7.3.1复数的三角表示式 作业与测评- 2020-2021学年高一数学人教A版（2019）必修第二册Word含解析

7.3
　复数的三角表示
7.3.1　复数的三角表示式
　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　复数的三角表示
1.下列复数中已用三角形式表示的是(　　)
A．2(cosα－isinα)
B．2(sinα＋icosα)
C．－2(cosα＋isinα)
D．2[cos(－α)＋isin(－α)]
2．复数z＝－3(i是虚数单位)的三角形式是(　　)
A．3
B．3
C．3
D．3
3．复数的代数形式与三角形式互化：
(1)z1＝－1＋i；
(2)z2＝－4i；
(3)2；
(4)6.
知识点二　复数的辐角与复数的模
4.复数z＝sinθ－icosθ的辐角的主值是(　　)
A．θ－
B．π－θ
C．2π－θ
D．θ＋
5．复数z＝1＋cosα＋isinα(π<α<2π)的模为(　　)
A．2cos
B．－2cos
C．2sin
D．－2sin
6．当2π<θ<3π时，求复数z＝1－cosθ＋isinθ的模与辐角的主值．
7．分别指出下列复数的模和辐角的主值，并把这些复数表示成代数形式．
(1)(cos60°＋isin60°)；
(2)2.
知识点三　复数相等
8.若复数cosθ－isinθ与－sinθ＋icosθ(θ∈R)相等，则θ＝________.
　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题
1．下列复数已用三角形式表示的是(　　)
A．3(sin40°＋isin40°)
B．3(cos40°－isin40°)
C．－3(cos40°＋isin40°)
D．3(cos40°＋isin40°)
2．复数z＝的辐角的主值是(　　)
A.
B.
C.
D.
3．2i的三角形式是(　　)
A．2(cos0＋isin0)
B.
C．2
D．2(cosπ＋isinπ)
4．若复数z的模为2，其辐角为，则＝(　　)
A.＋i
B.－i
C．1－i
D．1＋i
5．复数1－5i和－3－2i的辐角的主值分别为α，β，则α＋β等于(　　)
A.
B.
C.
D.
二、填空题
6．复数2的代数形式为________．
7．复数z＝log1＋|1＋i|i的三角形式是________．
.
8．已知复数z1＝1＋i，则复数z＝的辐角的主值为________．
三、解答题
9．画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式．
(1)z1＝－1＋i；(2)z2＝－－i.
10．已知z1＝cosθ1＋isinθ1，z2＝cosθ2＋isinθ2，其中0<θ1<π，0<θ2<π，求z1＋z2的模与辐角．
7.3
　复数的三角表示
7.3.1　复数的三角表示式
　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　复数的三角表示
1.下列复数中已用三角形式表示的是(　　)
A．2(cosα－isinα)
B．2(sinα＋icosα)
C．－2(cosα＋isinα)
D．2[cos(－α)＋isin(－α)]
答案　D
解析　复数的三角形式为z＝r(cosα＋isinα)，其满足的条件为：①r≥0；②加号连接；③cosα在前，sinα在后；④α前后一致，可取任意值．A不满足②，不正确；B不满足③，不正确；C不满足①，不正确．故选D.
2．复数z＝－3(i是虚数单位)的三角形式是(　　)
A．3
B．3
C．3
D．3
答案　C
解析　由复数的三角形式z＝r(cosθ＋isinθ)，得
z＝－3＝3
＝3.故选C.
3．复数的代数形式与三角形式互化：
(1)z1＝－1＋i；
(2)z2＝－4i；
(3)2；
(4)6.
解　(1)由a＝－1，b＝，知点Z1(－1，)在第二象限，故辐角为第二象限的角．
r＝＝2.
又tanθ＝＝－，所以argz1＝.
因此复数z1＝－1＋i的三角形式为z1＝2.
(2)由a＝0，b＝－4<0，知r＝＝4，argz2＝，因此复数z2＝－4i的三角形式为z2＝4.
(3)2＝2＝－＋i.
(4)6＝6＝－3－3i.
知识点二　复数的辐角与复数的模
4.复数z＝sinθ－icosθ的辐角的主值是(　　)
A．θ－
B．π－θ
C．2π－θ
D．θ＋
答案　A
解析　复数z＝sinθ－icosθ＝cos＋isin，由<θ<π，得0<θ－<，故此复数的辐角的主值为θ－.故选A.
5．复数z＝1＋cosα＋isinα(π<α<2π)的模为(　　)
A．2cos
B．－2cos
C．2sin
D．－2sin
答案　B
解析　解法一：复数z＝1＋cosα＋isinα＝1＋＋i·2sincos＝2cos，∵π<α<2π，∴<<π，cos<0，∴|z|＝＝2＝－2cos.∴z＝1＋cosα＋isinα(π<α<2π)的模为－2cos.
解法二：∵|z|＝＝
＝
＝
＝，
∵π<α<2π，∴<<π，∴cos<0，
∴|z|＝－2cos.
故选B.
6．当2π<θ<3π时，求复数z＝1－cosθ＋isinθ的模与辐角的主值．
解　z＝1－cosθ＋isinθ＝2sin2＋i·2sincos
＝2sin.
∵2π<θ<3π，∴π<<，∴sin<0.
从而z＝－2sin
＝－2sin.
∵π<<，∴0<－<.
故|z|＝－2sin，argz＝－.
7．分别指出下列复数的模和辐角的主值，并把这些复数表示成代数形式．
(1)(cos60°＋isin60°)；
(2)2.
解　(1)(cos60°＋isin60°)的模r＝，辐角的主值为60°.
(cos60°＋isin60°)＝×＋×i＝＋i.
(2)2＝2＝2.
所以复数的模r＝2，辐角的主值为.
2＝2cos＋2isin＝2×＋2×i＝1－i.
知识点三　复数相等
8.若复数cosθ－isinθ与－sinθ＋icosθ(θ∈R)相等，则θ＝________.
答案　kπ－(k∈Z)
解析　解法一：根据两个复数相等的充要条件，得cosθ＝－sinθ，即tanθ＝－1，所以θ＝kπ－(k∈Z)．
解法二：设z1＝cosθ－isinθ，z2＝－sinθ＋icosθ，
则z1＝cos(－θ)＋isin(－θ)，z2＝cos＋isin，因为z1＝z2，所以＋θ＝－θ＋2kπ，k∈Z，
故θ＝kπ－(k∈Z)．
　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题
1．下列复数已用三角形式表示的是(　　)
A．3(sin40°＋isin40°)
B．3(cos40°－isin40°)
C．－3(cos40°＋isin40°)
D．3(cos40°＋isin40°)
答案　D
解析　复数的三角形式表示为z＝r(cosθ＋isinθ)，参考四个选项，只有D满足．故选D.
2．复数z＝的辐角的主值是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　D
解析　z＝＝－i＝，所以辐角的主值是.故选D.
3．2i的三角形式是(　　)
A．2(cos0＋isin0)
B.
C．2
D．2(cosπ＋isinπ)
答案　C
解析　∵2i的模为r＝|2i|＝2,2i的辐角的主值为，∴2i的三角形式是2.故选C.
4．若复数z的模为2，其辐角为，则＝(　　)
A.＋i
B.－i
C．1－i
D．1＋i
答案　A
解析　由已知可得z＝2＝－1＋i，所以＝＝＝＋i.故选A.
5．复数1－5i和－3－2i的辐角的主值分别为α，β，则α＋β等于(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　C
解析　∵arg(1－5i)＝α，又1－5i对应点Z1(1，－5)在第四象限，∴<α<2π.∵arg(－3－2i)＝β，－3－2i对应点Z2(－3，－2)在第三象限，∴π<β<.则<α＋β<，即<α＋β<.故选C.
二、填空题
6．复数2的代数形式为________．
答案　－＋i
解析　2＝2＝－＋i.
7．复数z＝log1＋|1＋i|i的三角形式是________．
答案　
解析　∵|1＋i|＝＝，∴z＝log1＋|1＋i|i＝i.∵z在复平面对应点的坐标为(0，)，∴z的辐角的主值为，∴z的三角形式是.
8．已知复数z1＝1＋i，则复数z＝的辐角的主值为________．
答案　
解析　将z1＝1＋i代入式中化简整理，得z＝＝＝1－i，显然argz＝.
三、解答题
9．画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式．
(1)z1＝－1＋i；(2)z2＝－－i.
解　(1)复数z1＝－1＋i对应的向量如图1所示，
则r1＝＝，
cosθ＝－＝－.
∵与z1＝－1＋i对应的点位于第二象限，∴argz1＝.
故z1＝－1＋i＝.
(2)复数z2＝－－i对应的向量如图2所示，
则r2＝
＝1，
cosθ＝－.
∵与z2＝－－i对应的点位于第三象限，
∴argz2＝，故z2＝－－i＝cos＋isin.
10．已知z1＝cosθ1＋isinθ1，z2＝cosθ2＋isinθ2，其中0<θ1<π，0<θ2<π，求z1＋z2的模与辐角．
解　∵z1＝cosθ1＋isinθ1，z2＝cosθ2＋isinθ2，
∴z1＋z2＝(cosθ1＋isinθ1)＋(cosθ2＋isinθ2)
＝(cosθ1＋cosθ2)＋i(sinθ1＋sinθ2)
＝2coscos＋i·2sincos
＝2cos.
∵0<θ1<π，0<θ2<π，
∴－π<－θ2<0，－π<θ1－θ2<π，－<<，
则cos>0.
∴|z1＋z2|＝2cos.
z1＋z2的辐角是2kπ＋(k∈Z)．