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8.4
三元一次方程组的解法
同步练习
一．选择题（共8小题）
1．解三元一次方程组要使解法较为简便，首先应进行的变形为（ ）
A．①+②
B．①﹣②
C．①+③
D．②﹣③
2．某班元旦晚会需要购买甲、乙、丙三种装饰品，若购买甲3件，乙5件，丙1件，共需62元，若购甲4件，乙7件，丙1件共需77元．现在购买甲、乙、丙各一件，共需（ ）元．
A．31
B．32
C．33
D．34
3．关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y＝6的解，则k的值是（ ）
A．﹣
B．
C．
D．﹣
4．已知方程组，那么代数式8x﹣y﹣z的值是（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
5．有三种文具，每种价格分别是3元、7元和4元，现在有27元钱，三种文具都要买，恰好使钱用完的买法数有（ ）种．
A．1
B．2
C．3
D．4
6．设＝＝，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．甲乙丙三人做一项工作，三人每天的工作效率分别为a、b、c，若甲乙一天工作量和是丙2天的工作量，乙丙一天的工作量和是甲5天的工作量，下列结论正确的是（ ）
A．甲的工作效率最高
B．丙的工作效率最高
C．c＝3a
D．b：c＝3：2
8．一套数学题集共有100道题，甲、乙和丙三人分别作答，每道题至少有一人解对，且每人都解对了其中的60道．如果将其中只有1人解对的题称作难题，2人解对的题称作中档题，3人都解对的题称作容易题，那么下列判断一定正确的是（ ）
A．容易题和中档题共60道
B．难题比容易题多20道
C．难题比中档题多10道
D．中档题比容易题多15道
二．填空题（共4小题）
9．已知方程组，则x：y：z＝
．
10．当x＝﹣2时，代数式ax2+bx+c的值是5；当x＝﹣1时，代数式ax2+bx+c的值是0；当x＝1时，代数式ax2+bx+c的值是﹣4；则当x＝2时，代数式ax2+bx+c的值是
．
11．某文具店对文具进行组合销售，甲种组合：4支自动铅笔，8支签字笔；乙种组合：6支自动铅笔，16支签字笔，2个笔记本；丙种组合：4支自动铅笔，12支签字笔，2个笔记本．已知自动铅笔每支4元，签字笔每支3元，笔记本每个20元．上个周末销售这三种组合文具共1972元，其中自动铅笔的销售额为456元，则笔记本的销售额为
元．
12．课外活动中，80名学生自由组合分成12组，各组人数分别有5人、7人和8人三种情况，设5人一组的有x组，7人一组的有y组，8人一组的有z组，有下列结论：①；②x＝z+2；③y＝z+10；④5人一组的最多有5组．其中正确的有
．（把正确结论的序号都填上）
三．解答题（共4小题）
13．解方程组：
（1）；
（2）．
14．购买铅笔7支，作业本3本，圆珠笔1支共需3元；购买铅笔10支，作业本4本，圆珠笔1支共需4元．问购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需多少元？
15．某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表：
农作物品种
每公顷需劳动力
每公顷需投入资金
水稻
4人
1万元
棉花
8人
1万元
蔬菜
5人
2万元
已知该农场计划在设备投入67万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工有工作，而且投入的资金正好够用？
16．阅读理解：已知实数x，y满足3x﹣y＝5…①，2x+3y＝7…②，求x﹣4y和7x+5y的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题：
（1）已知二元一次方程组?，则x﹣y＝
，x+y＝
；
（2）买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，求购买5支铅笔、5块橡皮5本日记本共需多少元？
（3）对于实数x，y，定义新运算：x
y＝ax+by+c，其中a，b，c是常数，等式右边是实数运算．已知3
5＝15，4
7＝28，求1
1的值．
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8.4
三元一次方程组的解法
同步练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．解三元一次方程组要使解法较为简便，首先应进行的变形为（ ）
A．①+②
B．①﹣②
C．①+③
D．②﹣③
解：解三元一次方程组要使解法较为简便，首先应进行的变形为①+②．
故选：A．
2．某班元旦晚会需要购买甲、乙、丙三种装饰品，若购买甲3件，乙5件，丙1件，共需62元，若购甲4件，乙7件，丙1件共需77元．现在购买甲、乙、丙各一件，共需（ ）元．
A．31
B．32
C．33
D．34
解：设甲种装饰品x元/件，乙种装饰品y元/件，丙种装饰品z元/件，
依题意，得：，
3×①﹣2×②，得：x+y+z＝32．
故选：B．
3．关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y＝6的解，则k的值是（ ）
A．﹣
B．
C．
D．﹣
解：解方程组得：，
∵关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y＝6的解，
∴代入得：14k﹣6k＝6，
解得：k＝，
故选：B．
4．已知方程组，那么代数式8x﹣y﹣z的值是（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
解：∵3x﹣y﹣2z＝1，
∴﹣y﹣z＝1+z﹣3x，
8x﹣y﹣z＝1+z﹣3x+8x＝5x+z+1，
，
①+②得：
5x+z＝6，
即8x﹣y﹣z＝6+1＝7，
故选：B．
5．有三种文具，每种价格分别是3元、7元和4元，现在有27元钱，三种文具都要买，恰好使钱用完的买法数有（ ）种．
A．1
B．2
C．3
D．4
解：设每种文具的数量分别为x个，y个，z个，
根据题意得：3x+7y+4z＝27（1≤x＜9，1≤y＜3，1≤z＜6），
当x＝3，y＝2时，z＝1，符合题意；
当x＝4，y＝1时，z＝2，符合题意，
则三种文具都要买，恰好使钱用完的买法数有2种．
故选：B．
6．设＝＝，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
解：设＝＝＝k，得到x＝2k，y＝3k，z＝4k，
则原式＝＝．
故选：C．
7．甲乙丙三人做一项工作，三人每天的工作效率分别为a、b、c，若甲乙一天工作量和是丙2天的工作量，乙丙一天的工作量和是甲5天的工作量，下列结论正确的是（ ）
A．甲的工作效率最高
B．丙的工作效率最高
C．c＝3a
D．b：c＝3：2
解：∵甲乙一天工作量和是丙2天的工作量，乙丙一天的工作量和是甲5天的工作量，
∴，
解得：，
∴b：c＝3：2，
故选：D．
8．一套数学题集共有100道题，甲、乙和丙三人分别作答，每道题至少有一人解对，且每人都解对了其中的60道．如果将其中只有1人解对的题称作难题，2人解对的题称作中档题，3人都解对的题称作容易题，那么下列判断一定正确的是（ ）
A．容易题和中档题共60道
B．难题比容易题多20道
C．难题比中档题多10道
D．中档题比容易题多15道
解：设容易题有a题，中档题有b题，难题有c题，
依题意，得：，
①×2﹣②，得：c﹣a＝20，
∴难题比容易题多20题．
故选：B．
二．填空题（共4小题）
9．已知方程组，则x：y：z＝ 2：3：1 ．
解：，
①+②，得2x﹣4z＝0，
∴x＝2z．
①﹣②，得2y﹣6z＝0，
∴y＝3z．
∴x：y：z＝2z：3z：z＝2：3：1．
故答案为：2：3：1．
10．当x＝﹣2时，代数式ax2+bx+c的值是5；当x＝﹣1时，代数式ax2+bx+c的值是0；当x＝1时，代数式ax2+bx+c的值是﹣4；则当x＝2时，代数式ax2+bx+c的值是 ﹣3 ．
解：根据题意，得
，
解得，
∴当x＝2时，代数式ax2+bx+c的值为：
1×22+（﹣2）×2+（﹣3）＝4﹣4﹣3＝﹣3．
故答案为：﹣3．
11．某文具店对文具进行组合销售，甲种组合：4支自动铅笔，8支签字笔；乙种组合：6支自动铅笔，16支签字笔，2个笔记本；丙种组合：4支自动铅笔，12支签字笔，2个笔记本．已知自动铅笔每支4元，签字笔每支3元，笔记本每个20元．上个周末销售这三种组合文具共1972元，其中自动铅笔的销售额为456元，则笔记本的销售额为 320 元．
解：设销售甲种组合x套，乙种组合y套，丙种组合z套，依题意得：
．
整理，得，
①×2﹣②×5得，104y+104z＝1664，
∴y+z＝16．
笔记本的销量为16本，16×20＝320（元）．
故答案为320．
12．课外活动中，80名学生自由组合分成12组，各组人数分别有5人、7人和8人三种情况，设5人一组的有x组，7人一组的有y组，8人一组的有z组，有下列结论：①；②x＝z+2；③y＝z+10；④5人一组的最多有5组．其中正确的有 ①②③④ ．（把正确结论的序号都填上）
解：依题意，得：，
∴结论①正确；
∵7（x+y+z）﹣（5x+7y+8z）＝7×12﹣80，即2x﹣z＝4，
∴x＝z+2，
∴结论②正确；
∵（5x+7y+8z）﹣5（x+y+z）＝80﹣5×12，即2y+3z＝20，
∴y＝﹣z+10，
∴结论③正确；
∵x＝z+2，y＝﹣z+10，且x，y，z均为正整数，
∴z为2的倍数，
∴当z＝2时，x＝3，y＝7；当z＝4时，x＝4，y＝4；当z＝6时，x＝5，y＝1，
∴5人一组的最多有5组，
∴结论④正确．
故答案为：①②③④．
三．解答题（共4小题）
13．解方程组：
（1）；
（2）．
解：（1），
由①得：y＝4﹣2x③，
把③代入②得：2（4﹣2x）+1＝5x，
解得：x＝1，
把x＝1代入③得：y＝2，
∴方程组的解为；
（2），
②+③得：2x﹣y＝2④，
①+④得：4x＝12，
解得x＝3，
把x＝3代入④得：y＝4，
把x＝3，y＝4代入②得：z＝5，
∴方程组的解为．
14．购买铅笔7支，作业本3本，圆珠笔1支共需3元；购买铅笔10支，作业本4本，圆珠笔1支共需4元．问购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需多少元？
解：设铅笔的单价为x元，作业本的单价为y元，圆珠笔的单价为z元，
依题意得：，
3×①﹣②得：11x+5y+2z＝5．
答：购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需5元．
15．某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表：
农作物品种
每公顷需劳动力
每公顷需投入资金
水稻
4人
1万元
棉花
8人
1万元
蔬菜
5人
2万元
已知该农场计划在设备投入67万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工有工作，而且投入的资金正好够用？
解：设种植水稻x公顷，棉花y公顷，蔬菜为z公顷，由题意得：
，
解得：，
答：种植水稻15公顷，棉花20公顷，蔬菜为16公顷．
16．阅读理解：已知实数x，y满足3x﹣y＝5…①，2x+3y＝7…②，求x﹣4y和7x+5y的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题：
（1）已知二元一次方程组?，则x﹣y＝ ﹣1 ，x+y＝ 5 ；
（2）买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，求购买5支铅笔、5块橡皮5本日记本共需多少元？
（3）对于实数x，y，定义新运算：x
y＝ax+by+c，其中a，b，c是常数，等式右边是实数运算．已知3
5＝15，4
7＝28，求1
1的值．
解：（1），
由①﹣②得：x﹣y＝﹣1，
①+②得：3x+3y＝15，
∴x+y＝5，
故答案为：﹣1，5；
（2）设铅笔单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，
由题意得：，
由①×2﹣②得：m+n+p＝6，
∴5m+5n+5p＝5×6＝30，
答：购买5支铅笔、5块橡皮5本日记本共需30元；
（3）由题意得：，
由①×3﹣②×2可得：a+b+c＝﹣11，
∴1
1＝a+b+c＝﹣11．
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