重庆市西南大学附属中学2012届高三第五次月考（数学理）

西南大学附属中学校高2012级第五次月考
数 学 试 题（理）
2011年2月
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．
2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题上．
3．填空题的答案和解答题的解答过程直接写在答题卡Ⅱ上．
4．考试结束，监考人将本试题和答题卡一并收回．
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
集合，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
的值为（ ）
A． B． C． D．
已知直线与圆交于两点A、B，且，其中O为坐标原点，则实数a的值为（ ）
A．2 B． C． D．
若，则“k > 3”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
函数的反函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
设曲线在点（2，）处的切线与x轴交点的横坐标为an，则数列的前n项和为（ ）
A． B． C． D．
已知，现有下列不等式：①；②；③；
④，其中正确的是（ ）
A．②④ B．①② C．③④ D．①③
已知点P是边长为1的正三角形内一点，该点到三角形三边的距离分别是a，b，c（），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
已知函数，记为的导函数，若在R上存在反函数，且b > 0，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
设函数，为坐标原点，为函数图象上横坐标为n（n∈N*）的点，向量，向量，设为向量与向量的夹角，满足的最大整数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分．各题答案必须填写在答题卡II上（只填结果，不要过程）
将函数的图象F按向量平移到，则的函数解析式为____________．
已知实数x、y满足，则目标函数的最小值为_____________．
已知抛物线的焦点F恰好是椭圆的右焦点，且两条曲线交点的连线过点F，则该椭圆的离心率为____________．
在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点.若函数的图象恰好经过k个格点，则称函数为k阶格点函数. 已知下列函数：①；②；③；④．则其中为一阶格点函数的序号为 ．（写出所有正确命题的序号）
已知函数在处取得极值，若，则的最大值是____________．
三、解答题：本题共6小题，共75分．各题解答必须答在答题卡II上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）．
(本小题满分13分)
已知向量，，定义．
求出的解析式．当时，它可以表示一个振动量，请指出其振幅，相位及初相．
的图像可由的图像怎样变化得到？
若且为△ABC的一个内角，求的取值范围．
(本小题满分13分)
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足．
求角B的大小；
设，且的最大值是5，求k的值．
(本小题满分13分)
已知数列{bn}前n项和．数列{an}满足，数列{cn}满足．
求数列{an}和数列{bn}的通项公式；
若对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．
(本小题满分12分)
已知．
当a = – 1时，求的单调区间；
对一切，恒成立，求实数a的取值范围；
证明：对一切，都有成立．
(本小题满分12分)
已知点P是直角坐标平面内的动点，点P到直线的距离为d1，到点F（– 1，0）的距离为d2，且．
求动点P所在曲线C的方程；
直线过点F且与曲线C交于不同两点A、B(点A或B不在x轴上)，分别过A、B点作直线的垂线，对应的垂足分别为，试判断点F与以线段为直径的圆的位置关系(指在圆内、圆上、圆外等情况)；
记，，(A、B、是(2)中的点)，问是否存在实数，使成立．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
(本小题满分12分)
已数列满足a1 = 1，a2 = 3，，．
证明：数列为等比数列；
求数列的通项公式；
，的前n项和为，求证．
西南大学附属中学高2012级第五次月考
数学试题参考答案（理）
2011年2月
一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．C 2．B 3．B 4．A 5．D 6．D 7．D 8．A 9．C 10．B
二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分．各题答案必须填写在答题卡II上（只填结果，不要过程）
11． 12．– 3 13． 14．②④ 15．
三、解答题：本题共6小题，共75分．
16．(1)
其振幅为，相位为，初相为
(2) 可由图象横坐标不变，纵坐标伸长到原来的倍，再把曲线上所有的点向左平移个单位，即可得的图象．
(3) ∴
∵ ∴
∴ 13分
17．(1) 由已知得
∴
∵ ∴
∵ ∴ 5分
(2)
令，则
对称轴为t = k > 0
①当时，
∴ （舍）
②当k .> 1时，
∴
综上， 13分
18．(1) 当时，
又适合上式
∴
由 6分
(2)
∵
当n > 1时，
当n = 1时，
∴ {cn}的最大项为
∴
∴
∴ 实数m的取值范围为 13分
19．(1) 时，，
由，得，∴ 的单调增区间为
同理可得减区间为 4分
(2) 即 对恒成立
也即 对恒成立
令，则
由
∴ 在（0，1）递减，（1，+）递增
∴
∴ 8分
(3) 即证对成立
由(1)知，的最小值为
令，则
由得0 < x < 1
∴在（0，1）递增，（1，+）递减
∴
∵
∴
结论得证 12分
20．(1) 设动点为
依据题意，有，化简得．
即为动点P所在曲线C的方程。 3分
(2) 点F在以MN为直径的圆的外部．
理由：由题意可知，当过点F的直线的斜率为0时，不合题意，故可设直线：，如图所示．联立方程组，可化为，则点、的坐标满足．
又、，可得点、．
因，，则=．
于是，为锐角，即点F在以MN为直径的圆的外部． 10分
(3) 依据 (2) 可算出，，
则 ，
．
所以，，即存在实数使得结论成立． 12分
21．(1) 令得
又
∴ 为等比数列 3分
(2)
又
∴ 7分
(3)
∴ 12分