，B(3,4)，＝－＝－i＋2j.∵＝，∴＝－i＋2j，∴C(－1,2)．
7．已知平面上三个点的坐标为A(3,7)，B(4,6)，C(1，－2)，求点D的坐标，使得这四个点为构成平行四边形的四个顶点．
解　设点D的坐标为(x，y)，
①当平行四边形为ABCD时，＝，
∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x，y)，
∴∴∴D(0，－1)；
②当平行四边形为ABDC时，同①可得D(2，－3)；
③当平行四边形为ADBC时，同①可得D(6,15)．
综上所述，点D的坐标可能为(0，－1)或(2，－3)或(6,15)．
8．已知点A(2,3)，B(5,4)，＝(5λ，7λ)．若＝＋(λ∈R)，试求λ为何值时：
(1)点P在第一、三象限的角平分线上？
(2)点P在第三象限内？
解　设点P的坐标为(x，y)，
则＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)，
＋＝(5,4)－(2,3)＋(5λ，7λ)
＝(3,1)＋(5λ，7λ)＝(3＋5λ，1＋7λ)．
∵＝＋，且与不共线，
∴则
(1)若点P在第一、三象限角平分线上，
则5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝.
(2)若点P在第三象限内，则∴λ<－1.
一、选择题
1．已知＝(－2,4)，＝(2,6)，则＝(　　)
A．(0,5)
B．(4,2)
C．(2,5)
D．(2,1)
答案　B
解析　＝－＝(2,6)－(－2,4)＝(4,2)，故选B.
2．向量＝(7，－5)，将按向量a＝(3,6)平移后得向量，则的坐标为(　　)
A．(10,1)
B．(4，－11)
C．(7，－5)
D．(3,6)
答案　C
解析　与方向相同且长度相等，故＝＝(7，－5)．
3．若向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与相等，已知A(1,2)和B(3,2)，则x的值为(　　)
A．－1
B．－1或4
C．4
D．1或－4
答案　A
解析　＝(2,0)，由于向量a与相等，
所以解得x＝－1.
4．已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　)
A．(－7，－4)
B．(7,4)
C．(－1,4)
D．(1,4)
答案　A
解析　设C(x，y)，∵A(0,1)，＝(－4，－3)，
∴解得∴C(－4，－2)，
又B(3,2)，∴＝(－7，－4)．
5．(多选)已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，关于坐标平面内的任一向量a，下列结论中正确的是(　　)
A．存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)
B．若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2或y1≠y2
C．若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的起点是原点O
D．若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)
答案　AB
解析　由题意可知，i，j是不共线的向量，根据平面向量基本定理可知A正确；B显然正确；因为向量是可以自由移动的，故C，D均不正确．故选AB.
二、填空题
6．在平面直角坐标系内，已知i，j是两个互相垂直的单位向量，若a＝i－2j，则向量a用坐标表示为________．
答案　(1，－2)
解析　不妨设i＝(1,0)，j＝(0,1)，则a＝(1，－2)．
7．已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60°，则的坐标为________．
答案　(2，6)
解析　设点A(x，y)，则x＝||cos60°＝4cos60°＝2.y＝||sin60°＝4sin60°＝6.即A(2，6)，
∴＝(2，6)．
8．如图，在正方形ABCD中，O为中心，且＝(－1，－1)，则＝________；＝________；＝________.
答案　(1，－1)　(1,1)　(－1,1)
解析　根据题意，知点A与点B关于y轴对称，与点C关于原点对称，与点D关于x轴对称，又＝(－1，－1)，O为坐标原点，∴A(－1，－1)，∴B(1，－1)，C(1,1)，D(－1，1)，∴＝(1，－1)，＝(1,1)，＝(－1,1)．
三、解答题
9．已知a＋b＝(2，－3)，a－b＝(－6,7)，求a和b.
解　设a＝(m，n)，b＝(p，q)，则有解得所以a＝(－2,2)，b＝(4，－5)．
10．已知点A(2,2)，B(－2,2)，C(4,6)，D(－5,6)，E(－2，－2)，F(－5，－6)．在平面直角坐标系中，分别作出向量，，，并求向量，，的坐标．
解　如图，描出点A(2,2)，B(－2,2)，C(4,6)，D(－5，6)，E(－2，－2)，F(－5，－6)，
分别作出向量，，.
易知＝(2,4)，＝(－3,4)，＝(－3，－4)．