重庆市第八中学2021届高考适应性月考卷（六）
数学参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
D
C
B
D
C
B
A
【解析】
1.
，即集合的非空子集的个数为，故选A.
2.
抛物线焦点坐标为，所以焦点到直线的距离为，故选D．
3．，故选C．
4．由题意，∴，则，则2020年全年投入资金为万元，故选B.
5．由，得，又，则，，于是，故选D．
6．∵，且，∴，
∴，∴①，或
(舍去)，∴两边平方，可得，解得，故选C．
7．设①，
②，得，∴展开式的奇次幕项之和为，当时，
，故选B．
8．∵，∴，设，即有，只需要
，故选A．
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
题号
9
10
11
12
答案
ABC
ACD
AD
AC
【解析】
9．，a，b，构成等边三角形，A正确；由向量加法的平行四边形法则可知，a和b的夹角为，B正确；
，则a与b同向，C正确；若，则a和b的夹角为钝角或者，D错误，故选ABC.
10．，故A项正确；
，，所以为偶函数，故B项错误；时，在上单调递增，因此在上单调递增，故C项正确；由于在上单调递增，又为偶函数，所以在上单调递减，所以的最小值为，D正确，故选ACD．
11．，，∴，A正确；，B错误；因为当时，，时，，则的最大值为，C错误；，，，D正确，故选AD．
12．对于A项，过P作的垂线，垂足为N，，，所以，所以，故A正确；对于B项，将平面与平面沿如图1展开，
，故B错误；对于C项，点P到直线的距离即P到点的距离，则点P到直线BC的距离等于它到点的距离，所以点P的轨迹是抛物线，故C正确；因为三角形面积为定值，以为底，则底边长一定，从而可得P到直线的距离为定值，分析可得，点P在以为轴线的圆柱面与平面的交线上，且与圆柱的轴线斜交，由平面与圆柱面的截面的性质判断，可得P的轨迹为椭圆，D错误，故选AC．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
题号
13
14
15
16
答案
（填任意一个都对）
【解析】
13．函数的周期相同，若，此时，此时，若，则方程等价为，则，，则，综上，满足条件的有序实数组为，．
14．设对应的复数为，可得，复平面上与x轴的夹角为，则与x轴的夹角为，所以，所以
．
15．5个球心组成一个正四棱锥，这个正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为3，求得它的高为，所以大球的球心到水平桌面的距离是．
16．∵，∴，又∵，∴
，∵，，∴，即离心率．
四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
解：（1）当时，；
当时，；
所以的通项公式为．
………………………………………（5分）
（2）由（1）可知，其中，
故的前10项和为
．
…………………………………………（10分）
18．（本小题满分12分）
解：（1）取BE中点P，AB中点F，连接PD，PF，
则，于是，且，
故四边形PFCD为平行四边形，，
由正三棱柱知为等边三角形，故，
又平面ABC，则，
又，所以平面，
于是平面．
……………………………………………………（6分）
（2）以F为坐标原点，，，为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，
则，，，
则，，
由（1）知：平面，故平面的法向量，
设平面的法向量，
则即
取，
则，
又二面角为锐二面角，故二面角的余弦值为．
……………………………………………（12分）
19．（本小题满分12分）
解：（1）∵，
∴，
即，
由正弦定理可得，
化简可得，又，，
则，故．
………………………………………………（6分）
（2）法一：由，得，
则，
设的外接圆半径为R，由正弦定理得，则，
于是有，又由余弦定理得，又，
解得，所以．
………………………………………………（12分）
法二：由①，则②，
又，于是，
故，
所以，
又，解得(舍负)，
又，则，
故，将①②代入可得，
所以．
………………………………………………………（12分）
20．（本小题满分12分）
解：（1）（i）由题意，系统抽样抽出的序号成等差数列，
收入在的贫困户的序号满足，
故收入在的有8户；
收入在的贫困户的序号满足，
故收入在的有2户．
………………………………………………………（3分）
（ii）随机变量X的可能取值为0，1，2，
，
，
，
X
0
1
2
P
所以．
……………………………………………………（7分）
（2）由题意易知：，，
又，，
所以，
所以或，
所以，
所以．
………………………………………………（12分）
21．（本小题满分12分）
解：（1）因为在椭圆上，所以，
所以C的方程为．
………………………………………………（4分）
（2）如图2，设，设，的斜率分别为，，
则，的方程为(其中，)，
由
得，①
关于x的方程①的判别式，
化简，得，②
关于k的方程②有两个实根，分别是切线，的斜率，
又，故，解得，
所以或．
……………………………………………（12分）
22．（本小题满分12分）
证明：（1）由于，则，
又，所以在处的切线方程为，
即，
…………………………………………………（2分）
令，则，
于是当时，；
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，即．
………………………………………（5分）
（2）不妨设，直线与相交于点，
又由（1）知：，则，
从而，当且仅当，时取等号．
……………………………………………（8分）
下证：．
由于，所以，即证：，
令，则，
当时，；
当，；
所以在上单调递减，在上单调递增；
故，即成立，当且仅当，时取等号．
……………………………………………（11分）
由于等号成立的条件不能同时满足，
所以．
…………………………………………（12分）
图1
图2
数学参考答案·第8页（共9页）秘密★启用前
重庆市第八中学2021届高考适应性月考卷(六)
数学
注意事项
答題前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.
每小題选出答案后,用2B铅笔把答題卡上对应題目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再
选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效
3.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回,满分150分,考试用时120分钟
选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的
项中,只有一项是符合题目要
已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x∈N|0C.
I5
2.抛物线y2=4x的焦点到直线x-3y=0的距离为
将6名学生分成2个小组,参加数学建模竞赛活动,每个小组由3名学生组成,则学生甲、乙在同一组的
概率为
1
4某市政府为加强数学科学研究,计划还年加大研发资金投人.已知市政府1980年全年投人研发资金100万
20年全年投入研发资金500万元,若每年投入的研发资金的增长率相同.则该市政府2021年全年投
人的研发资金约为
(本题可用自然对数的近似公式:x<0.1时,hn(1+x)≈x,参考数据:ln5≈1.61
A.515
B.520
D.530
设等差数列{an}的前n项和为S。若S3=2a3-3,a=2,则S8
数学·第1页(共4页)
6若a∈(2,,且30222-,则dma
√2
7
7.在(x2)3的二项展开式中,含x的奇次幂的项之和为S,当x=√时,S
8.若函数f(x)=sin2x+
acost+6x在(-∞,+∞)上单调递增,则a的取值范围为
选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项是符合题目要求的.全
部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分)
9.设a,b是两个非零向量,下列四个命题为真命题的是
A.若|a|=|b|=|a-b|,则a和b的夹角为
B.若|a|=1b|=|a+b|,则a和b的夹角为
若|a+bl=|a|+|b,则a和b方向相同
a和b的夹角为钝角
0.已知函数f(x)=ln(e2+1)-x,则
f(1n2)=l
f(x)是奇函数
C.f(x)在(0,+∞)上单调递增
D.f(x)的最小值为ln2
1l.等比数列{anl的公比为q,且满足a11,
d101g4
1011>l1,(alo-1)(alu-1)<0.记T=a1a2a1…a,则下列结
论正确的是
C.T≤Tou
D.使T12.如图1所示,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1B1的中点,点P在侧面BCC1B4所在平面
上运动,则下列命題正确的是
A.当点P为CC1的中点时,AP⊥BM
当点P在棱CC1上运动时,|BP|+|PA1|的最小值为5
C.若点P到直线BC与直线CD1的距离相等,则动点P的轨迹为抛物线
D.若点P使得△PBD1的面积为定值,则动点P的轨迹是圆
数学·第2页(共4页
