7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 作业与测评- 2020-2021学年高一数学人教A版（2019）必修第二册

7.3.2　复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　复数乘法运算的三角表示及其几何意义
1.在复平面内，把复数3－i对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是(　　)
A．2
B．－2i
C.－3i
D．3＋i
2．已知z1＝，z2＝cos＋isin，求z1z2，请把结果化为代数形式，并作出几何解释．
3．把复数z1与z2所对应的向量，分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量，且模相等．已知z2＝－1－i，求复数z1的代数形式和它的辐角的主值．
4.设z＝r(cosθ＋isinθ)．求的三角表示．
5．已知|z1|＝3，|z2|＝5，|z1－z2|＝7，求.
知识点三　复数三角形式的综合应用
6.已知复数z＝－i，ω＝＋i，复数，z2ω3在复平面上所对应的点分别为P，Q，证明：△OPQ是等腰直角三角形(其中O为原点)．
7．在复平面内，设O为坐标原点，点A，B所对应的复数分别为z1，z2，且z1，z2的辐角的主值分别为α，β，模长均为1.若△AOB的重心G对应的复数为＋i，求tan(α＋β)．
　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题
1．把复数1＋i对应的向量按顺时针方向旋转所得到的向量对应的复数是(　　)
A.＋i
B.＋i
C.＋i
D.＋i
2．计算3(cos15°＋isin15°)·2(cos75°＋isin75°)＝(　　)
A．3i
B．3i＋2
C．6i
D．6i＋3
3．设模为2，辐角为的复数z是z3＋a＝0的根，那么a＝(　　)
A．2i
B．－2i
C．8i
D．－8i
4．计算4(cos160°＋isin160°)÷[2(cos10°＋isin10°)]＝(　　)
A.＋i
B．－＋i
C．2＋i
D．－2＋i
5．化简：＝(　　)
A．cos10θ＋isin10θ
B．sin10θ＋icos10θ
C．sin3θ＋icos3θ
D．cos3θ＋isin3θ
二、填空题
6．已知z1＝(1－i)，z2＝sin－icos，则z1z2＝________，＝________.
7．将复数1＋i所对应的向量绕原点按逆时针方向旋转θ角，所得向量对应的复数是－2i，则θ角的最小正值是________．
8．观察下列各式：
①cos＋isin＝＋i；
②2＝－＋i；
③3＝－1；
④4＝－－i；
…
根据以上规律，可得26＝________.
三、解答题
9．z1＝(cos20°＋isin20°)，z2＝(cos50°＋isin50°)，
z3＝(cos80°＋isin80°)，计算：
(1)z1z2z3；
(2)z；
(3)；
(4).
10．已知复数z＝＋i，ω＝＋i.求复数zω＋zω3的模及辐角的主值．
7.3.2　复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　复数乘法运算的三角表示及其几何意义
1.在复平面内，把复数3－i对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是(　　)
A．2
B．－2i
C.－3i
D．3＋i
答案　B
解析　由题意知复数3－i对应的向量按顺时针方向旋转，∴旋转后的向量为(3－i)＝(3－i)＝－2i.故选B.
2．已知z1＝，z2＝cos＋isin，求z1z2，请把结果化为代数形式，并作出几何解释．
解　z1z2＝
＝cos＋isin
＝cos＋isin＝0＋i×1＝i.
首先作与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转，保持其长度不变，这样得到一个长度为，辐角为的向量，即为积z1z2＝i所对应的向量．
3．把复数z1与z2所对应的向量，分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量，且模相等．已知z2＝－1－i，求复数z1的代数形式和它的辐角的主值．
解　在复平面上B(－1，－)，向量逆时针旋转得到向量，||＝2＝||，
依题意顺时针旋转后模不变，得到向量，则||＝2.
若z1＝a＋bi(a，b∈R)，
则a＝2cos＝－，b＝2sin＝，
∴z1＝－＋i.argz1＝.
知识点二　复数除法运算的三角表示及其几何意义
4.设z＝r(cosθ＋isinθ)．求的三角表示．
解　因为＝，|z|＝r，＝r(cosθ－isinθ)，
故＝(cosθ－isinθ)＝[cos(－θ)＋isin(－θ)]．
5．已知|z1|＝3，|z2|＝5，|z1－z2|＝7，求.
解　设z1，z2在复平面内分别对应点A，B.
在△AOB中，|OA|＝|z1|＝3，|OB|＝|z2|＝5，
|AB|＝|z1－z2|＝7.
∴cos∠AOB＝＝－，
即arg＝或arg＝，又＝，
∴＝＝－＋i
或＝＝－－i.
知识点三　复数三角形式的综合应用
6.已知复数z＝－i，ω＝＋i，复数，z2ω3在复平面上所对应的点分别为P，Q，证明：△OPQ是等腰直角三角形(其中O为原点)．
证明　∵z＝－i＝cos＋isin，
∴z3＝－i.
又ω＝＋i＝cos＋isin，∴ω4＝－1.
从而＝·＝＝i.
故＝1，即|OP|＝|OQ|且与的夹角为.
∴△OPQ是等腰直角三角形．
7．在复平面内，设O为坐标原点，点A，B所对应的复数分别为z1，z2，且z1，z2的辐角的主值分别为α，β，模长均为1.若△AOB的重心G对应的复数为＋i，求tan(α＋β)．
解　由题意，可知z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ＋isinβ.
∵△AOB的重心G对应的复数为＋i，
∴＝＋i，即
∴∴tan＝，
∴tan(α＋β)＝＝.
　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题
1．把复数1＋i对应的向量按顺时针方向旋转所得到的向量对应的复数是(　　)
A.＋i
B.＋i
C.＋i
D.＋i
答案　B
解析　复数1＋i对应的向量按顺时针方向旋转所得到的向量对应的复数为(1＋i)＝(1＋i)＝＋i，故选B.
2．计算3(cos15°＋isin15°)·2(cos75°＋isin75°)＝(　　)
A．3i
B．3i＋2
C．6i
D．6i＋3
答案　C
解析　3(cos15°＋isin15°)·2(cos75°＋isin75°)＝6(cos90°＋isin90°)＝6i.
3．设模为2，辐角为的复数z是z3＋a＝0的根，那么a＝(　　)
A．2i
B．－2i
C．8i
D．－8i
答案　D
解析　由题意，得z＝2，则有a＝－z3＝－23·＝－8i.
4．计算4(cos160°＋isin160°)÷[2(cos10°＋isin10°)]＝(　　)
A.＋i
B．－＋i
C．2＋i
D．－2＋i
答案　B
解析　4(cos160°＋isin160°)÷[2(cos10°＋isin10°)]＝2(cos150°＋isin150°)＝2＝－＋i.
5．化简：＝(　　)
A．cos10θ＋isin10θ
B．sin10θ＋icos10θ
C．sin3θ＋icos3θ
D．cos3θ＋isin3θ
答案　A
解析　
＝＝
＝
＝＝cos10θ＋isin10θ.
二、填空题
6．已知z1＝(1－i)，z2＝sin－icos，则z1z2＝________，＝________.
答案　－i　－i
解析　因为z1＝cos＋isin，z2＝cos＋isin，所以z1z2＝cos＋isin＝－i，＝cos＋isin＝－i.
7．将复数1＋i所对应的向量绕原点按逆时针方向旋转θ角，所得向量对应的复数是－2i，则θ角的最小正值是________．
答案　
解析　∵z＝1＋i＝2，∴将复数1＋i所对应的向量绕原点按逆时针方向旋转θ角，所得向量对应的复数为z1＝2(cosθ＋isinθ)＝2＝－2i，∴θ＋＝＋2kπ(k∈Z)，∴θ＝＋2kπ(k∈Z)．
∴θ角的最小正值是.
8．观察下列各式：
①cos＋isin＝＋i；
②2＝－＋i；
③3＝－1；
④4＝－－i；
…
根据以上规律，可得26＝________.
答案　－＋i
解析　解法一：根据规律，可猜n＝cos＋isin，
将n＝26代入，可得26＝cos＋isin＝－＋i.
解法二：26＝8·2＝－＋i.
三、解答题
9．z1＝(cos20°＋isin20°)，z2＝(cos50°＋isin50°)，
z3＝(cos80°＋isin80°)，计算：
(1)z1z2z3；
(2)z；
(3)；
(4).
解　(1)z1z2z3＝10(cos20°＋isin20°)(cos50°＋isin50°)(cos80°＋isin80°)＝10(cos70°＋isin70°)(cos80°＋isin80°)＝10(cos150°＋isin150°)＝－5＋5i.
(2)z＝5(cos20°＋isin20°)3＝5(cos60°＋isin60°)
＝＋i.
(3)＝＝(cos30°＋isin30°)＝.
(4)＝
＝cos50°＋isin50°.
10．已知复数z＝＋i，ω＝＋i.求复数zω＋zω3的模及辐角的主值．
解　解法一：将已知复数化为复数的三角形式为
z＝＋i＝cos＋isin，ω＝＋i＝cos＋isin，
依题意有zω＋zω3＝＋＝＋i
＝，
故复数zω＋zω3的模为，辐角的主值为.
解法二：zω＋zω3＝zω(1＋ω2)＝·(1＋i)＝＝，
故复数zω＋zω3的模为，辐角的主值为.