4.1.2圆的一般方程（新人教A版必修2）

(共34张PPT)
练习
1。点P(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1的内部，则a的取值
范围是 .
2.点P( )与圆x2+y2=1的位置关系是 ( )
A 在圆内 Ｂ在圆外 C 在圆上 D与t有关
3.已知直线l1:mx-y=0，l2:x+my-m-2=0
求证：对于m∈R,l1,l2的交点P在一个定圆上
圆的一般方程
O
C
M(x,y)
知识回顾：
(1) 圆的 标准方程:
(x-a)2+(y-b)2=r2
特征：
直接看出圆心与半径
指出下面圆的圆心和半径：
(x-1)2+(y+2)2=2
(x+2)2+(y-2)2=5
(x+a)2+(y-2)2=a2 (a≠0)
把圆的 标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2
展开，得
-
2
2
2
2
2
2
0
2
=
-
+
+
-
+
r
b
a
by
ax
y
x
由于a,b,r均为常数
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
探究：是不是任何一个形如
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 方程表示
的曲线是圆呢？
(1) x2+y2-2x+4y+1=0
(2) x2+y2-2x+4y+5=0
下列方程各表示什么图形：
(3) x2+y2-2x+4y+6=0
配方可得：
（3）当D2+E2-4F＜0时，方程（1）无实数解，所以
不表示任何图形。
（1）当D2+E2-4F>0时，表示以（ ）
为圆心，以( ) 为半径的圆
（2）当D2+E2-4F=0时，方程只有一组解X=-D/2
y=-E/2，表示一个点（ ）
所以形如x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0）可表示圆的方程
把方程：x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
圆的一般方程：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
圆的一般方程与标准方程的关系：
（D2+E2-4F>0）
（1）a=-D/2，b=-E/2，r=
没有xy这样的二次项
（2）标准方程易于看出圆心与半径
一般方程突出形式上的特点：
x2与y2系数相同并且不等于0；
圆的标准方程:
(x-a)2+(y-b)2=r2
练习： 判断下列方程能否表示圆的方程,
若能写出圆心与半径
（1）2x2+2y2-12x+4y=0
（2）x2+2y2-6x+4y-1=0
（3）x2+y2-12x+6y+50=0
（4）x2+y2-3xy+5x+2y=0
是
圆心（3，-1）半径
不是
不是
不是
1、A ＝ C ≠ 0
圆的一般方程：
二元二次方程：A x2 +Bxy＋Cy 2＋Dx＋Ey＋F＝0
的关系:
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
（D2+E2-4F>0）
2、B=0
3、 D2＋E2－4AF＞0
二元二次方程
表示圆的一般方程
9. [简单的思考与应用]
(1)已知圆 的圆心坐标为
(-2,3),半径为4,则D,E,F分别等于
是圆的方程的充要条件是
(3)圆 与 轴相切,则这个圆截
轴所得的弦长是
(4)点 是圆 的一条弦的中点,
则这条弦所在的直线方程是
例2：求过三点A（0，0），M1（1，1），M2（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。
解：设所求的圆的方程为：
∵
即圆心坐标为（4，-3）,r=5
A（0，0）， M1 （1，1）， M2 （4，2)在圆上
(1)若已知条件涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.
圆的一般方程与圆的标准方程在应用上的比较
练习：
(2).若已知三点求圆的方程,我们常采用圆的一般方程用待定系数法求解.
圆的一般方程与圆的标准方程在运用上的比较
练习：
把点A，B，C的坐标代入得方程组
所求圆的方程为：
(1)若已知条件涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.
(2).若已知三点求圆的方程,我们常采用
圆的一般方程用待定系数法求解.
用待定系数法求圆的方程的步骤：
１．根据题意设出所求圆的方程为标准式或一般式。
２．根据条件列出关于a，b，r 或 D，E，F 的方程。
３．解方程组，求出a，b，r 或 D，E，F 的值，代入方程，就得到要求的方程．
例5、如下图，已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
例题分析
x
o
y
B
M
A
例3：已知一曲线是与两个定点O（0，0）， A（3，0）距离的比为 1/2 的点的轨迹，求这个曲线的方程，并画出曲线.
解：设M（x,y）是曲线上的任意一点，M点在曲线上的条件 是
由两点的距离公式，上式用坐标表示为
两边平方并化简，
得曲线方程 x2+y2+2x-3=0
将方程配方，得 (x+1)2+y2=4
x
y
0
M
A
C
例2：已知一曲线是与两定点O(0,0)、P(3,0)距离的比为1/2的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线。
例3、当a取不同的非零实数时，由方程
可以得到不同的圆：
（1）这些圆的圆心是否都在某一条直线上？
（2）这些圆是否有公切线？（留后）
圆的方程
（x-a)2+(y-b)2=r2
X2+y2+Dx+Ey+F=0
知D、E、F
知a、b、r
D2+E2 －4F>0
配方
展开
例题巩固：
例１．方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆时，m的取值范围是（　　　　）
10. [课堂小结]
①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.
(1)本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为
(用配方法求解)
(3)给出圆的一般方程,如何求圆心和半径
(2)[圆的一般方程与圆的标准方程的联系]
一般方程
标准方程(圆心,半径)
(4)要学会根据题目条件,恰当选择圆方程形式:
②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解.
本节课用的数学方法和数学思想方法:
①数学方法:
②数学思想方法:
(求圆心和半径).
(原则是不重复,不遗漏)
配方法
(ⅰ) 问题转化和分类讨论的思想
(待定系数法)
(ⅱ)方程的思想
(ⅲ)数形结合的思想
1.若实数x,y满足等式(x-2)2+y2=3，那么 的最大值
2.已知P(2,0),Q(8,0)，点M到点P的距离是它到点Q的距离
的1/5，求M的轨迹方程，并求轨迹上的点到直线l:8x-y-1=0
的最小距离
3.已知P(x,y)为圆x2+y2-6x-4y+12=0上的点
(1)求 的最小值
(2)求x2+y2的最大值与最小值
4.已知圆C:x2+y2-2x+4y-4=0,问：是否存在斜率为1的直线
使l被圆C截得得弦AB为直径的圆过原点，若存在，写出
直线方程
解：设所求圆的方程是 （1）
3. 已知圆C的圆心在直线l: x-2y-1=0，并且过原点和A(2,1)，求圆C的标准方程．
P124 3.
由题意，得
解此方程组，得：
所以，所求圆C 的标准方程是
解法二：（提示）先求出线段OA的垂直平分线的方程
与方程x-2y-1=0联立，求出圆心C的坐标为
从而得到圆的标准方程是
4.已知圆C的圆心在x轴上，并且过点A(-1, 1)和B(1, 3)，求圆C的方程．
解：因为A(-1, 1)和B(1, 3)，所以线段AB的中点D的坐标为
直线AB的斜率:
P124 4.
因此线段AB的垂直平分线 的方程是
即
与x轴的方程y=0联立，解得
所以圆心C的坐标是
所以，圆心为C的圆的标准方程是
点 是圆 的一条弦的中点,
则这条弦所在的直线方程是
3.3 练习
2、求过点A（－1,2），且与原点的距离等于
的直线方程 .
注意：当直线的斜率不明确时，注意分斜率
不存在和存在两种情况分析．　
解：1）当l 斜率不存在时： l ⊥x轴，方程为x=-1,
到原点距离d =1≠ .
2）当l斜率存在时，设l 方程为：y-2=k(x+1),
即：kx-y+k+2=0, 原点到 l 的距离:
∴ l的方程为： 7x+y+5=0 或 x+y-1=0