江苏省如皋市2020-2021学年高一下学期3月第一次月考数学试题 Word版含解析

1035050011912600江苏省如皋市2020—2021学年高一下学期第一次月考
数学试题
2021．3
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．若复数false，其中i为虚数单位，则z的模是
A．false B．2 C．false D．false
2．△ABC中，角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c，若A＝60°，a＝false，则false 等于
A．false B．false C．false D．2
3．在△ABC中，角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c，若B＝false，false，则sinA＝
A．0 B．false C．false D．false
4．设复数false，其中i为虚数单位，则false＝
A．0 B．1 C．i D．﹣1
5．在△ABC中，已知b＝false，c＝false，C＝30°，则此三角形的解的情况是
A．有一解 B．有两解
C．无解 D．有解但解的个数不确定
6．已知角false的顶点在坐标原点O，始边与x轴的正半轴重合，将角false的终边绕O点逆时针旋转false后，经过点(﹣3，4)，则sinfalse＝
A．false B．false C．false D．false
7．若false，0＜false＜false，则sin2false＋cos2false＝
A．false B．false C．false D．false
3726180533408．某地市委、市政府坚持创新、协调、绿色、开放、共享的发展理念，把高质量发展同满足人民美好生活需要紧密结合起来，坚持生态优先．下图是该市某公园三期规划的一角示意图．边长为3百米的正方形花圃中，建有以A为圆心，1百米为半径的扇形水池，现需在其余部分设计一个矩形草坪PNCQ，其中P是水池边上任意一点，点N，Q分别在边BC和CD上，则规划中矩形草坪PNCQ面积的最小值为（ ）平方百米．
A．false B．false C．4 D．6
二、?多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，?共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．下列四个选项中，化简正确的是
A．false
B．sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝false
C．false
D．false
10．下列关于复数的命题中（i为虚数单位），说法正确的是
A．若关于x的方程false(afalseR)有实根，则false
B．复数z满足false，则z在复平面对应的点位于第二象限
C．1＋2i是关于x的方程false的一个根，其中p、q为实数，则q＝5
D．false，false(i为虚数单位，afalseR)，若a＞false，则false
11．已知函数false，下列结论正确的是
A．函数false的最小正周期为false
B．[false，false]是函数false的增区间
C．函数false的图像关于点(false，0)对称
D．函数false的图像可由函数false的图像向左平移false个单位得到
12．在△ABC中，角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c，下列命题中正确的是
A．若tanA＋tanB＋tanC＞0，则△ABC一定是锐角三角形
B．若acosB＝bcosA＋c，则△ABC一定是直角三角形
C．若sinA＋sinB＝sinC(cosA＋cosB)，则△ABC一定是钝角三角形
D．若false，则△ABC一定是锐角三角形
三、填空题（本大题共4小题，?每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．已知false，其中i为虚数单位，若复数z的实部为正数，则z＝ ．
14．已在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c，tanC＝3tanA，若cosB＝false，则A值为 ．
15．如果三个函数的图像交于一点，我们把这个点称为“三重点”，若点P是函数false，t为常数，false，false，xfalse(0，false)的三重点，则t的值为 ．
16．A、B、C是水面下共线的三个声波监测点，B、C两点到A的距离分别为40千米和100千米，某时刻，B收到发自水面下静止目标P的一个声波信号，16秒后，A，C同时接到该声波信号，声波在水中的传播速度为1.5千米秒．则A到P的距离为 千米；P到直线AC的距离为 千米．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
已知函数false．
（1）求函数false的图像的对称轴的方程；
（2）若false，求函数false的值域．
18．（本小题满分12分）
在△ABC中，角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c，false，false，false、false为锐角，且2B＝false．
（1）求B的值；
（2）若b＝2，求false的最大值．
19．（本小题满分12分）
已知false、false(false，false)，且false，false．
（1）求false的值；
（2）求false的值．
20．（本小题满分12分）
已知false＝(sinx﹣cosx，﹣2)，false＝(1，sinxcosx)，false，其中xfalse[false，false]．
（1）求函数false的值域；
（2）若存在false[false，false]，使得false，求false的值．
21．（本小题满分12分）
在△ABC中，D为边BC上一点，AD＝6．
（1）若AD⊥BC，且BD＝3，DC＝2，求∠BAC的大小；
（2）若BD＝4，cosB＝false，DC＝4，求△ADC的面积．
22．（本小题满分12分）
某中学在学校大门处设计有巨型校徽标志，整体为半圆形，其直径AB长为4米（如图），微标的核心部分为梯形ACDE，它由三个区域构成：区域I为等边三角形AOC，区域II为△DOE，区域III为等腰三角形OCD，其中DE∥AC，点C、D都在半圆弧AB上，点E在半径OB上，记∠DOB＝false．
（1）试用false表示区域I的面积，并写出false的取值范围；
（2）若区域III的面积为x平方米，求区域I的面积（用x表示），并求微标核心部分面积的最大值．
江苏省如皋市2020—2021学年高一下学期第一次月考
数学试题
2021．3
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．若复数false，其中i为虚数单位，则z的模是
A．false B．2 C．false D．false
答案：D
解析：false，false，选D．
2．△ABC中，角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c，若A＝60°，a＝false，则false 等于
A．false B．false C．false D．2
答案：C
解析：false，故选C．
3．在△ABC中，角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c，若B＝false，false，则sinA＝
A．0 B．false C．false D．false
答案：D
解析：false，
false，false，false．故选D．
4．设复数false，其中i为虚数单位，则false＝
A．0 B．1 C．i D．﹣1
答案：B
解析：false，false，false，
false，故选B．
5．在△ABC中，已知b＝false，c＝false，C＝30°，则此三角形的解的情况是
A．有一解 B．有两解
C．无解 D．有解但解的个数不确定
答案：B
解析：求得false，又false，故两解，选B．
6．已知角false的顶点在坐标原点O，始边与x轴的正半轴重合，将角false的终边绕O点逆时针旋转false后，经过点(﹣3，4)，则sinfalse＝
A．false B．false C．false D．false
答案：A
解析：设角false的终边经过点(﹣3，4)，则false，false，
则false，选A．
7．若false，0＜false＜false，则sin2false＋cos2false＝
A．false B．false C．false D．false
答案：D
解析：false，且false＞false，所以false (false，false)，所以false(false，false)，故cosfalse＜0，故falsefalse，故sin2false＋cos2false＝false，故选D．
3726180533408．某地市委、市政府坚持创新、协调、绿色、开放、共享的发展理念，把高质量发展同满足人民美好生活需要紧密结合起来，坚持生态优先．下图是该市某公园三期规划的一角示意图．边长为3百米的正方形花圃中，建有以A为圆心，1百米为半径的扇形水池，现需在其余部分设计一个矩形草坪PNCQ，其中P是水池边上任意一点，点N，Q分别在边BC和CD上，则规划中矩形草坪PNCQ面积的最小值为（ ）平方百米．
A．false B．false C．4 D．6
答案：B
解析：设∠PAM＝false，矩形草坪PNCQ面积为S，
则false，
设false，false[0，false]，则false[1，false]，false
则false，当false时，Smin＝false，故选B．
二、?多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，?共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．下列四个选项中，化简正确的是
A．false
B．sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝false
C．false
D．false
答案：CD
解析：false，故A错误；sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝false，故B错误．故选CD．
10．下列关于复数的命题中（i为虚数单位），说法正确的是
A．若关于x的方程false(afalseR)有实根，则false
B．复数z满足false，则z在复平面对应的点位于第二象限
C．1＋2i是关于x的方程false的一个根，其中p、q为实数，则q＝5
D．false，false(i为虚数单位，afalseR)，若a＞false，则false
答案：AC
解析：复数z满足false，则z在复平面对应的点位于第四象限，故B错误；两个复数（非实数）无法比较大小，故D错误．故选AC．
11．已知函数false，下列结论正确的是
A．函数false的最小正周期为false
B．[false，false]是函数false的增区间
C．函数false的图像关于点(false，0)对称
D．函数false的图像可由函数false的图像向左平移false个单位得到
答案：AC
解析：false，当false[false，false]时，false[false，false]，故[false，false]是函数false的减区间，B错误；函数false的图像向左平移false个单位得到false，故D错误．故选AC．
12．在△ABC中，角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c，下列命题中正确的是
A．若tanA＋tanB＋tanC＞0，则△ABC一定是锐角三角形
B．若acosB＝bcosA＋c，则△ABC一定是直角三角形
C．若sinA＋sinB＝sinC(cosA＋cosB)，则△ABC一定是钝角三角形
D．若false，则△ABC一定是锐角三角形
答案：AB
解析：若sinA＋sinB＝sinC(cosA＋cosB)，则△ABC一定是直角三角形，故C错误；若false，则△ABC一定是直角三角形，故D错误．故选AB．
三、填空题（本大题共4小题，?每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．已知false，其中i为虚数单位，若复数z的实部为正数，则z＝ ．
答案：false
解析：设false，则false，则false，false，又false，求得a＝3，b＝﹣4，故false．
14．已在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c，tanC＝3tanA，若cosB＝false，则A值为 ．
答案：false
解析：因为cosB＝false，所以tanB＝2，因为tanC＝3tanA，所以﹣tan(A＋B)＝3tanA，
所以false，因为tanA＞0，所以tanA＝1，故A＝false．
15．如果三个函数的图像交于一点，我们把这个点称为“三重点”，若点P是函数false，t为常数，false，false，xfalse(0，false)的三重点，则t的值为 ．
答案：1
解析：false，因为false＞0，解得false，故t＝1．
16．A、B、C是水面下共线的三个声波监测点，B、C两点到A的距离分别为40千米和100千米，某时刻，B收到发自水面下静止目标P的一个声波信号，16秒后，A，C同时接到该声波信号，声波在水中的传播速度为1.5千米秒．则A到P的距离为 千米；P到直线AC的距离为 千米．
答案：62，false
解析：设PA＝x，则PB＝x﹣24，
则false，解得x＝62，故P到AC的距离h＝false false．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
已知函数false．
（1）求函数false的图像的对称轴的方程；
（2）若false，求函数false的值域．
解（1）false
false
false，false
（2）因为false
所以false
所以false
所以false的值域为false
18．（本小题满分12分）
在△ABC中，角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c，false，false，false、false为锐角，且2B＝false．
（1）求B的值；
（2）若b＝2，求false的最大值．
解（1）因为false，false，false、false为锐角
所以false，false
false
又false
所以false，即false 6分
（2）由正弦定理得false
又false，false，可得false
所以false
又false，false
所以当false时，即false时，false取最大值4
19．（本小题满分12分）
已知false、false(false，false)，且false，false．
（1）求false的值；
（2）求false的值．
解（1）因为false，false，
所以false
所以false
false
故false
（2）因为false，false
所以false
false
false
false
false
又false，所以false
20．（本小题满分12分）
已知false＝(sinx﹣cosx，﹣2)，false＝(1，sinxcosx)，false，其中xfalse[false，false]．
（1）求函数false的值域；
（2）若存在false[false，false]，使得false，求false的值．
解：（1）false
设false，则false
所以false
又false，false
所以false，即false
false在false上单调递增
false时，false；false时，false
false的值域为false
（2）由false，false
得false，即false
故false
21．（本小题满分12分）
在△ABC中，D为边BC上一点，AD＝6．
（1）若AD⊥BC，且BD＝3，DC＝2，求∠BAC的大小；
（2）若BD＝4，cosB＝false，DC＝4，求△ADC的面积．
解（1）因为false，false，false，false
所以false，false
false
又false是false的一个内角，所以false
（2）在false中，由余弦定理得false
false，得false（负值舍去）
又false
由正弦定理false得false
则false
所以false
22．（本小题满分12分）
某中学在学校大门处设计有巨型校徽标志，整体为半圆形，其直径AB长为4米（如图），微标的核心部分为梯形ACDE，它由三个区域构成：区域I为等边三角形AOC，区域II为△DOE，区域III为等腰三角形OCD，其中DE∥AC，点C、D都在半圆弧AB上，点E在半径OB上，记∠DOB＝false．
（1）试用false表示区域I的面积，并写出false的取值范围；
（2）若区域III的面积为x平方米，求区域I的面积（用x表示），并求微标核心部分面积的最大值．
解（1）题意得false，在false中由正弦定理得
false
所以false
所以false
所以falsefalse 6分
（2）由题意得false，即false
false，false，则false
又false
设false，则false，false
false
所以false，false
false，false
当false时，即false时
false最大值为false
答（略）