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8.5.1
直线与直线平行
随堂同步练习
一、单选题
1．空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α=60°，则β为（ ）
A．60°
B．120°
C．30°
D．60°或120°
2．两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形（
）
A．全等
B．相似
C．仅有一个角相等
D．无法判断
3．下列命题中，正确的结论有
(
)
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；
②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；
③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；
④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4．如图，设依次是空间四边形的边上除端点外的点，且，则下列结论不正确的是（
）
A．当时，四边形是平行四边形
B．当时，四边形是梯形
C．当时，四边形是平行四边形
D．当时，四边形是梯形
5．如图所示，在长方体中，与相交于点分别是，的中点，则长方体的各棱中与平行的有（
）
A．3条
B．4条
C．5条
D．6条
6．已知分别为空间四边形的棱，，，的中点，若对角线，，则的值是（
）
A．5
B．10
C．12
D．不能确定
7．已知，，，则（
）
A．
B．或
C．
D．或
8．在正方体中，，分别是平面，平面的中心，，分别是线段，的中点，则直线与直线的位置关系是（
）
A．相交
B．异面
C．平行
D．垂直
9．如图,在四面体中,分别是的中点,则下列说法中不正确的是(
)
A．四点共面
B．
C．
D．四边形为梯形
二、填空题
10．如图，在三棱柱中，分别是上的点，且，则与的位置关系是______.
11．已知，，是空间中的三条相互不重合的直线，给出下列说法：①若，，则；②若与相交，与相交，则与相交；③若平面，平面，则，一定是异面直线；④若，与成等角，则．其中正确的说法是______（填序号）．
三、解答题
12．四边形中，，沿折叠成为四面体时，的取值范围是多少？
13．如图，在空间四边形中，分别为的中点，，求证：四边形为矩形.
14．如图1所示，在梯形中，，，分别为，的中点，将平面沿翻折起来，使到达的位置（如图2），，分别为，的中点，求证:四边形为平行四边形.
图1
图2
15．如图，和的对应顶点的连线段，，交于同一点O，且.
（1）求证：，，.
（2）求的值.
16．如图，已知分别是正方体的棱和的中点，求证:四边形是菱形.
17．已知在棱长为的正方体中，分别是棱，的中点.
求证：（1）四边形是梯形；
（2）.
答案解析
1．D
【解析】
根据等角定理，两个角的两边分别对应平行，则两个角相等或互补，所以为或，故选D.
2．B
【详解】
由题意知，根据等角定理，这两个三角形的三个角对应相等，
所以这两个三角形相似.
故选：B.
3．B
【解析】
①中，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故①错误；②中，如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角或直角相等，故②正确；③中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，在空间中，两角大小关系不确定，故③错误；④中，如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线平行，故④正确；故选B.
4．D
【详解】
如图所示，连接.
，且.
同理，，且.
∴当时，，∴四边形是平行四边形.∴选项A，C正确，D错.
当时，，四边形是梯形，∴选项B正确.
故选：D．
5．B
【详解】
由于分别是，的中点，
故，
因为和棱平行的棱有，，，
所以符合题意的棱共有4条.
故选：B.
6．B
【详解】
根据题意，作图如下：
如图所示，由三角形中位线的性质，
可得//BD//GF，HG//AC//EF，
可得四边形为平行四边形，
故：.
故选：B.
7．B
【详解】
的两边与的两边分别平行，
根据等角定理易知或.
故选：B.
8．C
【详解】
如图，连接，则分别为的中点.由三角形的中位线定理知，所以.
故选：C.
9．D
【详解】
由中位线定理,易知,,,.
于A,由基本事实易得P,所以四点共面,故A中的说法正确；
对于B,根据等角定理,得,故B中的说法正确；
对于C,由等角定理,知,,所以,故C中的说法正确；
由三角形的中位线定理知,,,,所以,所以四边形为平行四边形,故D中的说法不正确.
故选D.
10．平行
【详解】
在中，.
又.，所以．
故答案为：平行．
11．①
【详解】
由公理4知①正确；
当与相交，与相交时，与可能相交、平行，也可能异面，故②不正确；
当平面，平面时，与可能平行、相交或异面，故③不正确；
当，与成等角时，与可能相交、平行，也可能异面，故④不正确．
故答案为：①
12．
【详解】
如图，四边形折叠成为四面体.
当点与点接近于重合时，的距离接近于0；
当四边形面图形时，的距离接近于，所以.
13．
【详解】
分别是的中点，
，且，∴四边形为平行四边形.
又，∴四边形为矩形.
14．
【详解】
在题图1中，∵四边形为梯形，，
分别为的中点，
∴且.
在题图2中，易知.
∵分别为，的中点，
∴且，
∴，，
∴四边形为平行四边形.即证.
15．
【详解】
（1）证明:∵,且
∴.
同理可得,
（2）∵,且射线AB和射线,射线AC和射线方向分别相反
∴
同理可得,
∴,且
∴
16．
【详解】
取棱的中点，连接，.如下图所示：
由正方体的性质，可知侧面为正方形，又分别为棱的中点，
所以，，从而四边形为平行四边形，
所以，.
又分别为棱，的中点，且侧面为正方形，
所以四边形为平行四边形，所以，.
又，，
所以，，且
从而四边形为平行四边形.
不妨设正方体的棱长为，
易知，
又四边形为平行四边形，故四边形是菱形.即证.
17．
【解析】
证明：（1）连接AC，在△ACD中，
∵M，N分别是棱CD，AD的中点，
∴MN是三角形的中位线，
∴MN∥AC，MN=AC．由正方体的性质得：AC∥A1C1，AC=A1C1．
∴MN∥A1C1，且MN=A1C1，即MN≠A1C1，∴四边形MN
A1C1是梯形．
（2）由（1）可知MN∥A1C1，又∵ND∥A1D1，
∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补，而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的锐角，
∴∠DNM=∠D1A1C1
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8.5.1
直线与直线平行
随堂同步进阶练习
一、单选题
1．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G，H，则GH与AB的位置关系是（
）
A．平行
B．相交
C．异面
D．平行或异面
2．若，且，与的方向相同，则下列说法中，正确的是（
）
A．，且方向相同
B．，且方向不同
C．与不平行
D．与不一定平行
3．下列命题中正确的是(
)
A．直线与直线相交,直线与直线相交,则直线与直线相交
B．直线与直线平行,直线与直线平行,则直线与直线平行
C．直线与直线异面,直线与直线异面,则直线与直线异面
D．直线与直线相交,直线与直线异面,则直线与直线异面
4．若,,且,则(
)
A．130°
B．50°
C．130°或50°
D．不能确定
5．已知,,则与的位置关系是(
)
A．相交
B．异面
C．平行
D．以上均有可能
6．如图,在四面体中,分别是的中点,则下列说法中不正确的是(
)
A．四点共面
B．
C．
D．四边形为梯形
7．如图，在三棱柱中，E，F分别是AB，AC上的点，且，则EF与的位置关系是（
）
A．异面
B．平行
C．相交
D．平行或相交
二、填空题
8．已知棱长为的正方体中，分别为的中点，则与的位置关系是_________.
9．如图所示，在空间四边形ABCD中，，，则EH与FG的位置关系是________.
三、解答题
10．如图，在三棱锥中，分别是中点，平面平面.求证：.
11．如图所示,已知分别是正方体的棱的中点,求证:四边形是平行四边形.
12．如图所示,四边形和四边形都是直角梯形,,,,分别为的中点.
(1)求证:四边形是平行四边形;
(2)四点是否共面?为什么?
13．如图所示,在三棱锥中,分别是棱上的点,且满足.求证:.
14．如图所示空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，AD，CB，CD的中点.求证：四边形EFHG是平行四边形.
15．如图，在四面体中，分别为上的点.若，，则和有什么关系？为什么？
16．如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，，，，，，G，H分别为FA，FD的中点.
（1）证明：四边形BCHG是平行四边形.
（2）C，D，F，E四点是否共面？为什么？
17．如图所示，在长方体中，E，F分别是棱和棱的中点.求证：.
18．如图所示，OA，OB，OC为不共面的三条线段，点，，分别是OA，OB，OC上的点，且成立.求证：.
19．如图，和的对应顶点的连线段，，交于同一点O，且.
（1）求证：，，.
（2）求的值.
20．如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且，.
（1）证明：E，F，G，H四点共面.
（2）m，n满足什么条件时，四边形EFGH是平行四边形？
答案解析
1．A
【详解】
由长方体的性质知，,平面,平面,
所以EF//平面ABCD，
∵EF?平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，
∴EF//GH.
又EF//AB，
∴GH//AB.
故选：A
2．D
【详解】
如图，
；
当∠AOB=∠A1O1B1时，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，
OB与O1B1是不一定平行．如图．
故选D．
3．B
【详解】
错误，直线与直线可以平行或异面；
正确，根据平行线的传递性可知正确；
错误，直线与直线可以平行；
错误，直线与直线可以平行.
故选：.
4．C
【详解】
根据等角定理,知与相等或互补,
即或.
故选：.
5．D
【详解】
如图所示,,,则与的位置关系是平行?相交或异面.
故选：D.
6．D
【详解】
由中位线定理,易知,,,.
于A,由基本事实易得P,所以四点共面,故A中的说法正确；
对于B,根据等角定理,得,故B中的说法正确；
对于C,由等角定理,知,,所以,故C中的说法正确；
由三角形的中位线定理知,,,,所以,所以四边形为平行四边形,故D中的说法不正确.
故选D.
7．B
【详解】
因为在中,
所以
又因为
所以
故选:B
8．平行
【详解】
因为AN=DN,
DM=MC,
所以MN||AC,
因为AC||,
所以.
故答案为平行
9．
【详解】
如图,连接BD.
在中,
则
同理可得
所以.
故答案为:
10．
【详解】
因为分别是的中点，所以，所以.
又平面，平面，所以平面.
因为平面，平面平面，所以.
又，所以.
11．
【详解】
证明
取的中点,连接.
∵是的中点,是的中点,.
由正方体的性质知,,
∴四边形是平行四边形,.
又分别是,的中点,
,且,
∴四边形为平行四边形,
,
,
∴四边形是平行四边形.
12．
【详解】
证明:由分别为的中点,可得.
又,,
∴四边形是平行四边形.
(2)四点共面,
理由:由,为的中点知,,
∴四边形为平行四边形,.
由(1)知,
,与共面.
又,四点共面.
13．
【详解】
证明
在中,,
,且.
同理,,且.
又与的对应两边方向相同,
.
,
.
14．
【详解】
证明：在中,因为分别是的中点,所以由三角形的中位线定理可知且
同理,且
因此
所以四边形是平行四边形.
15．
【详解】
，证明如下：
，.
，，
，.
由等角定理可得，
.
16．
【详解】
（1）证明：因为分别为的中点,
所以,.
又,
所以,,
所以四边形是平行四边形.
（2）四点共面.理由如下：
由,,是中点知,,
所以四边形为平行四边形,所以.
由（1）知,所以,
所以与共面.
又,所以四点共面.
17．
【详解】
证明；如图,取的中点Q,连接,EQ.
∵
∴四边形为平行四边形
∴.
又∵
∴四边形为平行四边形
∴
∴
18．
【详解】
证明；在中,因为,
所以.
同理可证,.
所以,.
所以.
19．
【详解】
（1）证明:∵,且
∴.
同理可得,
（2）∵,且射线AB和射线,射线AC和射线方向分别相反
∴
同理可得,
∴,且
∴
20．
【详解】
（1）证明：连接BD
因为,所以
又,所以
所以
所以E,F,G,H四点共面
（2）当时,四边形EFGH为平行四边形
由（1）可知
因为
所以
同理可得
由
可得
得
故当时,四边形EFGH是平行四边形
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