江苏省南京市第六十六中学2020-2021学年高一下学期3月月考检测数学试题 Word版含解析

3111500A
A
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A
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A
江苏省南京市六十六中2020-2021学年第二学期
月考检测高一年级数学学科试卷 3.24
一、单选选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．
1．若则cos2α＝( )
A． B． C． D．
2．设向量＝(1，－4)，则( )
A．(1，1) B．(－1，－1) C．(3，－7) D．(－3，7)
6000750214630C
C
5280025180340E
E
4667250214630D
D
533400039751043624503911603．已知四边形ABCD是平行四边形，点E为边CD的中点，则＝( )
3302001270
A． B．
5534025198120B
B
4140200198120A
A
C．＋ D．－
4．若则sin2θ的值为( )
A．－1 B．－ C． D．1
7480300452120
7493000452120
5．化简等于( )
A． B．
C． D．
6883400302260D
D
6883400302260C
C
6883400302260B
B
6883400302260A
A
6858000314960A
A
6．已知平面向量a＝(－2，3)，b＝(1，2)，向量λa＋b与b垂直，则实数λ的值为( )
A． B． C． D．－
7．已知非零向量，满足(＋)＝0，且＝，则△ABC的形状是( )
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．等腰(非等边)三角形 D．等边三角形
8．若＝，则－＝( )
A．－ B． C． D．－
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知向量ab＝1，|a|＝1，|a－b|＝，设a与b所成的角为θ，则 ( )
A．|b|＝2 B．a⊥(b－a) C．a∥b D．θ＝60°
10．下列四个等式，其中正确的是( )
A．tan25°＋tan35°＋tan25°tan35°＝ B．＝1
C．cos2－sin2＝ D．－＝4
11．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，设a与b的夹角为α，则( )
A．若a∥b，则x＝－2 B．若x＝1，则|b－a|＝
C．若x＝－1，则a与b的夹角为60° D．若a＋2b与a垂直，则x＝3
12．已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sinxcosx(x∈R).正确的是( )
A．最小正周期为π B．单调递增区间是[＋kπ，＋kπ](k∈Z)
C．最大值为2 D．f()＝1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。第16题两空，第一空2分，第二空3分.
13．已知向量＝(3，－2)，＝(－5，－1)，则向量的坐标是 ．
14．已知tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcosθ＝ ．
15．已知向量p＝(2，－3)，q＝(x，6)，且p∥q，则|p＋q|的值为 ．
16．如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且＝λ，＝－，则实数λ的值为 ，若M，N是线段BC上的动点，且||＝1，则的最小值为 ．
-1993907035165
四、解答题：本题共6小题，共70分。需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上.
17．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(－，－)．(1)求sinα的值；(2)求tan2α的值．
18．如图所示，把一个物体放在倾斜角为30°的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力F1，垂直于斜面向上的弹力F2．已知|F1|＝80N，求G和F2的大小．
19．已知α，β为锐角，tanα＝，cos(α＋β)＝－．
(1)求cos2α的值；
(2)求tanβ的值．
20．设两个不共线的向量，的夹角为θ，且||＝3，||＝2.
(1)若θ＝，求的值；
(2)若θ为定值，点M在直线OB上移动，|＋|的最小值为，求θ的值.
21．已知cos(2α－β)＝－，sin(α－2β)＝，0＜β＜＜α＜，求α＋β的值．
22．已知O为坐标原点，＝(2sin2x，1)，＝(1，－2sinxcosx＋1)，f(x)＝－＋1．
(1)求y＝f(x)的最小正周期；
(2)将f(x)图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的两倍，再将所得图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为g(x)，且α∈[，]，β∈(－，－)，g(α)＝，g(β)＝－，求cos2(α－β)－1的值．
3111500A
A
3111500A
A
3111500A
A
江苏省南京市六十六中2020-2021学年第二学期
月考检测高一年级数学学科试卷 解析版 3.24
一、单选选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．
1．若则cos2α＝( )
A． B． C． D．
【答案】B
【考点】余弦的二倍角公式应用
【解析】由题意可知cos2α＝1－2sin2α＝，故答案选B.
2．设向量＝(1，－4)，则( )
A．(1，1) B．(－1，－1) C．(3，－7) D．(－3，7)
【答案】B
【考点】向量的加法坐标运算
【解析】由题意＋＝(－2，3)＋(1，－4)＝(－1，－1)，故答案选B.
6000750214630C
C
5280025180340E
E
4667250214630D
D
533400039751043624503911603．已知四边形ABCD是平行四边形，点E为边CD的中点，则＝( )
3302001270
A． B．
5534025198120B
B
4140200198120A
A
C．＋ D．－
【答案】A
【考点】利用平面向量的基本定理表示向量
【解析】由题意可知＝＋＝＋＝－＝－＋，故答案选A.
4．若则sin2θ的值为( )
A．－1 B．－ C． D．1
【答案】D
【考点】三角函数二倍角公式的应用
【解析】由题意()2＝1＋sin2θ＝2，所以sin2θ＝1，故答案选D.
7480300452120
7493000452120
5．化简等于( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【考点】辅助角公式的化简应用
【解析】由题意可化简为2(cosx＋sinx)＝2(sincosx＋cossinx)＝2sin(＋x)，故答案选C.
6883400302260D
D
6883400302260C
C
6883400302260B
B
6883400302260A
A
6858000314960A
A
6．已知平面向量a＝(－2，3)，b＝(1，2)，向量λa＋b与b垂直，则实数λ的值为( )
A． B． C． D．－
【答案】D
【考点】平面向量中垂直的充要条件应用
【解析】由题意λa＋b＝(1－2λ，2＋3λ)，则由λa＋b与b垂直，可得1×(1－2λ)＋2×(2＋3λ)＝0，解得λ＝－，故答案选D.
7．已知非零向量，满足(＋)＝0，且＝，则△ABC的形状是( )
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．等腰(非等边)三角形 D．等边三角形
【答案】D
【考点】利用平面向量的运算判断三角形的形状
【解析】由题意(＋)＝0，可得∠BAC的平分线垂直于BC，所以AB＝AC，又因为＝cos<，>＝，且<，>∈(0，π)，所以∠BAC＝，所以△ABC为等边三角形，故答案选D.
8．若＝，则－＝( )
A．－ B． C． D．－
【答案】A
【考点】给值求值问题的应用
【解析】由题意，因为＝，所以－＝－＝－＋＝－＋2－1＝－＋－1＝－.故答案选A.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知向量ab＝1，|a|＝1，|a－b|＝，设a与b所成的角为θ，则 ( )
A．|b|＝2 B．a⊥(b－a) C．a∥b D．θ＝60°
【答案】ABD
【考点】平面向量的模、平行或垂直问题、数量积等应用
【解析】由题意，对于选项A，因为ab＝1，|a|＝1，|a－b|＝，所以|a－b|2＝a2－2ab＋b2＝1－2＋b2＝()2＝3，解得|b|＝2，故选项A正确；对于选项B，a(b－a)＝ab－a2＝1－1＝0，即a⊥(b－a)，故选项B正确；对于选项C，ab＝1，|a|＝1，|b|＝2，所以cos＝＝，因为∈(0，π)，所以＝，所以选项C错误，选项D正确；综上，答案选项ABD.
10．下列四个等式，其中正确的是( )
A．tan25°＋tan35°＋tan25°tan35°＝ B．＝1
C．cos2－sin2＝ D．－＝4
【答案】ACD
【考点】三角恒等变换的公式灵活应用
【解析】由题意，对于选项A，tan(25°＋35°)＝＝，所以tan25°＋tan35°＋tan25°tan35°＝(1－tan25°tan35°) ＋tan25°tan35°＝，故选项A正确；对于选项B，tan2(22.5°)＝＝1，所以＝，故选项B错误；对于选项C，cos2－sin2＝cos2＝，故选项C正确；对于选项D，－＝＝＝＝4，故选项D正确；综上，答案选ACD.
11．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，设a与b的夹角为α，则( )
A．若a∥b，则x＝－2 B．若x＝1，则|b－a|＝
C．若x＝－1，则a与b的夹角为60° D．若a＋2b与a垂直，则x＝3
【答案】ABD
【考点】平面向量的平行与垂直问题、数量积的坐标运算及求模
【解析】由题意，对于选项A，若a∥b，则x－2×(－1)＝0，解得x＝－2，故选项A正确；对于选项B，若x＝1，则b＝(2，1)，所以b－a＝(2，1)－(1，－1)＝(1，2)，所以|b－a|＝，故选项B正确；对于选项C，若x＝－1，则b＝(2，－1)，所以ab＝(1，－1) (2，－1) ＝3，且|a|＝，|b|＝，所以cos＝＝，故选项C错误；对于选项D，a＋2b＝(1，－1)＋2(2，x)＝(5，2x－1)，由a＋2b与a垂直，可得1×5＋(－1)×(2x－1)＝0，解得x＝3，故选项D正确；综上答案选ABD.
12．已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sinxcosx(x∈R).正确的是( )
A．最小正周期为π B．单调递增区间是[＋kπ，＋kπ](k∈Z)
C．最大值为2 D．f()＝1
【答案】ACD
【考点】利用三角函数公式化简解决三角函数的图象与性质
【解析】由题意函数f(x)可化简为f(x)＝cos2x－sin2x＝－2sin(2x－)，则最小正周期为T＝＝π，最大值为2，此时2x－＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)，f()＝－2sin(2×－)＝1，故选项ACD正确；令2x－∈[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)，解得x∈[＋kπ，＋kπ](k∈Z)，即为函数的单调递增区间，故选项B错误；综上，答案选ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。第16题两空，第一空2分，第二空3分.
13．已知向量＝(3，－2)，＝(－5，－1)，则向量的坐标是 ．
【答案】(－4，)
【考点】平面向量的坐标运算
【解析】由题意＝(－)＝[(－5，－1)－(3，－2)]＝(－4，).
14．已知tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcosθ＝ ．
【答案】
【考点】三角函数中的化简问题：齐次式
【解析】由题意原式可化简为＝＝＝.
15．已知向量p＝(2，－3)，q＝(x，6)，且p∥q，则|p＋q|的值为 ．
【答案】
【考点】平面向量的平行与求模
【解析】因为p∥q，所以2×6－x(－3)＝0，解得x＝－4，所以q＝(－4，6)，则p＋q＝(－2，3)，则|p＋q|＝＝.
16．如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且＝λ，＝－，则实数λ的值为 ，若M，N是线段BC上的动点，且||＝1，则的最小值为 ．
【答案】
【考点】平面向量的基本定理与数量积综合应用
【解析】
法一：由题意得AD∥BC，∠BAD＝120°，且由＝－，可得＝||||cos∠BAD＝－||＝－，所以||＝1，所以λ＝＝，取MN的中点为E，连接DE，则＋＝2，＝[(＋)2－(－)2]＝2－2＝2－，而题意中线段MN在线段BC上运动时，DE的最小值等于点D到直线BC的距离，即ABsin∠B＝，所以2－的最小值为()2－＝，即的最小值为.

法二：由题意可以B为原点，BC所在的直线为x轴，过点B且垂直于BC的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示：
1333501830070y
y
2667001882140则B(0，0)，A(，)，C(6，0)，则＝λ＝λ(6，0)＝(6λ，0)，＝(－，－)，因为＝6λ×(－)＋0×(－)＝9λ＝－，所以λ＝，所以＝(1，0)，所以D(，)，可设M(x，0)，N(x＋1，0)，且x∈[0，5]，所以＝(x－，－)，＝(x－，－)，所以＝(x－，－)(x－，－)＝x2－4x＋＝(x－2)2＋，所以当且仅当x＝2时，取最小值.
24066501106170x
x
20002501186180
四、解答题：本题共6小题，共70分。需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上.
17．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(－，－)．
(1)求sinα的值；(2)求tan2α的值．
【考点】三角函数的定义、正切的二倍角公式
【解析】
(1)由角α的终边过点P(－，－)可得sinα＝＝＝－；
(2)由(1)知sinα＝－，且cosα＝＝＝－，
所以tanα＝＝＝，所以tan2α＝＝＝－．
18．如图所示，把一个物体放在倾斜角为30°的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力F1，垂直于斜面向上的弹力F2．已知|F1|＝80N，求G和F2的大小．
【考点】平面向量在物理中的应用
【解析】如图，由向量加法的平行四边形法则知，＝sin30°，＝cos30°，计算可得|G|＝160N，|F2|＝80 N．
19．已知α，β为锐角，tanα＝，cos(α＋β)＝－．
(1)求cos2α的值；
(2)求tanβ的值．
【考点】二倍角公式的应用、给值求值问题：变角（构造角）
【解析】
(1)∵已知α，β为锐角，
再根据可得
(2)∵α，β为锐角，tana＝
∴α＋β为钝角，
∴tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝＝2
20．设两个不共线的向量，的夹角为θ，且||＝3，||＝2.
(1)若θ＝，求的值；
(2)若θ为定值，点M在直线OB上移动，|＋|的最小值为，求θ的值.
【考点】平面向量的数量积应用
【解析】
(1) cosθ
＝－6
(2)由题意可设，则显然λ≠0，
①当λ＞0时，θ4λ2，(*)
要使得(*)有最小值，则其对称轴，即cosθ＜0
所以，解得，
又因为0°≤θ≤180°
所以
②当λ＜0时，θ＋||2＝9＋12cosθλ＋4λ2，(**)
要使得(**)有最小值，则其对称轴，即cosθ＞0
故，解得，
又因为0°≤θ≤180°
所以
综上所述，θ＝30°或150°
21．已知cos(2α－β)＝－，sin(α－2β)＝，0＜β＜＜α＜，求α＋β的值．
【考点】给值求角问题的应用
【解析】因为cos(2α－β)＝－，sin(α－2β)＝，0＜β＜＜α＜，
所以2α－β为钝角，α－2β为锐角，所以sin(2α－β)＝＝，
cos(α－2β)＝＝，
所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]＝cos(2α－β) cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)
＝－×＋×＝，
因为0＜β＜＜α＜，所以＜α＋β＜，则α＋β＝
22．已知O为坐标原点，＝(2sin2x，1)，＝(1，－2sinxcosx＋1)，f(x)＝－＋1．
(1)求y＝f(x)的最小正周期；
(2)将f(x)图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的两倍，再将所得图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为g(x)，且α∈[，]，β∈(－，－)，g(α)＝，g(β)＝－，求cos2(α－β)－1的值．
【考点】三角函数与平面向量综合应用、三角函数的图象与性质及变换应用
【解析】
(1)由题设有
∴函数的最小正周期为
(2)由题设有
即sin
因为，所以(β＋)＝.
＋)]
＋)－cos(α＋)sin＝－，
所以cos2(α－β)－1＝－2sin2(α－β)＝(－2)