浙江省宁波市宁海高级中学校2021届高三下学期3月高考适应性考试数学试题 Word版含答案

绝密★考试结束前
浙江省宁海中学2021年3月高三适应性考试
数学试题卷
考生注意：
1.本卷满分150分，考试时间120分钟；
2.答题前，请务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上；
3.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效；
4.考试结束后，只需上交答题卷。
参考公式：
台体的体积公式false 其中false，false分别表示台体的上、下底面积，false表示台体的高
柱体的体积公式false 其中false表示柱体的底面积，false表示柱体的高
锥体的体积公式false 其中false表示锥体的底面积，false表示锥体的高
球的表面积公式false
球的体积公式false 其中false表示球的半径
选择题部分（共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合false，false，则false
A.false B.false C.false D.false
2.在平面直角坐标系中，false，false，false（false），若点false的轨迹为双曲线，则false的取值范围是
A.false B.false C.false D.false
3.已知平面false，false，false，false，false，则“false”是“false”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.对于二项式false的展开式，下列命题为真的是
A.第3项的系数为false B.第4项的系数为false
C.奇数项的系数之和是false D.偶数项的系数之和是365
5.已知某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则其体积（单位：false）

A.false B.4 C.false D.5
6.已知函数false，false满足false，则false的图像大致是

A. B. C. D.
7.已知随机变量false的分布列如下表：
false
false
0
1
false
false
false
false
其中false，则false的最大值是
A.false B.false C.false D.false
8.如图，矩形false中，false，点false在false，false上，满足false，false，将false沿false向上翻折至false，使得false在平面false上的射影落在false的重心false处，设二面角false的大小为false，直线false，false与平面false所成角分别为false，false，则

A.false B.false C.false D.false
9.已知公差false的等差数列false的前false项和为false，若false，则
A.false B.false C.false D.false
10.对于false，false，若正整数组 false满足false，false，则称false为false的一个拆，设 false中全为奇数，偶数时拆的个数分别为false，false，则
A.存在false，使得false B.不存在false，使得false
C. 存在false，使得false D.不存在false，使得false
非选择题部分（共110分）
二、填空题：false本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.
11.Euler公式：false（false为自然对数的底数，false虚数单位）被评为最完美的公式.根据此公式，可得到false ；false .
12.已知两点false， false在圆false：false上，false点坐标为false，若false的最大值是false，且此时false，则false ；false .
13.已知实数false，false满足条件false，则false的取值范围是 .
14.已知平面向量false，false满足false，则false的取值范围是；若false，则false的最小值是 .
15.小明与3位男生、3位女生在排队购物，已知每位女生需2分钟，男生需1分钟，若小明（不排在首位）的前后不同时为女生，且他的等待时间不多于4分钟，则不同的排队情况共有 种.
16.已知false，false，若false有两零点false，false，且false，则false的取值范围是 .
17.如图，已知false，false为椭圆false：false（false）的两焦点，false为坐标原点，false，false分别 false，false在false的切线false上的射影，则点false的轨迹方程是 ；若有且仅有2条false使得false的面积最大，则false离心率的最大值是 .
三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.（本题满分14分）在false中，角false，false，false的对边分别是false，false，false，false，false，如图所示，点false在线段false上，满足false.
（Ⅰ）求false的值；
（Ⅱ）若false，求false的值.
19.（本题满分15分）如图，在斜四棱柱false中，false， false，false.
（Ⅰ）证明：平面false平面false；
（Ⅱ）求二面角false的正切值.
20.（本题满分15分）已知false为数列false的前false项和， 且false.
（Ⅰ）若数列false为公差false的等差数列，若false，证明： false是奇数；
（Ⅱ）若数列false 为公比false的等比数列，证明：false.
21.（本题满分15分）已知点false ，false在直线false：false上（false在false上方），false，false，斜率为false的直线false交抛物线false：false于点false，false，直线falsefalse于点false，false.
（Ⅰ）求false的取值范围；
（Ⅱ）若false，求false的取值范围.
22.（本题满分15分）已知false，函数false，false.
（Ⅰ）若false，
（i）求函数false的单调区间；（ii）证明：false；
（Ⅱ）若false，
（i）若存在正整数false，使非空集合false，求false的取值范围；
（ii）若对任意正整数false，非空集合false ，求false的取值范围.
浙江省宁海中学2021年3月高三适应性考试
数学参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
A
B
D
C
C
A
D
D
10.【解析】对于任意的false，至少存在一个全为1的拆分，故A错误；
当false为奇数时，false，故B错误；
当false为偶数时，false是每个数均为偶数的分拆，则它至少对应了false 和false的均为奇数的拆，
当false时，偶数拆为false，奇数拆为false，false；
当false时，偶数拆为false，false，奇数拆为false，false；
故当false时，对于偶数的拆，除了各项不全为1的奇数拆分外，至少多出一项各项均为1的拆，故false，故C错误，D正确
二、填空题：false本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.
11.false；false12.0或false；113.false 14.false；false15.144016.false
17.false；false
17.【解析】如图，延长false至false，使得false.
∵false，故false，false，false三点
∵false为false斜边上的中线，故
false，取切点false，连false，false，作false，由椭圆的光学性质得
false，
false，同理可得
false，
false，即点false的轨迹方程是false；由上分析可得
false，要使有且仅有2条false使得false的面积最大，即有且仅有两个false点使得false最接近false，即false，故false
三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.（本小题满分14分）
（1）false
由正弦宣，false
故false，即false
（2）由于false，false，即false为正三角形，故不妨设false
则false，由余弦定理，false
故false
即false
19.（本小题满分15分）
（1）证明：不妨设false，则false
由余弦定理：false
∴false，∴false
∵false，false，∴false平面false
∵false平面false，∴平面false平面false，证毕
（2）解法一：由（1）可知：∴平面false平面false
如下图，连false，作false，故false平面false
∴false即false在平面false的射影
∵false，∴false，故false为false的中点，故false
∵false，∴false，
∵false，∴false
由余弦定理：
false∴false
故false
设二面角false的大小为false，则false
故false
解法二：如下图，以false为原点，false为false轴，false为false轴，建立空间直角坐标系，连false
∵false，∴false
故得到false，false，false
设平面false的法向量false，平面false的法向量为false，得
false取false；false取false
设二面角false的大小为false，则false
故false
20.（本小题满分15分）
（1）证明：由false
false
该式有正整数解
故当false时，false是奇数
（2）证明：由题意得false
故false
false
设false，
∵false，∴false
故false
false
故false
21.（本小题满分15分）
（1）由题意可设false：false，由于false与抛物线，直线均有交点，
故false，false
联立false，false得到false，得false
而false，得到false
得false
由于false与抛物线，直线均有交点，故false
综上，false
（2）设false，false，false，false，则
false，false
故false
记false，false到直线false的距离分别为false，false
则false
设false：false，其中false，与抛物线联产得
false，由韦达定理得false
同理设false：false，由韦达定理得false
故false
false
false
由（1）可知，false
故false
当且仅当false，即false等
故false的取值范围是false
22.（本小题满分15分）
（1）①由题意得false
故false，false的单调性列表如下：
false
false
false
false
false
false
0
false
false
false
取极小值
false
故false在false上单调递减，在false上单调递增
②false
故false
由复合函数的单调性得false
故false，证毕
（2）①由于false是非空集合，故false
记，要使false，需满足false
即false，得false
当false时，false，矛盾！故false
设false，得false，从而记false， false
由于false，故false
而false，故false
故false在false上单调递减
由false得false，即false
②false是非空集合，故false，得false
下面考虑false
由于false，false，故false，false（false），使得false
由于false在false上单调递增，false
故要使false，只需false
对于前者，即false
false
false，false，false
故false，即false
故false，综上：false