2020-2021学年高一下学期数学人教A版必修5第三章3.2 一元二次不等式及其解法 教案

3.2.1一元二次不等式及其解法（第一课时）
一、教材分析
本节课是人民教育出版社数学（必修5）第三章第二节第一部分内容，本节课内容的地位体现在它的基础性，作用体现在它的工具性。一元二次不等式的解法是高中数学教学的重点和难点之一。从内容上看，二次不等式、二次方程与二次函数密不可分，该内容涉及的知识点较多且应用广泛。从思想层次上看，它涉及到数形结合、分类转化、方程函数等数学思想，这些内容和思想将在中学数学中产生广泛而深远的影响。一元二次不等式的解法是以后研究函数的定义域、值域等问题的最要工具，它可渗透到中学数学的几乎所有领域中，对今后的学习起着十分重要的作用。
二、学情分析
??本节内容对学生来说不算陌生，由于一元二次不等式的解法与二次函数联系紧密，而二次函数又是学生在初中学习的薄弱环节，因此很多学生对此学习表现出困惑，对达成所规定的要求带来影响。
三、教学目标
知识与技能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图像法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维能力。
过程与方法：通过函数图像探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法。
情感与价值观：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。
四、重点与难点
重点：一元二次不等式的解法
难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系
要点：运用数形结合的思想方法，帮助学生将所学知识有机联系
五、教法与学法
1.教学方法的选择：
创设问题情境，采用启发诱导式的教学模式引导学生探索讨论，学生主动参与提出问题、探索问题和解决问题的过程，突出以学生为主体的探究性学习活动。
2.教学方法的选择：为使学生积极参与课堂学习，我主要指导了以下的学习方法：
①.让学生自己发现问题，自己通过观察图像归纳总结，自己评析解题对错，从而提高学生的参与意识和数学表达能力。
②.分组竞赛。
六、.教学手段
本节课运用多媒体课件辅助手段以加大课堂容量，通过数形结合，图、表并用，使抽象的知识直观化，形象化，以促进学生的理解。
七、教学过程
课题导入
引导学生总结三个一次关系：方程的解即函数图像与x轴交点的横坐标，不等式的解集即函数图像在x轴下方或上方图像所对应的x的范围。
提问：引导学生得出一元二次不等式的定义并对定义深刻分析，进而引入本课主题：一元二次不等式的解法。
【设计意图】利用现代信息技术，通过“三个一次关系”，导出“三个二次关系”旨在一元二次不等式的导出，从实际问题出发，引导学生探究问题的方向，创造性的使用教材，充分体现新课程理念．通过创设问题情境，使学生产生强烈的问题意识，积极主动地参与到学习中来。
2.讲授新课
1）一元二次不等式的定义
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式
【探究】
师：解不等式的方法很多，本节课我们主要探究图像法解不等式。引导学生观察：一元二次不等式一般表达式的左边，恰是关于自变量x的二次函数y的解析式，
即y=ax2+bx+c(a≠0).??
生：利用二次函数图像解一元二次不等式！
引例：解一元二次不等式
2）探究一元二次不等式的解集
怎样求不等式（1）的解集呢？
探究：
（1）二次方程的根与二次函数的零点的关系
容易知道：二次方程的有两个实数根：
二次函数有两个零点：
于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。
（2）观察图象，获得解集
画出二次函数的图象，如图，观察函数图象，可知：
当
x<0，或x>5时，函数图象位于x轴上方，此时，y>0,即；
当0所以，不等式的解集是，从而解决了本节开始时提出的问题。
小结“三个二次”之间的关系：方程的解即函数图像与x轴交点的横坐标，不等式的解集即函数图像在x轴下方或上方图像所对应的x的范围。
提问：我们通过二次函数y＝
x2-5x的图像不仅求得了的
x2-5x>0解集，还求得了的
x2-5x<0解集.可见利用二次函数的图像来解一元二次不等式是个有效的方法.如果相应的一元二次方程分别有两个实根、唯一实根、无实根的话，其相应的二次函数的图像与轴的位置关系如何？
【设计意图】通过二次函数的图像，让学生发现一元二次不等式的解法，先由简单的不等式入手，通过模仿练习，小结出图像法解一元二次不等式的步骤，并由此推广到一般；在完成表格的填写后，通过二个思考题，归纳小结出二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系．
由特殊到一般，由简单到复杂，由具体到抽象符合学生的思维发展，把知识建构的主动权交给了学生，以学案的形式让学生自已完成，整个过程循序渐进，问题的设置也是由浅入深，环环相扣，使学生学的轻松自如.
3）探究一般的一元二次不等式的解法
任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式：
?一般地，怎样确定一元二次不等式>0与<0的解集呢？
学生讨论，填写课本77页表
学生总结：当a>0时，解不等式ax2?+bx
+
c>0(≥0)或不等式ax2?+bx+c<
0(≤0)的步骤。
组织讨论：
从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下两点：
(1)抛物线与x轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程=0的根的情况
(2)抛物线的开口方向，也就是a的符号
总结讨论结果：
（l）抛物线?（a>
0）与
x轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程
=0的判别式三种取值情况(Δ>
0，Δ=0，Δ<0）来确定.因此，要分二种情况讨论
（2）a<0可以转化为a>0
分Δ>O，Δ=0，Δ<0三种情况，得到一元二次不等式>0与<0的解集
一元二次不等式的解集：
设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表：(让学生独立完成课本第77页的表格)
二次函数
（）的图象
一元二次方程
有两相异实根
有两相等实根
无实根
R
[例题讲解]
例2、求不等式的解集.
解：因为.
所以，原不等式的解集是
例3
解不等式.
解1：整理，得.
因为无实数解，
所以不等式的解集是.
从而，原不等式的解集是.
解2：直接求判别式小于0，在画图像开口向下，图像与x轴无交点，小于取下方，原不等式的解集是.
【设计意图】例1的设置是在于对一元二次不等式解法的熟悉与巩固，加深对解法的理解与应用，让学生理解当对应的一元二次方程有相等实根时不等式的解法，进而达到掌握解法的目的；例2则是与课题的导入相呼应，旨在体现数学的应用价值．
【设计意图】通过课堂练习进一步巩固所学知识，同时强化对二次项系数为负时的处理，以及判别式不大于零时的处理．
归纳总结：解一元二次不等式的步骤：
.
【设计意图】由学生小结得出知识点，教师引导学生领悟思想方法，提示学生养成良好的思维习惯。
八、课外作业，巩固提高
课本第80页习题3.2[A]组第1题
【设计意图】通过本节课的学习，巩固已有知识.
九、板书设计
3.2.1一元二次不等式及其解法
一元二次不等式的定义
2、例题分析
3、学生演练
4、解法步骤????????
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