江苏省如皋市高中2020-2021学年高二下学期3月底数学周练试卷四 PDF版含答案

2020--2021 江苏省如皋中学高二第二学期数学周练试卷四
一、单选题
1．设 是可导函数，且 ，则 （ ）
A． B． -1 C． 0 D． -2
2．已知 的定义域为 ，则函数 ,则 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
3．已知集合 ，集合 ，集合 ，则集
合 ， ， 的关系为（ ）
A． B． C． D．
4．已知 ， ，则 z等于（ ）
A． B． C． D．
5．函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．



1

6. 已知 ，若 对区 间 内任 意两 个相 异的 两个 实数 ，恒有
，则实数 的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
7．设函数 ，若函数存在最大值，则实数 a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．设函数 是定义在 上的奇函数，函数 的导函数为 ，且当 时，
， 为自然对数的底数，则函数 在 上的零点个数为
（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知 为虚数单位，下面四个命题中是真命题的是（ ）
A．
B． 为纯虚数的充要条件为
C． 的共轭复数对应的点为第三象限内的点
D． 的虚部为


2

10．对于定义域为 D的函数 ,若同时满足下列条件 :① 在 D内单调递增或单调递
减 ;② 存在区间 ,使 在 上的值域为 .那么把 称为闭函数 .
下列结论正确的是 ( )
A．函数 是闭函数
B．函数 是闭函数
C．函数 是闭函数
D． 时 ,函数 是闭函数
11、 对于三次函数 ，给出定义：设 是函数 的导
数， 是 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数
的 “拐点 ”.探究发现：任何一个三次函数都有 “拐点 ”；任何一个三次函数都有对称中心，
且 “拐点 ”就是对称中心，设函数 ，则以下说法正确的是（ ）
A．函数 对称中心
B． 的值是 99
C．函数 对称中心
D． 的值是 1



3

12．设函数 ，且 ，下列命题：其中正确的命题是（ ）
A．若 ，则 ；
B．存在 ， ，使得 ；
C．若 ， ，则 ；
D．对任意的 ， ，都有 .
三、填空题
13．如果 z＝ ，那么 z100＋ z50＋ 1＝ ________.
14．如图为函数 f(x)＝ ax3＋ bx2＋ cx＋ d的图象， 为函数 f(x)的导函数，则不等式 xf′(x)＜ 0的
解集为 __________．

15. 已知函数 f(x)＝ |sinx|－ kx(x≥ 0， k∈ R)有且只有三个零点 ， 设此三个零点中的最大值为 x0， 则
x0 = .
（ 1＋ x20） sin2x0
16、 .函数 ，若函数 恰有两个零点，则实数 的取值范围是
______．


4

四、解答题
17．已知集合 。
（ 1）若 ，求 ；
（ 2）若 ，求实数 的取值范围。





18．设函数 .
（ 1）若 在区间 上单调递增，求实数 的取值范围；
（ 2）若存在正数 ，使得 成立，求实数 的取值范围 .







19.已知函数 .
（ 1） 求证： ；
（ 2） 若 不等式 在 上恒成立 ， 求 的最小值．


20．如图所示，某风景区在一个直径 AB为 的半圆形花园中设计一条观光路线，在点 A与圆
5

弧上一点 C之间设计为直线段小路，在路的两侧边缘种植绿化带；从点 C到点 B设计为沿圆弧
BC的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带 .(注：小路及绿化带的宽度忽略不计 )

（ 1）设 (弧度 )，将绿化带总长度 表示为 的函数；
（ 2）试确定 的值，使得绿化带总长度最大 .



21、 (本小题满分 12分 )已知函数 f(x)＝ xlnx＋ ax3－ ax2， a∈ R．
(1)当 a＝ 0时，求 f(x)的最值；
(2)若函数 g(x)＝ 存在两个极值点 x1、 x2(x1≠ x2)，求 g(x1)＋ g(x2)的取值范围 ．


22．已知 ，函数 .
（ 1）讨论函数 的单调性；
（ 2）已知函数 存在极值点 、 ，求证： .
2020--2012 江苏省如皋中学高二第二学期数学周练试卷四
6

解答
一、单选题
1．设 是可导函数，且 ，则 （ ）
A． B． -1 C． 0 D． -2
【答案】 B
2． 已知 的定义域为 ，则函数 ,则 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】 A
3．已知集合 ，集合 ，集合 ，则集
合 ， ， 的关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】 D
4．已知 ， ，则 z等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】 D

5．函数 的值域是（ ）
7

A． B． C． D．
【答案】 B
6. 已知 ，若 对区 间 内任 意两 个相 异的 两个 实数 ，恒有
，则实数 的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】 D
7．设函数 ，若函数存在最大值，则实数 a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】 C
8．设函数 是定义在 上的奇函数，函数 的导函数为 ，且当 时，
， 为自然对数的底数，则函数 在 上的零点个数为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】 B


二、多选题
9．已知 为虚数单位，下面四个命题中是真命题的是（ ）
8

A．
B． 为纯虚数的充要条件为
C． 的共轭复数对应的点为第三象限内的点
D． 的虚部为
【答案】 BC
【详解】对于 A，因为虚数不能比较大小，故 A错误；
对于 B，若 为纯虚数，则 ，解得 ，故 B正确；
对于 C， ，
所以 对应的点为 位于第三象限内，故 C正确；
对于 D， ，虚部为 ，故 D错误．故选： BC．
10．对于定义域为 D的函数 ,若同时满足下列条件 :① 在 D内单调递增或单调递
减 ;② 存在区间 ,使 在 上的值域为 .那么把 称为闭函数 .
下列结论正确的是 ( )
A．函数 是闭函数 B．函数 是闭函数
C．函数 是闭函数
D． 时 ,函数 是闭函数
【答案】 BD
【详解】因为 在定义域 上不是单调函数，所以函数 不是闭函数， A错误；
9

在定义域上是减函数，由题意设 ，则 ，解得
因此存在区间 ，使 在 上的值域为 ， B正确；
在 上单调递增，在 上单调递增，所以函数在定义域上不
单调递增 或单调递减，从而该函数不是闭函数， C错误；
若 是闭函数，则存在区间 ，使函数 的值域为 ，即
，所以 a， b为方程 的两个实数根，
即方程 有两个不等的实根 .
当 时，有 ，解得 ；
当 时，有 ，此不等式组无解 .
综上所述， ，因此 D正确， E错误；故选： BD


11、 对于三次函数 ，给出定义：设 是函数 的导
数， 是 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数
10

的 “拐点 ”.探究发现：任何一个三次函数都有 “拐点 ”；任何一个三次函数都有对称中心，
且 “拐点 ”就是对称中心，设函数 ，则以下说法正确的是（ ）
A．函数 对称中心
B． 的值是 99
C．函数 对称中心
D． 的值是 1
【答案】 BC
【详解】 ,
令 ，解得 ， ，
由题意可知：函数 的对称中心为 ；
因为函数 的对称中心为 ，所以有 ，
设 ，
所以有 ，
得， ，
即 的值是 99.故选： BC
11

12．设函数 ，且 ，下列命题：其中正确的命题是（ ）
A．若 ，则 ；
B．存在 ， ，使得 ；
C．若 ， ，则 ；
D．对任意的 ， ，都有 .
【答案】 BCD
【详解】 由 可得 ，
如图：对于选项 A： 表示曲线在点 处的切线斜率小于割线 的斜率，所
以 ，故选项 A不正确；
对于选项 B：在点 处的切线斜率小于割线 的斜率，在点 处的切线斜率大于割线 的斜
率，所以在曲线 上必存在某点 ，使得该点处的切线斜率等于割线 的斜率，所
以存在 ， 使得 ； 故选项 B正确；对于选项 C：
，由图知割线 的斜率，小于在点 处的切线的斜率，所以
，故选项 C正确；
对于选项 D：由图知梯形中位线 的长为 ， 的长为 ，
12

因为 ，所以 ，故选项 D正确；故选： BCD
三、填空题
13．如果 z＝ ，那么 z100＋ z50＋ 1＝ ________.
【答案】 【分析】先求出复数 ，计算出 后可求 的值 .
【详解】因为 ，故 ，所以 ，
故 ，故 ，故答案为： .
14．如图为函数 f(x)＝ ax3＋ bx2＋ cx＋ d的图象， 为函数 f(x)的导函数，则
不等式 xf′(x)＜ 0的解集为 __________．
【答案】 (－ ∞， )∪ (0, )
【解析】 由图象，得函数 在区间 上递增，在区间 上递减，在区间
上递增，即当 或 时， ，当 时， ，所
以不等式 的解集为 .
15. 已知函数 f(x)＝ |sinx|－ kx(x≥ 0， k∈ R)有且只有三个零点 ， 设此三个零点中的最大值为 x0， 则
x0 = .
（ 1＋ x20） sin2x0
【答案】
16、 函数 ，若函数 恰有两个零点，则实数 的取值范围是
______．
13

【答案】 【解析】 由题知：函数 恰有两个零点 .
等价于函数 与 恰有两个交点 .
当 时，函数 与 恰有一个交点，舍去 .
当 时，函数 与 恰有两个交点 .
当 时，如图设 与 的切点为 ，
， ， ， 则切线方程为 ，
原点代入，解得 ， .
因为函数 与 恰有两个交点，由图知 .
综上所述： 或 .故答案为： .
四、解答题
17．已知集合 。
（ 1）若 ，求 ； （ 2）若 ，求实数 的取值范围。
【答案】 (1) (2)
【解析】 （ 1）

（ 2）

综上可得实数 的取值范围为
14

18．设函数 .
（ 1）若 在区间 上单调递增，求实数 的取值范围；
（ 2）若存在正数 ，使得 成立，求实数 的取值范围 .
【答案】 （ 1） ；（ 2）
【详解】（ 1）函数 的定义域为 ， ，
要使 在区间 上单调递增，只需 ，
即 在 上恒成立即可，
由对数函数、反比例函数的性质可得 在 上单调递增，
所以只需 即可，当 时， 取最小值， ，
∴ 实数 的取值范围是 .
（ 2）存在正数 ，使得 成立，
即 ，即存在 使得 ，
令 ，
则 ，令 ，
则 在 上单调递增，且 ，所以当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，所以 在 上单调递减；在 上单调递
15

增，则 ，故 ，即实数 的取值范围为 .
19.已知函数 .
（ 1） 求证： ；
（ 2） 若 不等式 在 上恒成立 ， 求 的最小值．
(1) 证明： 由 f(x)＝ xcosx－ sinx得 f′(x)＝ cosx－ xsinx－ cosx＝－ xsinx.
? π? ? π?
因为在区间 ?0， ?上 f′(x)＝－ xsinx＜ 0， 所以 f(x)在区间 ?0， ?上单调递减．从而 f(x)≤ f(0)＝ 0.
? 2? ? 2?
sinx sinx
(2) 解： 当 x>0时 ， “ >a” 等价于 “ sinx－ ax>0”“ x x
令 g(x)＝ sinx－ cx， 则 g′(x)＝ cosx－ c，
? π?
当 c≤ 0时 ， g(x)＞ 0对任意 x∈ ?0， ?恒成立．
? 2?
? π? ? π?
当 c≥ 1 时 ， 因为对任意 x∈ ?0， ?， g′(x)＝ cosx－ c＜ 0， 所以 g(x)在区间 ?0， ?上单调递减．从而
? 2? ? 2?
? π?
g(x)＜ g(0)＝ 0对任意 x∈ ?0， ?恒成立．
? 2?
? π?
当 0? 2?
? π?
g(x)与 g′(x)在区间 ?0， ?上的情况如下：
? 2?
? π?
x (0， x0) x0 ?x0， ?
? 2?
g′(x) ＋ 0 －
g(x) 极大值
? π?
因为 g(x)在区间 [0， x0]上是增函数 ， 所以 g(x0)>g(0)＝ 0.进一步 ， “ g(x)＞ 0对任意 x∈ ?0， ?恒成立 ”
? 2?
?π? π 2 2 ? π?
当且仅当 g? ?＝ 1－ c≥ 0， 即 0＜ c≤ .综上所述 ， 当且仅当 c≤ 时 ， g(x)>0 对任意 x∈ ?0， ?恒
?2? 2 π π ? 2?
? π? sinx ? π?
成立；当且仅当 c≥ 1时 ， g(x)<0对任意 x∈ ?0， ?恒成立．所以 ， 若 a< ? 2? x ? 2?
2
成 立 ，则 a的最大值为 ， b的最小值为 1.
π
20．如图所示，某风景区在一个直径 AB为 的半圆形花园中设计一
条观光路线，在点 A与圆弧上一点 C之间设计为直线段小路，在路的两侧
边缘种植绿化带；从点 C到点 B设计为沿圆弧 BC的弧形小路，在路的一
侧边缘种植绿化带 .(注：小路及绿化带的宽度忽略不计 )
（ 1）设 (弧度 )，将绿化带总长度 表示为 的函数；
16

（ 2）试确定 的值，使得绿化带总长度最大 .
【答案】 （ 1） ， ；（ 2） .
【详解】（ 1）如图，连结 OC， BC，
在直角三角形 ABC中， ， （ m），所以 （ m），
由于 ，所以弧 BC的长为 （ m），
所以 （ m）， ，
（ 2）由（ 1）得 ，
所以 ， ，
当 时， ，当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
当 时， 有最大值 ，
所以当 时，绿化带总长度最大 .
21、 (本小题满分 12分 )已知函数 f(x)＝ xlnx＋ ax3－ ax2， a∈ R．
(1)当 a＝ 0时，求 f(x)的最值；
(2)若函数 g(x)＝ 存在两个极值点 x1、 x2(x1≠ x2)，求 g(x1)＋ g(x2)的取值范围 ．
【解析】 ： (1)当 a＝ 0时， f(x)＝ xlnx， x＞ 0，所以 f'(x)＝ lnx＋ 1，当 0＜ x＜ e-1时， f'(x)＜ 0， f(x)为单
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调减函数； 当 x＞ e-1时， f'(x)＞ 0， f(x)为单调增函数；所以 f(x)min＝ f(e-1)＝－ e-1，无最大值；
(2)因为 g(x)＝ ＝ lnx＋ ax2－ ax， x＞ 0，所以 g'(x)＝ ＋ ax－ a＝ ，
因为 g(x)存在两个极值点 x1、 x2(x1≠ x2)，
所以方程 ax2－ ax＋ 1＝ 0有两个不等正根 x1、 x2，
因此 Δ＝ a2－ 4a＞ 0，即 a＞ 4或 a＜ 0， x1＋ x2＝ 1， x1x2＝ ＞ 0，所以 a＞ 4；
又 g(x1)＋ g(x2)＝ lnx1＋ ax12－ ax1＋ lnx2＋ ax22－ ax2＝ lnx1x2＋ a(x12＋ x22)－ a(x1＋ x2)＝－ lna
＋ a(1－ 2 )－ a＝－ a－ lna－ 1；
令 h(a)＝－ a－ lna－ 1， a＞ 4，因为 h'(a)＝－ － ＜ 0，
所以 h(a)在 a∈ (4， ＋∞ )上单调递减，
因此 h(a)＜ h(4)＝－ 3－ ln4，所以 g(x1)＋ g(x2)的取值范围为 (－∞，－ 3－ ln4)．
22．已知 ，函数 .（ 1）讨论函数 的单调性；
（ 2）已知函数 存在极值点 、 ，求证： .
【详解】（ 1）当 时，函数 的定义域为 ，且 .对于方
程 ， .
① 当 时，即 时，令 ， ， ，
由 可得 ；
由 可得 或 .
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在
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上单调递增；
② 当 时，即 时， ，所以函数 在 上单调递增 .
（ 2）由（ 1）可得 ，且 、 是 的两根 .
由韦达定理可得 ， .
设 ，则 在 处取到极大值，在 处取到极小值，所以 .
因为 ， ，所以命题等价于证明 ，
整理得 ，即 .
令 ，构造函数 ， ，
则 ， ，令 ，易知 在 上单调递增 .因为
， ，所以存在 ，使 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
所以 ，所以 成立，
所以 .
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