江苏省扬州市宝应县2012届高三下学期期初测试（数学）

2011-2012高三年级第二学期期初数学测试试题说明：第Ⅰ卷满分160分。理科考生需加试附加题，加试时间30分钟。
填空题（每小题5分，计70分.答案直接填在下方答题栏相应的横线上）
1．复数的共轭复数是 ▲ .
2．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则= ▲ .
3．已知命题，，则为 ▲ .
年级 高一 高二 高三
女生 385
男生 375 360
4．某校共有学生2000名，各年级男、女学生人数如右表示，已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19，现用分层抽样的方法（按年级分层）在全校学生中抽取100人，则应在高三年级中抽取的学生人数为 ▲ .
5．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是4的倍数的概率
是 ▲ ,
6．若是等差数列{}的前n项和，且，则的值为 ▲ .
7．函数 (为自然对数的底数)在区间上的最大值是 ▲ .
8．如图是一个算法的流程图，若输出的结果是63，则判断框中整数的值是 ▲
9．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，
有下列四个命题:
①若
②
③若则∥且∥
④若
其中正确的命题是 ▲ ．（写出所有真命题的序号）．
10．设, , 则tan的值等于 ▲ ．
11. 已知双曲线的渐近线过点，则该双曲线的离心率
为 ▲ .
12. △ABC的三个内角A, B, C所对的边分别为，且，，则 ▲ .
13．如图，是平面上的三点，向量点C是
线段AB的中点，设为线段的垂直平分线上
任意一点，向量，
则= ▲ .
14．设函数的定义域为，若存在常数使对一切实数均成立，则称函数为G函数．现给出下列函数：
① ， ② ， ③，
④是定义在的奇函数，且对一切，恒有．
则其中是函数的序号为 ▲
二、解答题（共6道题，计90分）
15．（本题满分14分）
设函数．
（1）求的最小正周期．
（2）若函数与的图像关于直线对称，求当时 的最大值．
16、（本题满分14分）
如图,在直三棱柱中,，分别是的中点，且.
(1)求证：；(2)求证：平面平面.
17、（本题满分15分）
某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，建一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为万元。
（1）试写出关于的函数关系式；
（2）当=640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？
18、（本题满分15分）
如图，点为圆形纸片内不同于圆心的定点，动点在圆周上，将纸片折起，使点与点重合，设折痕交线段于点.现将圆形纸片放在平面直角坐标系中，设圆：,记点的轨迹为曲线.
⑴证明曲线是椭圆，并写出当时该椭圆的标准方程；
⑵设直线过点和椭圆的上顶点，点关于直线的对称点为点，若椭圆的离心率，求点的纵坐标的取值范围.
19、（本题满分16分）
已知函数，设
（1）求的单调区间；
（2）若以）图像上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值；
（3）若对所有的都有成立，求实数的取值范围。
20、（本题满分16分）
已知数列中,, 为实常数）,前项和恒为正值，
且当时,.
⑴ 求证:数列是等比数列；
⑵ 设与的等差中项为,比较与的大小；
⑶ 设是给定的正整数，.现按如下方法构造项数为有穷数列：
当时，；
当时，.
求数列的前项和.
提醒：1、请各位认真核做答案，定好细则，从严评分，以正确引导学生复习。
2、请各校认真制定好二轮复习规划，宜在4月10日前完成二轮复习。
3、二轮复习的课件已发至各备课组信箱，请注意查收。
2011-2012高三年级第二学期期初理科附加题
说明：附加题共4道题，满分40分，考试时间30分钟
21、（本题满分10分，选修4-2：矩阵与变换）
已知二阶矩阵M属于特征值3的一个特征向量为，并且矩阵M对应的变换将点变成点，求出矩阵M.
22、（本题满分10分，选修4-4：极坐标与参数方程）
已知圆C的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（t是参数）。
若直线与圆C相切，求实数m的值.
23. （本题满分10分）
如图，已知正三棱柱的所有棱长都为2，为棱的中点，
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值大小.
24、（本题满分10分）
学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球；乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖.（每次游戏结束后将球放回原箱）
（1）求在1次游戏中，
①摸出3个白球的概率；
②获奖的概率；
（2）求在两次游戏中获奖次数的分布列及数学期望.
201202高三数学试题答案
一、填空题（每小题5分，计70分）
1． 2． 3. ， 4、25 5、
6、 44 7、 8、5 9、②④ 10.
11、 12、 13、6 14、①④.
二、解答题（共6道题，计90分）
15. （本题满分14分）
解：（1）=
==. ………………5分
故的最小正周期为 ………………6分
(2)解法一： 在的图象上任取一点，它关于的对称点 …………………………8分
由题设条件，点在的图象上，从而
==…10分
当时，， ………………………12分
因此在区间上的最大值为………………14分
解法二：因区间关于x = 1的对称区间为，且与的图象关于x = 1对称，故在上的最大值就是在上的最大………10分
由（1）知＝,当时，………12分
因此在上的最大值为 . ……………14分
16、（本题满分14分）
解：(1)连结AG, 交BE于点M, 连结FM ……………2分
∵E, G分别为棱的中点，
∴四边形ABGE为平行四边形，
∴点M为BE的中点， ……………4分
而点F为AC的中点，∴FM∥CG
∵面BEF, 面BEF, ∴；………7分
(2因为三棱柱是直三棱柱，,
∴A1C1⊥面BC1，而CG面BC1
∴A1C1⊥CG, ….…………….………10分
又∵，∴CG⊥面A1C1G
由（1）知，FM∥CG
∴FM⊥面A1C1G, …………….…………………12分
而面BEF, ∴平面平面 . .…………………14分
17、（本题满分15分）
解：（1）设需要新建个桥墩， 即：
所以=
……………………………7分
（2） 由（1）知，
令，得，所以=64………………………………………9分
当0<<64时<0， 在区间上为减函数
当时，>0. 在区间上为增函数，……………12分
所以在=64处取得最小值，此时，……………14分
答：需新建9个桥墩才能使最小. ………………………………………15分
18、（本题满分15分）
解：（1）连结NA, 由题意知，直线m是线段MA的中垂线，
∴NA=NM, 而圆C的半径为 ……………………2分
∴NC+NA=NC+NM=CM=(常数)
∴动点N到两定点C, A的距离之和为常数，
所以，点N的轨迹是以定点C, A为焦点，长轴长为的椭圆
……………………4分
当时，由于，所以所求椭圆E的方程为
……………………6分
（2）椭圆E的方程为，其上顶点B
所以，直线的方程为， ……………………8分
记点关于直线的对称点
则有， 解得：……………………11分；
由，得， ……………………12分
∴，令，因为 则，
∴，∴， ……………………14分
所以，点的纵坐标的取值范围是 ……………………15分
19、（本题满分16分）
解：（1）.………2分
因为由，所以在上单调递增；由，所以在上单调递减. ……………………………5分
（2）恒成立， ………7分
即当时取得最大值。所以，，所以.……10分
（3）因为，所以，令，则
………………………………………………12分
因为当时，，所以，
所以，所以，
所以 .………………………16分
20、（本题满分16分）
解:⑴当时, ,
化简得, .………………………2分
又由,得, 解得,
∴，也满足, .………………………4分
而恒为正值, ∴数列是等比数列. .………………………5分
⑵的首项为1，公比为，.当时,,
∴.
当时,,
此时 . .……………………7分
当时,
.
∵恒为正值 ∴ 且,
若,则, 若,则. .……………………10分
综上可得,当时, ；
当时，若，则， 若,则 .……………………11分
⑶∵ ∴ ,当时, .
若,则由题设得
..……………………13分若,则
.
综上得. .………………………16分
201202高三数学理科附加题答案
21、（本题满分10分）
解：设，有条件有，
，且， --------------------5分
，----------------7分； 解得，． --------------10分
22．（本题满分10分）
解：由，得，
， 即圆的方程为， ------------------------------4分
又由消，得， -----------------------------------7分
直线与圆相切， ，． -------------------------------10分
23. （本题满分10分）
（1）取中点，连，∵为正三角形，∴，
∵在正三棱柱中，平面平面,∴平面………2分
取中点为,以为原点，,,的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，
……………4分
∴,
∵,，
∴，,
∴平面. ……………………………6分
（2）设平面的法向量为,.
，∴，∴，解得，
令，得为平面的一个法向量， ………………………8分
由（1）知平面，∴为平面的法向量，
，
∴二面角的余弦值大小为. ……………………10分
24、（本题满分10分）
解：（I） （i）设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件（i=0,1,2,3）
则 ………………2分
（ii）设“在1次游戏中获奖”为事件B，则, ………………3分
又，
且互斥，所以 ………………5分
(Ⅱ) 由题意知，X 的所有可能取值为0，1，2，
，
…………8分
所以，X 的分布列为：
X 0 1 2
P
…………9分
获奖次数的数学期望= …………10分