重庆市西南大学附属中学11-12学年高一上学期期末考试（数学）

西南大学附中2011—2012学年度上期期末考试
高一数学试题
（总分：150分 考试时间：120分钟）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．
若集合，，则（ ）
A．{ 3 } B．{ 0 } C．{ 0，2 } D．{ 0，3 }
函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
函数的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（ ）
A．a > 1，b < 0 B．a > 1，b > 0
C．0 < a < 1，b > 0 D．0 < a < 1，b < 0
函数（）的反函数是（ ）
A．（x < 1） B．（）
C．（x < 1） D．（）
已知为R上的减函数，则满足的实数x的取值范围是（ ）
A．（– 1，1） B．（0，1）
C． D．
要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的（ ）
A．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左移个单位长度
B．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右移个单位长度
C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左移个单位长度
D．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左移个单位长度
，，，且，则向量的夹角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
函数，为增函数的区间是（ ）
A． B． C． D．
设，是二次函数，若的值域是，则的值域是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题5分，共25分）
_____________．
在R上定义运算“△”：x△y = x ( 2 – y )，若不等式( x + m )△x < 1对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围是_______________．
若在区间上为增函数，则实数a的取值范围是____________．
若，则_____________．
设O为△ABC内一点，且（k > 0），，则k的值为_______________．
三、解答题（共75分）
(13分) 已知．求值：
；
．
(13分) 记函数的定义域为A，（a < 1）的定义域为B．
求A；
若，求实数a的取值范围．
(13分) 已知函数满足．
求的解析式；
设，，试求在 [ 1，3 ] 上的最小值．
(12分) 已知平面上的三个单位向量，，，它们之间的夹角均为120°．
求证：；
若，求实数k的取值范围．
(12分) 已知a > 0，函数，当时，．
求常数a、b的值；
设且，求的单增区间．
(12分) 对于在区间 [ m，n ] 上有意义的两个函数与，如果对任意，均有，则称与在 [ m，n ] 上是友好的，否则称与在 [ m，n ]是不友好的．现有两个函数与（a > 0且），给定区间．
若与在给定区间上都有意义，求a的取值范围；
讨论与在给定区间上是否友好．
（命题人：涂登熬 审题人：周 静）
西南大学附中2011—2012学年度上期期末考试
高一数学试题参考答案
一、选择题
1．B 2．A 3．D 4．B 5．C 6．C 7．C 8．D 9．C 10．C
二、填空题
11． 12．（– 4，0） 13． 14． 15．8
三、解答题
16．解：(1) ∵，∴
∴
又∵，∴
(2)
17．解：(1)
∴
(2) 由
∵a < 1，∴，∴B =（2a，a + 1）
∵，∴或，即或
而a < 1，∴或
∴a的范围为
18．解：(1) ∵令，则
于是
∴
(2)
①当时，即时，
②当时，即时，
③当时，即时，
综上，
19．(1) 证：∵，且夹角均为120°
∴
∴
∴
(2) 解：由，平方得（※）
∵，
故（※）式即为，即
∴k < 0或k > 2
20．解：(1) ∵，∴
∴
∴
又∵
∴
(2) 由(1)知，
∴
又由
∴
其中，单增时，有，即
∴增区间为
21．解：(1) 由题，
又在上有意义
∴
(2) 在上是友好的
对任意的恒成立
现设，
由(1)问知，的对称轴，在区间的左边
∴
∴当时，在上是友好的
当时，在上是不友好的
1
O
x
y