2020-2021学年高二数学人教A版选修2-2第一章导数及其应用单元测试（二）（word附答案）

导数及其应用单元测试（二）
一、
选择题
（本题共计
8
小题
，每题
3
分
，共计24分
）
?
1.
已知函数，则在区间上的平均变化率分别为(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
2.
已知函数在上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
3.
设函数，定义，，，，则的值是（?
?
?
?
）
A.
B.
C.
D.
?
4.
设函数的导函数为，若的图象在点（）处的切线方程为，则的值为（
）
A.
B.
C.
D.
?
5.
已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值等于（
）
A.
B.
C.
D.
?
6.
若对，，且，都有，则的最小值是?注：为自然对数的底数，即
A.
B.
C.
D.
?
7.
若函数
在
上可导，且
，则（?
?
?
?
）
A.
B.?
C.
D.
?
8.
若函数在处取得极大值，则实数的值为（
）
A.
B.
C.或
D.不存在
二、
多选题
（本题共计
4
小题
，每题
3
分
，共计12分
）
?
9.
已知函数和在区间上的图象如图，则下列说法不正确的是
A.在到之间的平均变化率大于在到之间的平均变化率
B.在到之间的平均变化率小于在到之间的平均变化率
C.对于任意，函数在处的瞬时变化率总大于函数在处的瞬时变化率
D.存在，使得函数在处的瞬时变化率小于函数在处的瞬时变化率
?
10.
已知函数，是的导函数，则下列结论中正确的是(?
?
?
?
)
A.函数的值域与的值域不相同
B.把函数的图象向右平移个单位长度，就可以得到函数的图象
C.函数和在区间上都是增函数
D.若是函数的极值点，则是函数的零点
?
11.
材料：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的高等数学与数学分析教材中，对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的，如函数，我们可以作变形：，所以可看作是由函数和复合而成的，即为初等函数．根据以上材料，对于初等函数的说法正确的是(?
?
?
?
)
A.有极小值
B.无极小值
C.有极大值
D.无极大值
?
12.
已知函数＝的定义域是，有下列四个命题，其中正确的有（
）
A.对于，函数在上是单调增函数
B.对于，函数存在最小值
C.存在，使得对于任意，都有成立
D.存在，使得函数有两个零点
卷II（非选择题）
三、
填空题
（本题共计
4
小题
，每题
3
分
，共计12分
）
?
13.
已知函数在定义域内无极值，则实数的取值范围是________．
?
14.
已知函数在处取得极小值，则的值为________.
?
15.
已知函数?若，且，则
的取值范围是________.
?
16.
已知函数在处取得最小值，函数，则________，曲线在点处的切线的斜率为________．
四、
解答题
（本题共计
6
小题
，每题
10
分
，共计60分
）
?
17.
已知函数的图象在点处的切线为（为自然对数的底数）．求函数的解析式．
?
18.
若函数
在定义域内存在实数
满足
则称实数
为函数
的“偶点”，若函
在定义域内存在“偶点”，则实数的取值范围为（?
?
?
?
）．
A.
B.?
C.
D.
?
19.
已知曲线在点（）处的切线与坐标轴转成的三角形的面积为．
（1）求实数的值；
（2）若，且对，，恒成立，求实数的取值范围．
?
20.
已知函数.
若，求的单调区间；
若存在唯一的零点，且，求的取值范围．
?
21.
已知函数．
当时，求曲线在点（）处切线的斜率；
当时，求函数的单调区间．
?
22.
已知函数，且．
试用含的代数式表示；
求的单调区间；
令，设函数在，处取得极值，记点（），（）．证明：线段与曲线存在异于，的公共点．
参考答案与试题解析
导数及其应用单元测试（二）
一、
选择题
（本题共计
8
小题
，每题
3
分
，共计24分
）
1.
【答案】
C
【解析】
利用函数的解析式求出区间两个端点的函数值；利用平均变化率公式求出该函数在区间上的平均变化率．
2.
【答案】
D
【解析】
此题暂无解析
3.
【答案】
A
【解析】
本题考查导数公式和特殊角的三角函数值．
4.
【答案】
D
【解析】
根据导数的几何意义，即可得到结论．
5.
【答案】
D
【解析】
对等式，求导数，然后令，即可求出的值．
6.
【答案】
C
【解析】
由题意，把问题等价于，令，根据函数的单调性，即可求解的范围．
7.
【答案】
A
【解析】
此题暂无解析
8.
【答案】
B
【解析】
由，知，由在处取得极大值，知，由此能求出，最后再进行验证．
二、
多选题
（本题共计
4
小题
，每题
3
分
，共计12分
）
9.
【答案】
A,B,C
【解析】
由函数在某一区间上的平均变化率的定义，可以判定选项、错误；
由函数在某一点处的瞬时变化率是函数在该点处的导数，即函数在该点处的切线的斜率，可以判定选项错误，正确．
10.
【答案】
C,D
【解析】
求出函数的导数，再根据三角函数的图象与性质判断选项中的命题是否正确．
11.
【答案】
B,C
【解析】
由题设得，则，
当时，单调递增；
当时，单调递减；可得解.
?
12.
【答案】
A,B,D
【解析】
先求导数，若为减函数则导数恒小于零；在开区间上，若有最小值则有唯一的极小值，若有零点则对应方程有根．
三、
填空题
（本题共计
4
小题
，每题
3
分
，共计12分
）
13.
【答案】
【解析】
求导数，根据在定义域内无极值，可得二次函数没有根，即可得出结论．
14.
【答案】
【解析】
此题暂无解析
15.
【答案】
【解析】
此题暂无解析
16.
【答案】
,
【解析】
?
四、
解答题
（本题共计
6
小题
，每题
10
分
，共计60分
）
17.
【答案】
解：函数的导数为，
在点处的切线为，即有，即为，
即切线为，
又切点为，即，解得，
即有．
【解析】
求出的导数，由切线方程可得切线斜率和切点坐标，可得，，即可得到的解析式；
18.
【答案】
B
【解析】
本题以分段函数为载体，考查函数与方程的综合应用，考查利用导数研究函数的单调性和最值．
19.
【答案】
解：（1）的导数为，
在点（）处的切线斜率为，切点为，
即有在点（）处的切线方程为，
令，得；由，得，
则有三角形的面积为，
解方程可得或；
（2）对，，恒成立，
即为，
由，即在递增，
即有的最大值为，最小值为，
可得，
即有，
即，解得．
则的取值范围是．
【解析】
（1）求出导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程，分别令，，求得与，轴的交点，运用三角形的面积公式，解方程可得的值；
（2）对，，恒成立，即为，由在递增，可得最值，进而得到，即可得到的范围．
20.
【答案】
解：因为，则，．
令，解得．
当时，；
当时，．
故在，上单调递增，在上单调递减；
当时，，的零点是，不符合题意．
当时，，
当时，在上单调递增，所以，不符合题意；
当时，令，解得，
在上单调递增，在上单调递减．
若存在唯一的零点，且，则，
解得
综上，的取值范围为．
【解析】
此题暂无解析
21.
【答案】
解：当时，，
，故．
所以曲线在点（）处的切线的斜率为．
．
令，解得，或．
因为，．
①当时，
若时，，函数单调递增；
若时，，函数单调递减；
若时，，函数单调递增；
②当时，
若时，，函数单调递增；
③当时，
若时，，函数单调递增；
若时，，函数单调递减；
若时，，函数单调递增．
【解析】
由已知中函数，根据，我们易求出及的值，代入点斜式方程即可得到答案．
由已知我们易求出函数的导函数，令导函数值为，我们则求出导函数的零点，根据，我们可将函数的定义域分成若干个区间，分别在每个区间上讨论导函数的符号，即可得到函数的单调区间．
22.
【答案】
解：依题意，得．
由得．
解：由得，
故．
令，则或．
①当时，．
当变化时，与的变化情况如下表：
+
-
+
单调递增
单调递减
单调递增
由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为．
②当时，．此时，恒成立，且仅在处，故函数的单调增区间为．
③当时，，同理可得函数的单调增区间为和，单调减区间为．
综上所述：当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；
当时，函数的单调增区间为；
当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为.
证明：当时，，得．
由，得，．
由得的单调增区间为和，单调减区间为，
所以函数在，处取得极值．故，．
所以直线的方程为．
由得．
令．
易得，，而的图象在内是一条连续不断的曲线，
故在内存在零点，这表明线段与曲线有异于，的公共点．?
【解析】
（1）据求导法则求出导函数，代入已知条件得关系．
（2）令导数为得两个根，分类讨论两个根大小判断根左右两边导数的符号，得函数单调性．
（3）由（2）求出极值点，由两点式求出直线方程，与曲线方程联立判断有无其他公共点．
试卷第4页，总9页
试卷第5页，总9页