人教版九年级上册　第22章　二次函数 经典专题88题（共102张）

(共102张PPT)
一、选择题
2.函数
y=(m-n)x2+
mx+n
是二次函数的条件是(
)
A
.
m,n是常数,且m≠0
B
.
m,n是常数,且n≠0
C.
m,n是常数,且m≠n
D
.
m,n为任何实数
C
1．下列函数是二次函数的是
(
)
A．y＝2x＋1
B．
C．y＝3x2＋1
D．
C
3.
二次函数y＝－3x2＋1的图象是将(　　)
A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到
B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到
C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到
D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到
解析：二次函数y＝－3x2＋1的图象是将抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到的．故选D.
D
C
D
D
D
A
9.已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是(　　)
解析：根据二次函数开口向上则a＞0，根据－c是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＞0，故一次函数y＝ax＋c的大致图象经过第一、二、三象限．故选A.
A
判断方程
ax2+bx+c
=0
(a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（
）
A.
3<
x
<
3.23
B.
3.23
<
x
<
3.24
C.
3.24
3.25
D.
3.25
3.26
x
3.23
3.24
3.25
3.26
y=ax2+bx+c
-0.06
-0.02
0.03
0.09
C
10.根据下列表格的对应值:
11.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，x=-1是对称轴，有下列判断：①b-2a=0；②4a-2b+c<0；③a-b+c=
-9a；④若（-3，y1）,（
，y2）是抛物线上两点，则y1>y2.其中正确的是（
）
A．①②③　　
B．①③④
C．①②④　
D．②③④
x
y
O
2
x=-1
B
12.已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：
x
-1
0
1
2
3
y
5
1
-1
-1
1
A.y轴
B.直线x=
C.
直线x=2
D.直线x=
则该二次函数图象的对称轴为(
)
D
13.若一元二次方程
无实根，则抛物线
图象位于（
）
A.x轴上方
B.第一、二、三象限
C.x轴下方
D.第二、三、四象限
A
14.二次函数y＝kx2－6x＋3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(　　)
A．k<3
B．k<3且k≠0
C．k≤3
D．k≤3且k≠0
D
15.已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（
）
A．b≥－1
B．b≤－1
C．b≥1
D．b≤1
解析：∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，∴抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴
，即b≤1，故选择D
.
D
D
3.
17.
某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成的，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（
）
A.
A.50m
B.100m
C.160m
D.200m
C
18.在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋k和二次函数y＝ax2＋k的图象大致为(　　)
方法总结：熟记一次函数y＝kx＋b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质(开口方向、对称轴、顶点坐标等)是解决问题的关键．
D
B
B
20:已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根为(　　)
A．x1≈－2.1，x2≈0.1
B．x1≈－2.5，x2≈0.5
C．x1≈－2.9，x2≈0.9
D．x1≈－3，x2≈1
解析：由图象可得二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－1，而对称轴右侧图象与x轴交点到原点的距离约为0.5，∴x2≈0.5；又∵对称轴为x＝－1，则
＝－1，∴x1＝2×(－1)－0.5＝－2.5.故x1≈－2.5，x2≈0.5.故选B.
B
21.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2.
其中正确的个数是
(　　)
A．1　　　B．2　　　　C．3　　　D．4
D
由图象上横坐标为
x＝－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正确；
由图象上x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图象上x＝－1的点在第二象限得出
a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正确．
【解析】由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得
c＞0，则abc＞0，故①正确；
由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确；
22.如图，平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是
.
x
y
O
1
2
-1
-2
-3
-4
3
2
1
-1
3
4
5
二、填空题
23.
已知函数
y=3x2m-1－5
(1)
当m=＿＿时，y是关于x的一次函数；
（2）
当m=＿＿时，y是关于x的二次函数
.
1
24.对于二次函数y=(m+1)xm2-m+3,当x>0时y随x的增大而增大，则m=____.
25.已知二次函数y=(a-2)x2+a2-2的最高点为（0，2）
则a=____.
26.抛物线y=ax2+c与x轴交于A（-2,0）﹑B两点，与y轴交于点C(0，-4),则三角形ABC的面积是_______.
2
-2
8
27.把抛物线y=-x2沿着x轴方向平移3个单位长度，那么平移后抛物线的解析式是
.
28.二次函数y=2(x-
)2图象的对称轴是直线_______，顶点是________.
29
.若（-
，y1）（-
，y2）（
，y3）为二次函数y=(x-2)2图象上的三点，则y1
，y2
，y3的大小关系为_______________.
y=-(x+3)2或y=-(x-3)2
y1
＞y2
＞
y3
30.把抛物线y=-3x2先向上平移2个单位，再向右平移1
个单位，那么所得抛物线是___________________.
.
31.抛物线y=-3x2+2的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线的解析式为______________
下
(2,13)
直线x＝2
x>3或x<－1
32.足球被从地面上踢起，它距地面的高度h(m)可用公式h=-4.9t2+19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间，则球在
s后落地.
4
33.如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米）关于水平距离x(米）的函数解析式为为
那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为
米.
x
y
O
2
③④⑤
15
20
37．若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示，且关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3，则另一个解x2=
；
-1
y
O
x
1
3
38.一元二次方程
3x2+x－10=0的两个根是x1=－2
，x2=
，那么二次函数
y=
3x2+x－10与x轴的交点坐标是
.
(-2，0)
(
，0)
39.函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么
方程ax2+bx+c=2的根是
______________;
不等式ax2+bx+c>2的解集是___________;
不等式ax2+bx+c<2的解集是_________.
3
-1
O
x
2
(4,2)
(-2,2)
x1=-2，
x2=4
x<-2或x>4
-2y
40.某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20
≤x
≤30)出售，可卖出（300－20x）件，使利润最大，则每件售价应定为
元.
25
m＞0
足球离开地面后落地时间
2
19.6m
y＝－x2＋x＋2
44.进价为80元的某件定价100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数y(件）与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为
.每月利润w(元)与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为
.(以上关系式只列式不化简）.
y=2000-5(x-100)
w=[2000-5(x-100)](x-80)
45.
已知
函数
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
（2）
m取什么值时，此函数是二次函数？
解：
（1）由题可知,
解得
（2）由题可知,
解得
m=3.
第（2）问易忽略二次项系数a≠0这一限制条件，从而得出m=3或-3的错误答案，需要引起同学们的重视.
注意
三、解答题
46.已知:
，k取什么值时，y是x的二次函数？
解：当
=2且k+2≠0，即k=-2时,
y是x的二次函数.
解：
由题意得：
∴m≠±3
48.
一个二次函数
.
（1）求k的值.
（2）当x=0.5时，y的值是多少？
解：
（1）由题意，得
解得
将x=0.5代入函数关系式
.
（2）当k=2时，
49.若函数
是二次函数，求：
（1）求a的值.
(2)
求函数关系式.
（3）当x=-2时，y的值是多少？
解：
（1）由题意，得
解得
（2）当a=-1时，函数关系式为
.
（3）将x=-2代入函数关系式中，有
57.
某公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少m才能使喷出的水流不致落到池外？
解：建立如图所示的坐标系，
根据题意得，A点坐标为(0，1.25)，顶点B坐标为(1，2.25).
数学化
●B(1,2.25)
(0,1.25)
●
C
●
D
o
A
x
y
根据对称性，如果不计其它因素，那么水池的半径至少要2.5m，才能使喷出的水流不致落到池外.
当y=0时,可求得点C的坐标为(2.5,0)
;
同理，点
D的坐标为(-2.5,0)
.
设抛物线为y=a(x+h)2+k，由待定系数法可求得抛物线表达式为：y=－
(x-1)2+2.25.
●B(1,2.25)
(0,1.25)
●
D
o
A
x
y
●
C
58.
有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为
20
m，拱顶距离水面
4
m．如图所示的直角坐标系中，求出这条抛物线表示的函数的解析式；
O
A
C
D
B
y
x
20
m
h
解：设该拱桥形成的抛物线的解析式为y=ax2.
∵该抛物线过(10,-4),
∴-4=100a，a=-0.04
∴y=-0.04x2.
59。如图，一名运动员在距离篮球圈中心4m（水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮圈，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m时，篮球达到最大高度，且最大高度为3.5m，如果篮圈中心距离地面3.05m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少米？
解：如图，建立直角坐标系.
则点A的坐标是（1.5，3.05），篮球在最大高度时的位置为B（0，3.5）.
以点C表示运动员投篮球的出手处.
x
y
O
解得
a=－0.2，
k=3.5，
设以y轴为对称轴的抛物线的解析式为
y=a(x-0)2+k
，
即y=ax2+k.而点A，B在这条抛物线上，所以有
所以该抛物线的表达式为y=－0.2x2+3.5.
当
x=－2.5时，y=2.25
.
故该运动员出手时的高度为2.25m.
2.25a+k=3.05，
k=3.5，
x
y
O
60.
某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系怎样表示？
分析：这种产品的原产量是20件,
一年后的产量是
件,再经过一年后的产量是
件,即两年后的产量y=________.
20(1+x)
20(1+x)2
20(1+x)2
答：
y=20x2+40x+20；
此式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.
61.
某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元出售，那么一个月内售出180件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨1元，月销售量将相应减少10件，当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？
①每件商品的销售单价上涨x元，一个月内获取的商品总利润为y元，填空：
单件利润（元）
销售量（件）
每月利润（元）
正常销售
涨价销售
10
180
10+x
180-10x
y=(10+x)(180-10x)
1800
建立函数关系式：y=(10+x)(180-10x),
即：y=-10x2+80x+1800.
营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故180-10x
≥0，因此自变量的取值范围是
x
≤18.
③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？
y=-10x2+80x+1800
=-10(x-4)2+1960.
当x=4时，即销售单价为34元时，y取最大值1960元.
答：当销售单价为34元时，该店在一个月内能获得最
大利润1960元.
②自变量x的取值范围如何确定？
62.一工艺师生产的某种产品按质量分为9个档次.第1档次（最低档次）的产品一天能生产80件，每件可获利润12元.产品每提高一个档次，每件产品的利润增加2元，但一天产量减少4件.如果只从生产利润这一角度考虑，他生产哪个档次的产品，可获得最大利润？
w=[12+2(x－1)][80－4(x－1)]
=(10+2x)(84－4x)
=－8x2+128x+840
=－8(x－8)2+1352.
解：设生产x档次的产品时，每天所获得的利润为w元，
则
当x=8时，w有最大值，且w最大=1352.
答：该工艺师生产第8档次产品，可使利润最大，
最大利润为1352.
x
y
5
16
O
7
63.
某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x(元）之间满足关系：y=ax2+bx-75.其图象如图.
（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
解：(1)由题中条件可求y=-x2+20x-75
∵-1<0,对称轴x=10,
∴当x=10时，y值最大，最大值为25.
即销售单价定为10元时，销售利润最
大，为25元；
（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？
(2)由对称性知y=16时，x=7和13.
故销售单价在7
≤x
≤13时，利润不低于16元.
64：已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．
(1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点；
(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值．
(1)证明：∵m≠0，
∴Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2.
∵(m－2)2≥0，
∴Δ≥0，
∴此抛物线与x轴总有两个交点；
(2)解：令y＝0，则(x－1)(mx－2)＝0，
所以
x－1＝0或mx－2＝0，
解得
x1＝1，x2＝
.
当m为正整数1或2时，x2为整数，即抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数．
所以正整数m的值为1或2.
65：已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．
(1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点；
(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值．
66：已知：抛物线y＝x2＋ax＋a－2.
(1)求证：不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点；
(2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1，0)，B(x2，0)，且x1、x2的平方和为3，求a的值．
(1)证明：∵Δ＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0，
∴不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点；
(2)解：∵x1＋x2＝－a，x1·x2＝a－2，
∴x1(2)＋x2(2)＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝a2－2a＋4＝3，
∴a＝1.
67.如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线
运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.
（1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？
（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？
（3）铅球离地面的高度能否达
到3m？为什么？
解
（1）由抛物线的表达式得
即
解得
即当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始
位置的水平距离是1m或5m.
（1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？
（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？
（2）由抛物线的表达式得
即
解得
即当铅球离地面的高度为2.5m时，它离初始位
置的水平距离是3m.
（3）由抛物线的表达式得
即
因为
所以方程无实根.
所以铅球离地面的高度不能达到3m.
（3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？
68.已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．
解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数．
∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点，
∴k＝3；
当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数．
∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，
∴Δ＝b2－4ac≥0.
∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16，
∴－4k＋16≥0.∴k≤4且k≠3.
综上所述，k的取值范围是k≤4.
69.某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时距地面
米，与篮框中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮框距地面3米．
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？
解：(1)由条件可得到出手点、最高点和篮框的坐标分别为A(0，
)，B(4，4)，C(7，3)，其中B是抛物线的顶点．
设二次函数关系式为y＝a(x－h)2＋k，将点A、B的坐标代入，可得y＝－
(x－4)2＋4.
将点C的坐标代入上式，得左边＝3，右边＝－
(7－4)2＋4＝3，左边＝右边，即点C在抛物线上．所以此球一定能投中；
(2)此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功？
(2)将x＝1代入函数关系式，得y＝3.
因为3.1＞3，所以盖帽能获得成功．
70.已知二次函数
的图象，利用图象回答问题：
（1）方程
的解是什么？
（2）x取什么值时，y>0
？
（3）x取什么值时，y<0
？
x
y
O
2
4
8
解：（1）x1=2,x2=4;
（2）x<2或x>4;
（3）271.
一个二次函数的图象经过
(0,
1)、(2,4)、(3,10)三点，求这个二次函数的表达式.
解：
设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,由于这个函数经过点(0,
1)，可得c=1.
又由于其图象经过(2,4)、(3,10)两点，可得
4a+2b+1=4，
9a+3b+1=10，
解这个方程组，得
∴所求的二次函数的表达式是
72.
一个二次函数的图象经点
(0,
1)，它的顶点坐标为(8,9)，求这个二次函数的表达式.
解：
因为这个二次函数的图象的顶点坐标为(8,9)，因此，可以设函数表达式为
y=a(x-8)2+9.
又由于它的图象经过点(0
,1)，可得
0=a(0-8)2+9.
解得
∴所求的二次函数的解析式是
解：∵（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1)(x-x2).(其中x1、x2为交点的横坐标.因此得
y=a(x+3)(x+1).
再把点（0，-3）代入上式得
∴a(0+3)(0+1)=-3，
解得a=-1，
∴所求的二次函数的表达式是
y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3.
73.选取(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试出这个二次函数的表达式.
x
y
O
1
2
-1
-2
-3
-4
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
74.请回答抛物线y
=
4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎样平移得到?
由抛物线向上平移7个单位再向右平移3个单位得到的.
71.如果一条抛物线的形状与
形状相同，且顶点坐标是（4，-2），试求这个函数关系式.
75.已知二次函数y＝ax2
＋
c的图象经过点(2,3)
和(－1,－3)，求这个二次函数的表达式．
解:∵该图象经过点（2,3）和(－1,－3)，
3=4a+c，
－3=a+c，
∴所求二次函数表达式为
y=2x2－5.
∴{
a=2，
c=－5.
解得
{
　　76.已知二次函数y＝ax2
＋
bx的图象经过点(－2，8)
和(－1，5)，求这个二次函数的表达式．
解:∵该图象经过点（-2,8）和（-1,5），
8=4a-2b，
5=a-b，
∴{
解得a=-1,b=-6.
∴
y=-x2-6x.
77.已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)．求这个二次函数的表达式．
解：设这个二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c．
依题意得
∴这个二次函数的表达式为y＝2x2＋3x－4.
a＋b＋c＝1，
c＝－4，
a-b＋c＝-5，
解得
b＝3，
c＝－4，
a＝2，
78.已知抛物线与x轴相交于点A(－1，0)，B(1，0)，且过点M(0，1)，求此函数的表达式．
解：因为点A(－1，0)，B(1，0)是图象与x轴的交点，所以设二次函数的表达式为y＝a(x＋1)(x－1)．
又因为抛物线过点M(0，1)，
所以1＝a(0＋1)(0－1)，解得a＝－1，
所以所求抛物线的表达式为y＝－(x＋1)(x－1)，
即y＝－x2＋1.
79.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(－4，－3)，与y轴交于点B，对称轴是x＝－3，请解答下列问题：
(1)求抛物线的表达式；
解：(1)把点A(－4，－3)代入y＝x2＋bx＋c
得16－4b＋c＝－3，c－4b＝－19.
∵对称轴是x＝－3，∴
＝－3，
∴b＝6，∴c＝5，
∴抛物线的表达式是y＝x2＋6x＋5；
(2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD＝8，求△BCD的面积．
(2)∵CD∥x轴，∴点C与点D关于x＝－3对称．
∵点C在对称轴左侧，且CD＝8，
∴点C的横坐标为－7，
∴点C的纵坐标为(－7)2＋6×(－7)＋5＝12.
∵点B的坐标为(0，5)，
∴△BCD中CD边上的高为12－5＝7，
∴△BCD的面积＝
×8×7＝28.
80.
已知二次函数y＝a(x－1)2－4的图象经过点(3，0)．
(1)求a的值；
(2)若A(m，y1)、B(m＋n，y2)(n＞0)是该函数图象上的两点，当y1＝y
2时，求m、n之间的数量关系．
解：(1)将(3，0)代入y＝a(x－1)2－4，
得0＝4a－4，解得a＝1；
(2)方法一：
根据题意，得y1＝(m－1)2－4，y2＝(m＋n－1)2－4，
∵y1＝y2，
∴(m－1)2－4＝(m＋n－1)2－4，即(m－1)2＝(m＋n－1)2.
∵n＞0，∴m－1＝－(m＋n－1)，化简，得2m＋n＝2；
方法二：
∵函数y＝(x－1)2－4的图象的对称轴是经过点(1，－4)，且平行于y轴的直线，
∴m＋n－1＝1－m，化简，得
2m＋n＝2.
方法总结：已知函数图象上的点，则这点的坐标必满足函数的表达式，代入即可求得函数解析式．
81.
要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长?
C(3,0)
B(1，3)
A
x
O
y
1
2
3
1
2
3
解:如图建立直角坐标系,
点(1,3)是图中这段抛物线的顶点.
因此可设这段抛物线对应的函数是
∵这段抛物线经过点(3,0)，
∴
0=a(3－1)2＋3.
解得:
因此抛物线的解析式为:
y=a(x－1)2＋3
(0≤x≤3).
当x=0时,y=2.25.
答:水管长应为2.25m.
3
4
a=－
y=
(x－1)2＋3
(0≤x≤3)
3
4
－
O
y
x
–1
–2
3
82.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：
（1）a、b同号；
（2）当x=–1和x=3时，函数值相等；
（3）
4a+b=0；
（4）当y=–2时，x的值只能取0；
其中正确的是
.
直线x=1
（2）
83.
如图，抛物线y＝x2－4与x轴交于A、B两点，点P为抛物线上一点，且S△PAB＝4，求P点的坐标．
解：抛物线y＝x2－4，令y＝0，得到x＝2或－2，
即A点的坐标为(－2，0)，B点的坐标为(2，0)，
∴AB＝4.
∵S△PAB＝4，设P点纵坐标为b，
∴
×4|b|＝4，∴|b|＝2，即b＝2或－2.
当b＝2时，x2－4＝2，解得x＝±
，
此时P点坐标为(
，2)，(－
，2)；
当b＝－2时，x2－4＝－2，解得x＝±
，
此时P点坐标为(
，2)，(－
，2)．
84.
抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1，4)，求a的值和平移后的函数关系式．
解：二次函数y＝ax2的图象向右平移3个单位后的二次函数关系式可表示为y＝a(x－3)2，
把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2，
，
∴平移后二次函数关系式为y＝
(x－3)2.
方法总结：根据抛物线左右平移的规律，向右平移3个单位后，a不变，括号内应“减去3”；若向左平移3个单位，括号内应“加上3”，即“左加右减”．
85：如图，抛物线y＝x2－4与x轴交于A、B两点，点P为抛物线上一点，且S△PAB＝4，求P点的坐标．
解：抛物线y＝x2－4，令y＝0，得到x＝2或－2，
即A点的坐标为(－2，0)，B点的坐标为(2，0)，
∴AB＝4.
∵S△PAB＝4，设P点纵坐标为b，
∴
×4|b|＝4，∴|b|＝2，即b＝2或－2.
当b＝2时，x2－4＝2，解得x＝±
，
此时P点坐标为(
，2)，(－
，2)；
当b＝－2时，x2－4＝－2，解得x＝±
，
此时P点坐标为(
，2)，(－
，2)．
86.矩形的周长为16cm,它的一边长为x（cm),面积为y（cm2).求
（1）y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围；
（2）当x=3时矩形的面积.
解：(1)y＝(8－x)x＝－x2＋8x
(0＜x＜8)；
(2)当x＝3时，y＝－32＋8×3＝15
cm2
.
87：某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．
(1)若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数，且1≤x≤10)，求出y关于x的函数关系式；
解：∵第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润加2元，但一天产量减少5件，
∴第x档次，提高了(x－1)档，利润增加了2(x－1)元．
∴y＝[6＋2(x－1)][95－5(x－1)]，
即y＝－10x2＋180x＋400(其中x是正整数，且1≤x≤10)；
(2)若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次．
解：由题意可得
－10x2＋180x＋400＝1120，
整理得
x2－18x＋72＝0，
解得
x1＝6，x2＝12(舍去)．
所以，该产品的质量档次为第6档．
【方法总结】解决此类问题的关键是要吃透题意，确定变量，建立函数模型．
88.某商店经销一种销售成本为每千克40元的商品，根据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量
就减少10kg,针对这种商品的销售情况，请解答下列问题：
（1）当销售单价为每千克55元时，计算月销售量和销售利润分别为多少？
（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围）