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人教版
七年级数学下册
8.3
实际问题与二元一次方程组（第3课时）
1.能够结合图表找出实际问题中的等量关系，列出方程组．
2.感受间接设未知数解决实际问题的方法，培养分析问题，
解决问题的能力，体会数形结合的思想．
学习目标
用方程组解决实际问题有哪些步骤？
（3）设未知数，一般求什么就设什么
（2）找两个等量关系
（4）列方程组
（5）解方程组
（6）检验
回顾旧知
（1）审题
（7）做答
一批蔬菜要运往批发市场，菜农准备用汽车公司的甲、乙两种货车．已知过去两次租用这两种货车的记录如下表．
?
甲种货车（辆）
乙种货车（辆）
总量（吨）
第一次
4
5
28.5
第二次
3
6
27
这批蔬菜需租用5辆甲种货车、2辆乙种货车刚好一次运完．如果每吨付20元运费，问菜农应付运费多少元？
解：设甲种货车每辆可运x吨，乙种货车每辆可运y吨
。根据题意，得
解得
所以
（5×4＋2×2.5）×
20
＝
500
答：菜农应付运费500元．
复习巩固
探究3 如图，长青化工厂与A，B两地有公路、铁路相连．这家工厂从A地购买一批每吨1
000元的原料运回工厂，制成每吨8
000元的产品运到B地.
公路运价为1.5元/(t·km)，铁路运价为1.2元/(t·km)，这两次运输共支出公路运费15
000元，铁路运费97
200元．这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？
新课探索
问题1
公路运价为1.
5元/(t·km)，铁路运价为1.2元/(t·km)是什么意思？
如：把2吨货物从A地运到100千米外的B地，
经公路运输需要支付：
公路运价：经公路运输1吨货物行驶1千米需1.5元
铁路运价：经铁路运输1吨货物行驶1千米需1.2元
1.5×2×100=300元，
1.2×2×100=240元
运输费
=
运价
×
质量
×
路程
经铁路运输需要支付：
思考
问题2
两次运输共支出公路运费15000元指的是什么？
原料的公路运费+产品的公路运费=15000
问题3
两次运输共支出铁路运费97200元指的又是什么？
原料的铁路运费+产品的铁路运费=97200
思考
问题4
这道题求的是什么？
这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？
问题5
要解决这个问题我们必须先知道什么？
销售款
原料费
运输费
销售款=产品单价×产品数量
原料费=原料单价×原料数量
运输费=铁路运费+公路运费
思考
设产品为x吨，原料为y吨.
1.2·y
·120
1.5·y·10
1.5·x
·20
1.2·x
·110
运输费
=
运价
×
质量
×
路程
图例分析
产品x吨
原料y吨
合计
公路运费(元)
铁路运费(元)
价值(元)
1.5×20x
1.5×10y
15000
1.2×110x
1.2×120y
97200
8000x
1000y
设产品为
x
吨，原料为
y
吨。
表格整理
解：设产品为x吨，原料为y吨，由题意得
解得:
销售款为：
8000×300=2400000（元）
原料费为：
1000×400=400000（元）
运输费为：
15000+97200=112200（元）
2400000-（400000+112200）=1887800（元）
答：销售款比原料费与运输费的和多1887800元．
解题过程
当直接设未知数无法列出方程时，考虑间接设未知数．
（1）在什么情况下间接设未知数？
（2）如何解决信息量较大的实际问题？
可以借助表格或者图例解决问题
归纳总结
（3）解决实际问题的基本过程
实际问题
设未知数、列方程（组）
数学问题
二元一次方程组
解方程
（组）
数学问题的解
二元一次方程组的解
检
验
实际问题的答案
建模
归纳总结
1.为引导公民节约用水，合理利用资源，各地采用了价格调控等手段。某地规定如下用水收费标准：每户每月用水不超过10吨，每吨按a元收费；如果超过10吨，超过的部分每吨按b元收费，小颖家7、8月份的用水记录如下：
根据以上信息，你能求出a、b的值吗？
月
份
用水量（吨）
水费（元）
7
12
15
8
16
21
解：根据题意，得
10a＋2b
=
15
10a＋6b
=
21
解得
a
=
1.2
b
=
1.5
答：a
=
1.2
，
b
=
1.5
跟踪训练
2.某果品公司通往甲、乙两地都要经过水路和陆路，这家公司从甲地购进一批水果运回公司加工成果汁再销往乙地，已知水路、陆路的运价及里程数如下表，若这两次运输支出水路运费10000元，陆路运费8000元，问该公司运进水果和运出果汁各多少吨？
?
水路
陆路
从甲地到公司（千米）
20
30
从公司到乙地（千米）
10
40
运价：元/(吨·千米)
2
1
分析：设运进水果x吨，运出果汁y吨
解得
?
水路运费
陆路运费
从甲地到公司
从公司到乙地
2
x·20
30x
2
y·10
40y
解：设该公司运进水果x吨，运出果汁y
吨，则
2
x·20＋2
y·10
=
10000
30
x＋40
y
=
8000
解得
x
=
240
y
=
20
答：该公司运进水果240吨，运出果汁20吨.
跟踪训练
3.
用1块A型钢板可制成2块C型钢板、1块D型钢板；用1块B型钢板可制成1块C型钢板、2块D型钢板。现需15块C型钢板、18块D型钢板，可恰好用A型钢板、B型钢板各多少块？
?
A型钢板（x块）
B型钢板（y块）
总量
C型钢板
D型钢板
列表分析：设恰好用A型钢板x块、B型钢板y块，
解：设恰好用A型钢板x块、B型钢板y块，则
2x
+
y
=
15
x
+
2y
=
18
解得
x
=
4
y
=
7
答：恰好用A型钢板4块、B型钢板7块．
2x
x
y
2y
15
18
跟踪训练
1.
掌握间接设未知数解决问题的方法
2.
在解决数量关系比较复杂的问题时，可借助
图例或表格对相关信息进行分类整理
3.
掌握解决实际问题的建模思想
课堂小结
教材102页：
5题
（必做）
8题
（选做）
作业
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8.3
实际问题与二元一次方程组（第3课时）
同步练习
一、选择题
1．（2020秋?兴庆区校级期末）某校七（2）班42名同学为“希望工程”捐款，共捐款320元，捐款情况如下表：
表格中捐款6元和8元的人数不小心被墨水污染已看不清楚．若设捐款6元的有名同学，捐款8元的有名同学，根据题意，可得方程组
A．
B．
C．
D．
2．（2020春?海珠区期末）如图所示的方阵图中，处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的3个数之和都相等，根据方阵图中提供的信息，得出与的值是
7
4
A．
B．
C．
D．
3．如图，在方格中做填字游戏，要求每行，每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，则表格中，的值是
2
1
A．
B．
C．
D．
4．某一天，蔬菜经营户王大叔花90元从菜批发市场批发了黄瓜和茄子共40千克到菜市场按零售价卖，黄瓜和茄子当天的批发价和零售价如表所示
品名
黄瓜
茄子
批发价（元千克）
2.4
2
零售价（元千克）
3.6
2.8
王大叔卖完这些黄瓜和茄子可获利润（利润销售收入成本的）
A．32元
B．36元
C．40元
D．42元
5．某服装店用6000元购进、两种新款服装，按标价售出后获得毛利润3800元（毛利润售价进价），这两种服装的进价，标价如表所示：则这两种服装共购进
类型价格
型
型
进价（元件）
60
100
标价（元件）
100
160
A．60件
B．70件
C．80件
D．100件
二、填空题
6．（2020春?丰台区校级月考）某旅行团到森林游乐区参观，如表为两种参观方式与所需的缆车费用，已知旅行团的每个人皆从这两种方式中选择一种，且去程有15人搭乘缆车，回程有10人搭乘缆车，若他们缆车费用的总花费为4100元，则此旅行团共有
人．
参观方式
缆车费用
去程及回程均搭乘缆车
300元
单程搭乘缆车，单程步行
200元
7．（2020春?梁平区期末）小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程表上的数如下：
时刻
里程表上的数
是一个两位数，数字之和为6
十位与个位数字与时所看到的正好颠倒了
比时看到的两位数中间多了个0
则看到的两位数是
．
8．（2020?朝阳区三模）某公园的门票价格如表：
购票人数
100以上
门票价格
13元人
11元人
9元人
现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，这两个部门人数分别为和．若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则共需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数
； ．
9．（2020?朝阳区一模）某兴趣小组外出登山，乘坐缆车的费用如下表所示：
乘坐缆车方式
乘坐缆车费用（单位：元人）
往返
180
单程
100
已知小组成员每个人都至少乘坐一次缆车，去程时有8人乘坐缆车，返程时有17人乘坐缆车，他们乘坐缆车的总费用是2400元，该小组共有
人．
三、解答题
10．（2021春?拱墅区校级月考）用如图一中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图二的竖式和横式两种无盖纸盒，现在仓库里有1000张正方形纸板和2000张长方形纸板．
（1）根据题意完成下表格．
只竖式纸盒中
只横式纸盒中
合计
正方形纸板的张数
1000
长方形纸板的张数
2000
（2）问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？
11．如图，某工厂与、两地有公路、铁路相连，这家工厂从地购买一批原料运回工厂，制成新产品再运到地，公路运价为1.5元（吨千米），铁路运价为1元（吨千米）．
（1）若这两次运输共支出公路运费13200元，铁路运费49200元．问从地购买多少吨原料，用购买的这些原料能制成多少吨新产品？
（2）在（1）的条件下，原料费为每吨1000元，新产品售价每吨2000元，则该工厂这批产品全部售出后获得利润多少元？（利润销售额原料费运输费）
12．某中学为了改善办学条件，增加操场面积，租用了农民土地10亩，现在平整操场需要运走36800吨泥土．现有型车和型车可以租用已知：用3辆型车和2辆型车一次可运泥土60吨：用2辆型车和3辆型车一次可运泥土65吨根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆型车和1辆型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
（2）已知型车每天能运20次，型车每天能运16次．学校同时租用型车和型车，刚好20天运完且每辆车每天运足次数，每次都按（1）中运量运满，请找出该校的租车方案；
（3）若型车每辆需租金100元次，型车每辆需租金130元次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
8.3
实际问题与二元一次方程组（第3课时）
同步练习
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（2020秋?兴庆区校级期末）某校七（2）班42名同学为“希望工程”捐款，共捐款320元，捐款情况如下表：
表格中捐款6元和8元的人数不小心被墨水污染已看不清楚．若设捐款6元的有名同学，捐款8元的有名同学，根据题意，可得方程组
A．
B．
C．
D．
【解析】解：设捐款6元的有名同学，捐款8元的有名同学，
由题意得，，即．
故选：．
2．（2020春?海珠区期末）如图所示的方阵图中，处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的3个数之和都相等，根据方阵图中提供的信息，得出与的值是
7
4
A．
B．
C．
D．
【解析】解：依题意，得：，
解得：．
故选：．
3．如图，在方格中做填字游戏，要求每行，每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，则表格中，的值是
2
1
A．
B．
C．
D．
【解析】解：依题意，得：，
解得：．
故选：．
4．某一天，蔬菜经营户王大叔花90元从菜批发市场批发了黄瓜和茄子共40千克到菜市场按零售价卖，黄瓜和茄子当天的批发价和零售价如表所示
品名
黄瓜
茄子
批发价（元千克）
2.4
2
零售价（元千克）
3.6
2.8
王大叔卖完这些黄瓜和茄子可获利润（利润销售收入成本的）
A．32元
B．36元
C．40元
D．42元
【解析】解：设王大叔购进千克黄瓜，千克茄子，
依题意，得：，
解得：，
．
故选：．
5．某服装店用6000元购进、两种新款服装，按标价售出后获得毛利润3800元（毛利润售价进价），这两种服装的进价，标价如表所示：则这两种服装共购进
类型价格
型
型
进价（元件）
60
100
标价（元件）
100
160
A．60件
B．70件
C．80件
D．100件
【解析】解：设种服装购进件，种服装购进件，
由题意，得，
解得：．
即：种服装购进50件，种服装购进30件．
则（件．
故选：．
二、填空题
6．（2020春?丰台区校级月考）某旅行团到森林游乐区参观，如表为两种参观方式与所需的缆车费用，已知旅行团的每个人皆从这两种方式中选择一种，且去程有15人搭乘缆车，回程有10人搭乘缆车，若他们缆车费用的总花费为4100元，则此旅行团共有 16 人．
参观方式
缆车费用
去程及回程均搭乘缆车
300元
单程搭乘缆车，单程步行
200元
【解析】解：设此旅行团有人单程搭乘缆车，单程步行，其中去程及回程均搭乘缆车的有人，根据题意得，
，
解得，，
则总人数为（人，
故答案为：16．
7．（2020春?梁平区期末）小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程表上的数如下：
时刻
里程表上的数
是一个两位数，数字之和为6
十位与个位数字与时所看到的正好颠倒了
比时看到的两位数中间多了个0
则看到的两位数是 15 ．
【解析】解：设小明12时看到的两位数，十位数为，个位数为，即为；
则13时看到的两位数为，时行驶的里程数为：；
则时看到的数为，13时时行驶的里程数为：；
由题意列方程组得：
，
解得：，
所以时看到的两位数是15．
故答案是：15．
8．（2020?朝阳区三模）某公园的门票价格如表：
购票人数
100以上
门票价格
13元人
11元人
9元人
现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，这两个部门人数分别为和．若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则共需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数 70 ； ．
【解析】解：不能整除13，
两个部门的人数，
若时，
由题意可得：，
（不合题意舍去），
若时，
由题意可得，
，
故答案为：70，40．
9．（2020?朝阳区一模）某兴趣小组外出登山，乘坐缆车的费用如下表所示：
乘坐缆车方式
乘坐缆车费用（单位：元人）
往返
180
单程
100
已知小组成员每个人都至少乘坐一次缆车，去程时有8人乘坐缆车，返程时有17人乘坐缆车，他们乘坐缆车的总费用是2400元，该小组共有 20 人．
【解析】解：设该小组共有人，往返的有人，依题意有
，
解得．
故该小组共有20人．
故答案为：20．
三、解答题
10．（2021春?拱墅区校级月考）用如图一中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图二的竖式和横式两种无盖纸盒，现在仓库里有1000张正方形纸板和2000张长方形纸板．
（1）根据题意完成下表格．
只竖式纸盒中
只横式纸盒中
合计
正方形纸板的张数
1000
长方形纸板的张数
2000
（2）问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？
【解析】解：（1）只竖式纸盒中，正方形纸板的张数为，长方形纸板的张数为，
只横式纸盒中，正方形纸板的张数为，长方形纸板的张数为，
故答案为：，，，；
（2）根据题意得，，
解得：
答：第一种纸盒200个，第二种纸盒400个．
11．如图，某工厂与、两地有公路、铁路相连，这家工厂从地购买一批原料运回工厂，制成新产品再运到地，公路运价为1.5元（吨千米），铁路运价为1元（吨千米）．
（1）若这两次运输共支出公路运费13200元，铁路运费49200元．问从地购买多少吨原料，用购买的这些原料能制成多少吨新产品？
（2）在（1）的条件下，原料费为每吨1000元，新产品售价每吨2000元，则该工厂这批产品全部售出后获得利润多少元？（利润销售额原料费运输费）
【解析】解：（1）设该工厂从地购买了吨原料，运往地的产品为吨．
根据题意，得
由题意得，，
解得：．
答：该工厂购买的原料重量为200吨，制成的产品重量为160吨；
（2）利润（元．
答：该工厂此次经营的利润为57600元．
12．某中学为了改善办学条件，增加操场面积，租用了农民土地10亩，现在平整操场需要运走36800吨泥土．现有型车和型车可以租用已知：用3辆型车和2辆型车一次可运泥土60吨：用2辆型车和3辆型车一次可运泥土65吨根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆型车和1辆型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
（2）已知型车每天能运20次，型车每天能运16次．学校同时租用型车和型车，刚好20天运完且每辆车每天运足次数，每次都按（1）中运量运满，请找出该校的租车方案；
（3）若型车每辆需租金100元次，型车每辆需租金130元次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
【解析】解：（1）设1辆型车一次可运货吨，1辆型车一次可运货吨，由题意得：
，
解得：
答：1辆型车一次可运货10吨，1辆型车一次可运货15吨．
（2）设该校租型车辆，租型车辆，则由题意得：，
化简得：，
又因为，
均为正整数，所以方程的整数解为：或，
则该校的租车方案：方案一：租型车2辆，租型车6辆，
方案二：租型车8辆，租型车1辆．
答：共有两种租车方案，方案一：租型车2辆，租型车6辆；方案二：租型车8辆，租型车1辆．
（3）方案一的租车费用为：（元，
方案二的租车费用为：（元，
，
选择租型车2辆，租型车6辆时最省钱．最少租车费用为329600元．
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精品试卷·第
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