江苏省南京市第十四中学2020-2021学年高一下学期3月检测数学试题 Word版含解析

南京市十四中2020-2021学年第二学期高一数学3月学情检测 满分：150分 时间：120分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案直接填在答题卡相应位置上．
1．若＝(1，－2)，＝(1，－1)，则等于( )
A．(－2，3) B．(0，1) C．(－1，2) D．(2，－3)
2．若tanα＝3，则的值为( )
A．2 B．3 C．4 D．6
3．若cos24°cos36°－cos66°cos54°＝( )
A．0 B． C． D．－
4．已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是( )
4933950217170A
A
A．a＋2b B．2a＋b C．a－2b D．2a－b
5797550297180C
C
5067300990605067300990604400550990605．如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，则＝
539750077470D
D
4267200297180B
B
43999150A．2 B． C． D．
6．已知平面上A，B，C三点不共线，O是不同于A，B，C的任意一点，且(－)(＋则△ABC是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
7．已知|a|＝1，|b|＝，且a⊥(a＋b)，则向量a在b方向上的投影向量为( )
A．b B．b C．b D．－b
8．若sin且β∈[π，]则α＋β的值是( )
A． B． C．或 D．或
二、不定项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列等式成立的是( )
A．cos215°－sin215°＝ B．sin40°＋cos40°＝sin70°
C．sincos＝ D．tan15°＝2－
10．对于菱形ABCD，给出下列各式，其中正确的有( )
A．＝ B．||＝||
C．|－|＝|＋| D．||2＋||2＝4||2
11．已知向量a＝(1，－2)，b＝(－1，m)，则( )
A．若a与b垂直，则m＝－1 B．若a∥b，则ab的值为－5
C．若m＝1，则|a－b|＝ D．若m＝－2，则a与b的夹角为60°
12．已知函数f(x)＝sin2x＋2sinxcosx－cos2x，x∈R，则( )
A．－2≤f(x)≤2 B．f(x)在区间是(0，π)上只有1个零点
C．f(x)的最小正周期为π D．x＝为f(x)图象的一条对称轴
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。第16题两空，第一空2分，第二空3分.
13．在△ABC中，已知tanA，tanB是方程3x2－7x＋2＝0的两根，求tanC＝ ．
14．若e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，向量a＝2e1＋e2，则|a|＝ ．
4616450397510C
C
3863975393700D
D
4203700693420E
E
4003675494030367030049530046005754940303667125494030400050049530015．如图，在等腰梯形ABCD中，DC＝AB，BC＝CD＝DA，DE⊥AC于点E，如果选择向量与作基底，则可用该基底表示为 ．
4933950298450B
B
3533775297180A
A
367030099060
16．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin18°．若m2＋n2＝4，则＝ ．(用数字作答)
四、解答题：本大题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答，'解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)
已知
(1)求实数n的值；
(2)若⊥，求实数m的值．
18．(本小题满分12分)
求值：(1)；
(2) ．
19．(本小题满分12分)
已知cos(α－)＝－，sin(－β)＝，且α∈(，π)，β∈(0，)．求：
(1)；
(2)tan(α＋β)．
20．(本小题满分12分)
3533775594360D
D
4968875594360C
C
3222625693420如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G分别在边AB，AD，BC上，且满足AE＝AB，AF＝AD，BG＝BC，设＝a，＝b．
3536950990603333750396240480060045720G
G
3181350278130F
F
(1)用a，b表示，；
3467100184150E
E
4467225118110B
B
306705099060A
A
(2)若EF⊥EG，＝2ab，求角A的值．
21．(本小题满分12分)
已知向量a＝(sinx，)，b＝(cosx，－1)．
(1)当a∥b时，求tan2x的值；
(2)设函数f(x)＝2(a＋b)b，且x∈(0，)，求f(x)的最大值以及对应的x的值．
22．(本小题满分12分)
在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(－1，2)，点A(8，0)，B(n，t)，C(ksinθ，t)，(0≤θ≤)．
(1)若⊥a，且||＝||，求向量；
(2)若向量与向量a共线，当k＞4，且tsinθ取得最大值4时，求．
南京市十四中2020-2021学年第二学期高一数学3月学情检测 解析版 满分：150分 时间：120分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案直接填在答题卡相应位置上．
1．若＝(1，－2)，＝(1，－1)，则等于( )
A．(－2，3) B．(0，1) C．(－1，2) D．(2，－3)
【答案】B
【考点】平面向量的坐标运算
【解析】由题意＝－＝ (1，－1)－(1，－2)]＝(0，1)，故答案选B.
2．若tanα＝3，则的值为( )
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【考点】二倍角公式、齐次式化简
【解析】由题意＝＝2tanα＝6，故答案选D.
3．若cos24°cos36°－cos66°cos54°＝( )
A．0 B． C． D．－
【答案】B
【考点】诱导公式、两角和的余弦公式
【解析】由题意可知cos66°＝sin24°，cos54°＝sin36°，所以原式＝cos24°cos36°－cos66°cos54°＝cos24°cos36°－sin24°sin36°＝cos(24°＋36°)＝cos60°＝，故答案选B.
4．已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是( )
A．a＋2b B．2a＋b C．a－2b D．2a－b
【答案】D
【考点】平面向量的数量积、垂直关系应用
【解析】由题意|a|＝|b|＝1，ab＝|a||b|cos60°＝，所以(a＋2b)b＝ab＋2|b|2＝＋2＝≠0，故选项A错误；(2a＋b)b＝2ab＋|b|2＝1＋1＝2≠0，故选项B错误；(a－2b)b＝ab－2|b|2＝－2＝－≠0，故选项C错误；(2a－b)b＝2ab－|b|2＝1－1＝0，即2a－b与b垂直，故选项D正确；综上答案选D.
5467350398780D
D
506730010287049307752540A
A
5797550297180C
C
5067300990604400550990605．如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，则＝
4267200297180B
B
43999150A．2 B． C． D．
【答案】D
【考点】平面向量中数量积的应用
【解析】由题意因为AD⊥AB，所以＝0，所以＝(＋)＝0＋＝||||cos∠ADB＝||2＝，故答案选D.
6．已知平面上A，B，C三点不共线，O是不同于A，B，C的任意一点，且(－)(＋则△ABC是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【答案】A
【考点】利用平面向量的运算判断三角形的形状
【解析】取BC边上的中点D，则有＋＝2，则(－)(＋)＝2＝0，可得BC⊥AD，又因为点D为BC边上的中点，所以△ABC是等腰三角形，故答案选A.
7．已知|a|＝1，|b|＝，且a⊥(a＋b)，则向量a在b方向上的投影向量为( )
A．b B．b C．b D．－b
【答案】A
【考点】利用平面向量的垂直关系、数量积求解投影向量
【解析】由题意|a|＝1，|b|＝，且a⊥(a＋b)，所以a(a＋b)＝|a|2＋ab＝|a|2＋|a||b|cos< a，b >＝1＋1 cos＝0，解得＝，则向量a在b方向上的投影向量为bcos＝b，(或用公式：＝b)故答案选A.
8．若sin且β∈[π，]则α＋β的值是( )
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【考点】给值求角问题的应用
【解析】因为β∈[π，]，所以2又sin2α＝＞0，所以2则cos2α＝－＝－，又因为β－α∈所以－＝－，所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos2α－sin2α＝－×(－)－×＝，又因为β∈[π，]，所以α＋β∈[，2π]，所以α＋β＝，故答案选B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列等式成立的是( )
A．cos215°－sin215°＝ B．sin40°＋cos40°＝sin70°
C．sincos＝ D．tan15°＝2－
【答案】ACD
【考点】三角恒等变换的公式灵活应用
【解析】由题意，对于选项A，cos215°－sin215°＝cos30°＝，故选项A正确；对于选项B，sin40°＋cos40°＝cos60°sin40°＋sin60°cos40°＝sin(40°－60°)＝－sin20°，故选项B错误；对于选项C，sincos＝sin＝，所以选项C正确；对应选项D，tan15°＝tan(60°－45°)＝＝＝2－，故选项D正确；综上，答案选项ACD.
10．对于菱形ABCD，给出下列各式，其中正确的有( )
A．＝ B．||＝||
C．|－|＝|＋| D．||2＋||2＝4||2
【答案】BCD
【考点】平面向量的模、平行或垂直问题、数量积等应用
【解析】由题意，对于选项A，由于与方向不同，故≠，故选项A错误；对于选项B，因为四边形ABCD为菱形，所以||＝||，故选项B正确；对于选项C，|－|＝|＋|＝2||，而|＋|＝2||，且||＝||，所以|－|＝|＋|，故选项C正确；对于选项D，||2＋||2＝|＋|2＋|－|2＝2||2＋2||2＝4||2，故选项D正确；综上，答案选BCD.
11．已知向量a＝(1，－2)，b＝(－1，m)，则( )
A．若a与b垂直，则m＝－1 B．若a∥b，则ab的值为－5
C．若m＝1，则|a－b|＝ D．若m＝－2，则a与b的夹角为60°
【答案】BC
【考点】平面向量的平行与垂直问题、数量积的坐标运算及求模
【解析】由题意，对于选项A，若a与b垂直，则1×(－1)＋m×(－2)＝0，解得x＝－，故选项A错误；对于选项B，若a∥b，则m－(－2)×(－1)＝0，解得m＝2，则b＝(－1，2)，所以ab＝(1，－2) (－1，2)＝1×(－1)＋2×(－2)＝－5，故选项B正确；对于选项C，若m＝1，则b＝(－1，1)，所以a－b＝(1，－2)－(－1，1)＝(2，－3)，所以|a－b|＝，故选项C正确；对于选项D，若m＝－2，则b＝(－1，－2)，所以ab＝(1，－2) (－1，－2)＝3，且|a|＝，|b|＝，所以cos＝＝，故选项D错误；综上答案选BC.
12．已知函数f(x)＝sin2x＋2sinxcosx－cos2x，x∈R，则( )
A．－2≤f(x)≤2 B．f(x)在区间是(0，π)上只有1个零点
C．f(x)的最小正周期为π D．x＝为f(x)图象的一条对称轴
【答案】ACD
【考点】利用三角函数公式化简解决三角函数的图象与性质
【解析】由题意函数f(x)可化简为f(x)＝sin2x－cos2x＝2sin(2x－)，则最小正周期为T＝＝π，值域为[－2，2]，故选项A、C正确；因为f()＝2sin(2×－)＝2，所以x＝为f(x)图象的一条对称轴，故选项D正确；令f(x)＝0，则2x－＝kπ (k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)，则在区间(0，π)上可取k＝0，1，即x＝，x＝，故选项B错误；综上，答案选ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。第16题两空，第一空2分，第二空3分.
13．在△ABC中，已知tanA，tanB是方程3x2－7x＋2＝0的两根，求tanC＝ ．
【答案】－7
【考点】两角和的正切公式、诱导公式在三角形中的应用
【解析】由题意可得tanA＋tanB＝，tanAtanB＝，所以tanC＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝－＝－＝－7，故答案为－7．
14．若e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，向量a＝2e1＋e2，则|a|＝ ．
【答案】
【考点】平面向量中数量积与模的求解
【解析】由题意|a|＝＝＝＝，故答案为．
4616450397510C
C
3863975393700D
D
4203700693420E
E
4003675494030367030049530046005754940303667125494030400050049530015．如图，在等腰梯形ABCD中，DC＝AB，BC＝CD＝DA，DE⊥AC于点E，如果选择向量与作基底，则可用该基底表示为 ．
4933950298450B
B
3533775297180A
A
367030099060

【答案】＋
【考点】平面向量的基本定理的应用
【解析】由题意可得E为AC的中点，所以＝＋＝＋＝＋，故答案为＋．
16．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin18°．若m2＋n2＝4，则＝ ．(用数字作答)
【答案】－
【考点】文化题：三角函数公式化简、三角恒等变换化简求值
【解析】由题意＝＝＝＝－，故答案为－．
四、解答题：本题共6小题，共70分。需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上.
17．(本小题满分10分)
已知
(1)求实数n的值；
(2)若⊥，求实数m的值．
【考点】平面向量的平行与垂直的条件应用
【解析】
因为m)，
所以n)，
(1)因为所以可得3×(3＋m＋n)－m×3＝0，解得n＝－3；
(2)因为，＝＋＝(4，m－3)，
因为⊥，所以所以解得m＝±1．
18．(本小题满分12分)
求值：(1)；
(2)
【考点】三角恒等变换应用
【解析】
(1)原式＝(cos215°＋sin215°) (cos215°－sin215°)＝cos215°－sin215°＝cos30°＝；
(2) 原式
19．(本小题满分12分)
已知cos(α－)＝－，sin(－β)＝，且α∈(，π)，β∈(0，)．求：
(1)；
(2)tan(α＋β)．
【考点】二倍角公式的应用、给值求值问题：变角（构造角）
【解析】
(1)
∴＜α－＜π，－＜－β＜，
∴sin(α－)＝＝
cos(－β)＝＝
]si
＝；
(2)
，
∴
20．(本小题满分12分)
3533775594360D
D
4968875594360C
C
3222625693420如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G分别在边AB，AD，BC上，且满足AE＝AB，AF＝AD，BG＝BC，设＝a，＝b．
3536950990603333750396240480060045720G
G
3181350278130F
F
(1)用a，b表示，；
3467100184150E
E
4467225118110B
B
306705099060A
A
(2)若EF⊥EG，＝2ab，求角A的值．
【考点】平面向量的数量积应用
【解析】
(1)由平面向量的线性运算可知＝－＝－＝b－a，
＝＋＝＋＝b＋a，
(2)由题意，因为EF⊥EG，所以＝(b－a)(b＋a)＝(b－a)(b＋a)＝(|b|2－|a|2)＝0，解得|a|＝|b|，
所以＝a(b＋a)＝ab＋|a|2＝2ab，
化简得2ab＝|a|2，即2|a||b|cosA＝|a||a|＝|a||b|，
所以cosA＝，
又因A∈(0，π)，所以A＝．
21．(本小题满分12分)
已知向量a＝(sinx，)，b＝(cosx，－1)．
(1)当a∥b时，求tan2x的值；
(2)设函数f(x)＝2(a＋b)b，且x∈(0，)，求f(x)的最大值以及对应的x的值．
【考点】平面向量中平行的坐标运算、正切的二倍角公式运用、三角恒等变换与三角函数的图象与性质综合运用
【解析】
(1)因为a//b，所以．
因此tan2x＝＝＝－．
(2)由题意f(x)＝2(a＋b)b＝2
因此f(x)的最大值为
由x∈(0，)，得此时．
22．(本小题满分12分)
在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(－1，2)，点A(8，0)，B(n，t)，C(ksinθ，t)，(0≤θ≤)．
(1)若⊥a，且||＝||，求向量；
(2)若向量与向量a共线，当k＞4，且tsinθ取得最大值4时，求．
【考点】三角函数与平面向量综合应用、三角函数的图象与性质及变换应用
【解析】
(1)由题设知
因为所以8－n＋2t＝0，
又所以，解得t＝±8；
当t＝8时，n＝24；当t＝－8时，n＝－8．
所以，或．
(2)由题设知
因为与a共线，所以t＝－2ksinθ＋16，
tsinθ＝(－2ksinθ＋16)
因为k＞4，所以
所以当时，tsinθ取得最大值
由得k＝8，此时
所以＝(8，0)(4，8)＝32．