山西省朔州市应县第一高级中学校2020-2021学年高一下学期3月月考数学（文）试题 Word版含答案

应县一中高一年级月考六
数 学 试 题（文科） 2021.3
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．与向量a＝(1，)的夹角为30°的单位向量是(　　)
A．(，)或(1，) B．(，)
C．(0,1) D．(0,1)或(，)
1．D　
2．设向量a＝(1,0)，b＝(，)，则下列结论中正确的是(　　)
A．|a|＝|b| B．a·b＝
C．a－b与b垂直 D．a∥b
2．C
3．(＋)＋(＋)＋化简后等于(　　)
A. B. C. D.
3．【解析】　原式＝＋＋＋＋＝.
【答案】　C

4．已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c，则a＋b＋c的模等于(　　)
A．0 B．2＋ C． D．2
4．D　[|a＋b＋c|＝|＋＋|＝|2|＝2||＝2.]

5．若a与b满足|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，则a·a＋a·b等于(　　)
A． B． C．1＋ D．2
5．B　[由题意得a·a＋a·b＝|a|2＋|a||b|cos 60°＝1＋＝，故选B.]

6．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于(　　)
A．－a＋b B．a－b
C．a－b D．－a＋b
6．B　[令c＝λa＋μb，则　∴∴c＝a－b.]

7．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝(　　)
A．6 B．5 C．4 D．3
7．C　[∵a＝(1,1)，b＝(2,5)，∴8a－b＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)．又∵(8a－b)·c＝30，∴(6,3)·(3，x)＝18＋3x＝30.∴x＝4.]

8．向量a＝(3，4)，b＝(－3，1)，a与b的夹角为θ，则tan θ＝(　　)
A. B．－ C．3 D．－3
8．【解析】　由已知得，a·b＝3×(－3)＋4×1＝－5，
|a|＝5，|b|＝，
所以cos θ＝＝＝－.
由于θ∈[0，π]，所以sin θ＝＝.
所以tan θ＝＝－3.
【答案】　D


9．若a＝(λ，2)，b＝(－3,5)，且a与b的夹角是钝角，则λ的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．

9．A　[a·b＝－3λ＋10<0，∴λ>.当a与b共线时，＝，∴λ＝.此时，a与b同向，∴λ>.]


10．在菱形ABCD中，若AC＝2，则·等于(　　)
A．2 B．－2
C．||cos A D．与菱形的边长有关
10．B　[
如图，设对角线AC与BD交于点O，∴＝＋. ·＝·(＋)＝－2＋0＝－2，故选B.]

11．设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则向量a、b的夹角为(　　)
A．150° B．120° C．60° D．30°
【解析】　设向量a、b夹角为θ，
|c|2＝|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos θ，
则cos θ＝－
又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.故选B.
【答案】　B

12、已知向量false，false，若false是实数，且false，则false的最小值为（ ）
A．false B．false C．false D．false
12、【答案】C
【解析】∵false，false，
∴false
∴false
false，当false时取等号．
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.
13．－1
解析　∵a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，∴a＋b＝(1，m－1)．
∵(a＋b)∥c，c＝(－1,2)，∴2－(－1)·(m－1)＝0.∴m＝－1.
已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝，则向量a和向量b的数量积a·b＝________.
14．3
解析　a·b＝|a||b|cos 30°＝2··cos 30°＝3.
已知非零向量a，b，若|a|＝|b|＝1，且a⊥b，又知(2a＋3b)⊥(ka－4b)，则实数k的值为________．
15．6
解析　由(2a＋3b)·(ka－4b)＝2ka2－12b2＝2k－12＝0，∴k＝6.
已知点M，N满足||＝||＝3，且|＋|＝2，则M，N两点间的距离为________．
16.解析：依题意，得|＋|2＝||2＋||2＋2·＝18＋2·＝20，则·＝1，故M，N两点间的距离为||＝|－|
＝ ＝＝4. 答案：4
三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)
17．(10分)如图所示，以向量＝a，＝b为边作?AOBD，又＝，＝，用a，b表示、、.
17．解　＝－＝a－b.∴＝＋＝＋＝＋＝a＋b.
又＝a＋b.＝＋＝＋＝＝a＋b，
∴＝－＝a＋b－a－b＝a－b.
18．(12分)已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为60°，c＝5a＋3b，d＝3a＋kb，当实数k为何值时，
(1)c∥d；(2)c⊥d.
18．解　由题意得a·b＝|a||b|cos 60°＝2×3×＝3.
(1)当c∥d，c＝λd，则5a＋3b＝λ(3a＋kb)．
∴3λ＝5，且kλ＝3，∴k＝.
(2)当c⊥d时，c·d＝0，则(5a＋3b)·(3a＋kb)＝0.
∴15a2＋3kb2＋(9＋5k)a·b＝0，∴k＝－.
19．(12分)已知|a|＝1，a·b＝，(a－b)·(a＋b)＝，求：
(1)a与b的夹角；
(2)a－b与a＋b的夹角的余弦值．
19．解　(1)∵(a－b)·(a＋b)＝|a|2－|b|2＝1－|b|2＝，∴|b|2＝，∴|b|＝，
设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝.∴θ＝45°.
(2)∵|a|＝1，|b|＝，
∴|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×＋＝.∴|a－b|＝，
又|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×＋＝.∴|a＋b|＝，
设a－b与a＋b的夹角为α，则cos α＝＝＝.即a－b与a＋b的夹角的余弦值为.
20．(12分)已知a，b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，
求：(1)(a－2b)·(a＋b)；
(2)|a＋b|；
(3)|3a－4b|.
20．解　a·b＝|a||b|cos 120°＝4×2×＝－4.
(1)(a－2b)·(a＋b)＝a2－2a·b＋a·b－2b2＝42－2×(－4)＋(－4)－2×22＝12.
(2)∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－4)＋4＝12.
∴|a＋b|＝2.
(3)|3a－4b|2＝9a2－24a·b＋16b2＝9×42－24×(－4)＋16×22＝16×19，
∴|3a－4b|＝4.
21．(12分)设e1，e2是正交单位向量，如果＝2e1＋me2，＝ne1－e2，＝5e1－e2，若A，B，C三点在一条直线上，且m＝2n，求m，n的值．
【解】　以O为原点，e1，e2的方向分别为x，y轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy，
则＝(2，m)，＝(n，－1)，＝(5，－1)，
所以＝(3，－1－m)，＝(5－n，0)，
又因为A，B，C三点在一条直线上，所以∥，
所以3×0－(－1－m)·(5－n)＝0，与m＝2n构成方程组
解得或
22．(12分)已知向量false，false，设函数false的图象关于直线false对称，其中false，false为常数，且false．
（1）求函数false的最小正周期；
（2）false的图象经过点false，求函数false在区间false上的取值范围．
22．【答案】（1）false；（2）false．
【解析】（1）由题意得，false
false，
∵直线false是false图象的一条对称轴，
∴false，解得false，
又∵false，false，∴false，false，
即false的最小正周期是false．
（2）∵false图象过点false，
∴false，即false，
故false，
∵false，∴false，
即false，可得false，
故函数false在false上的取值范围为false．