第三章《不等式》水平测试（2）

第三章《不等式》水平测试（2）
一、选择题
1．若，则有（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ａ
2．不等式组的解集为（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ｃ
3．若的定义域是，则实数的取值范围是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ｃ
4．现有含盐的食盐水克，生产上需要含盐在以上，以下的食盐水，该需要加入含盐的食盐水克，则的范围是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ｃ
5．已知不等式对任意实数，恒成立，则正实数的最小值是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ｃ
6．对于，给出下列四个不等式：
①；
②；
③；
④．
其中成立的是（　　）
Ａ．①与③ Ｂ．①与④ Ｃ．②与③ Ｄ．②与④
答案：Ｄ
7．若是正数，则的最小值是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ｃ
8．制作一个面积为，形状为直角三角形的铁架框，有下列四种长度的铁管供选择，较经济的（够用，又耗材最小）是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ｃ
9．已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ｃ
10．已知集合，，，若，点，则的最大值是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ｄ
11．若，则（　　）
Ａ．有最小值 Ｂ．有最大值
Ｃ．有最小值 Ｄ．有最大值
答案：Ｄ
12．设表示不超过的最大整数，已知满足方程组如果不是整数，那么的值（　　）
Ａ．在与之间 Ｂ．在与之间
Ｃ．在与之间 Ｄ．在与之间
答案：Ａ
二、填空题
13．若，，且，则与的大小关系是 ．
答案：
14．已知当且仅当时，对恒成立，则 ．
答案：
15．某实验室需购买某种化工原料千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元．则在满足击需要的条件下，最少要花费 元．
答案：
16．已知不等式有惟一解，则实数 ．
答案：
三、解答题
17．解不等式组
解：原不等式组可化为
解得即，或．
原不等式组的解集为．
18．解关于的不等式，其中常数为实数．
解：原不等式可转化为，则方程的实根分别为．
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．
19．已知集合，，若，求实数的取值范围．
解：由，得，
，或．
．
由，得，
．
，解得，
故所求实数的取值范围为．
20．某小区欲建一面积为平方米的矩形绿地，四周有小路，绿地长边外小路宽米，短边小路宽8米，如图所示，当平方米时，怎样设计绿地的长、宽，使绿地和小路总占地面积最小？
解：设绿地的长边长为米，则宽为米，设绿地和小路总占地面积为平方米，
则，
当且仅当，即时，等号成立．此时．
因此，当绿地的长为米，宽为20米时，绿地和小路的总占地面积最小，为1440平方米．
21．甲、乙两公司生产同一种产品，但甲于设备陈旧，需要更新，经测算，对于函数，及任意的及任意的，当甲公司投入万元改造设备时，若乙公司投入改造设备费用小于万元，则乙有倒闭的风险，否则无倒闭的风险；同样当乙公司投入万元改造设备时，若甲公司投入改造设备费用小于万元，则甲有倒闭的风险，否则无倒闭的风险．
（1）请解释，的实际意义；
（2）设，，甲、乙公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无倒闭的风险的情况下尽可能地减少改造设备资金，问此时甲、乙两公司各投入多少万元？
解：（1）表示当甲公司不投入资金改造设备时，乙公司要避免倒闭，至少要投入万元的资金；表示当乙公司不投入资金改造设备时，甲公司要避免倒闭，至少要投入万元的资金；
（2）设甲公司投入的资金为万元，乙公司投入的资金为万元，依题意，要使甲、乙公司均无倒闭风险，需画出此不等式组表示的平面区域如上图阴影部分所示．
由得，故在双方均无倒闭的情况下，甲公司至少要投入25万元，乙公司至少要投入30万元．
22．已知奇函数的定义域为，且在上是增函数，问：当时，是否存在实数，使对所有的均成立？若存在，求出适合条件的所有实数；若不存在，说明理由．
解：易知在上递增，则．
．
即．
为奇函数，
．
．
即．
令，，．
由题设知，不等式在上恒成立，从而，或或
解得．
因此，满足条件的实数存在，它可取内的任何值．