初中数学人教版八年级下学期专题复习：06 正方形（含解析）
文档属性
| 名称 | 初中数学人教版八年级下学期专题复习：06 正方形（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-04-07 11:18:44 | ||
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文档简介
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初中数学人教版八年级下学期专题复习 ：06 正方形
一、单选题
1.平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是（ ）.
A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角形互相垂直平分
2.下列各组图形中，四个顶点一定在同一圆上的是（ ）
A. 矩形，菱形 B. 矩形，正方形 C. 菱形，正方形 D. 平行四边形，菱形
3.如图，在 中， ，以其三边为边向外作正方形，过点 作 于点 ，再过点 作 分别交边 ， 于点 ， .若 ， ，则 的长为 www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A. 14 B. 15 C. D.
4.如图，在正方形 中，E为 边上的一点，沿线段 对折后，若 比 大 ，则 的度数为（ ） 2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com / )
A. B. C. D.
5.如图，在正方形 中， 是 边上的动点， 于点 于点 ，则 的值为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A. B. C. D.
6.如图，图①是一个对角线长 ( http: / / www.21cnjy.com )分别是6和8的菱形，将其沿对角线剪成四个全等的三角形，把这四个三角形无重叠地拼成如图②所示的大正方形，则图②中小正方形的面积为（ ） 21cnjy.com
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A. 1 B. 2 C. 4 D. 6
二、填空题
7.如图，已知 是边长为 的等边三角形，正方形 的顶点 分别在边 上，点 在边 上，那么 的长是________． 【来源：21·世纪·教育·网】
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8.如图，点P在正方形ABCD的对角线AC上，PE⊥PB于点P，交AD于点E，若△PAE的面积占正方形ABCD面积的 ，则 =________ 21·世纪*教育网
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三、解答题
9.如图，若在正方形 中，点 为 边上一点，点 为 延长线上一点，且 ，则 与 之间有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由. 21·cn·jy·com
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10.如图，等边 的顶点 ， 在矩形 的边 ， 上，且 .
求证：矩形 是正方形.
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四、综合题
11.如图是一个 的正方形网格，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．请你完成： www-2-1-cnjy-com
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（1）画一个面积为8的格点正方形（四个顶点都在方格的顶点上）；
（2）将图中的数轴补充完整，并用圆规在数轴上表示实数 ．
12.在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED.
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（1）求证：△BEC≌△DEC；
（2）延长BE交AD于F，当∠BED＝120°时，求∠EFD的度数.
13.如图，正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，连接PB，边作 交AD边于于点E，且点E不与点A，D重合，作 ， ，垂足分别为点M和N. 2-1-c-n-j-y
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（1）求证： ；
（2）求证： .
答案解析部分
一、单选题
1.答案： A
解析：解：∵平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线互相平分
∴选项A正确；
∵菱形的对角线不相等
∴选项B错误；
∵矩形的对角线不相互垂直
∴选项C和D错误；
故答案为：A.
分析：根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案.
2.答案： B
解析：解：A、矩形的对角互补， ( http: / / www.21cnjy.com )四点共圆，菱形对角不互补，四点不共圆，错误；
B、矩形的对角互补，四点共圆， 正方形的对角互补，四点共圆，正确；
C、菱形对角不互补，四点不共圆，正方形的对角互补，四点共圆，错误；
D、平行四边形和菱形对角都不互补，四点不共圆， 错误；
故答案为：B.
分析：对角互补的四边形是圆内接四边形，然后结合矩形、正方形、菱形和平行四边形的性质分别判断即可.21*cnjy*com
3.答案： A
解析：解：如图，连接EC，CH，设AB交CR于点J.
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∵四边形ACDE，四边形BCIH都是正方形，
∴∠ACE=∠BCH=45°.
∵DE∥AI∥BH，
∴∠CEP=∠CHQ.
∵∠ECP=∠HCQ，
∴△ECP∽△HCQ，
∴.
∵PQ=15，
∴PC=5，CQ=10.
∵EC:CH=1:2，
∴AC:BC=1:2，设AC=a，BC=2a.
∵PQ⊥CR， CR⊥AB，
∴CQ∥AB.
∵AC∥BQ，CQ∥AB，
∴四边形ABQC是平行四边形，
∴AB=CQ=10.
∵AC2+BC2=AB2 ，
∴5a2=100，
∴a=，
∴AC=， BC=.
∵·AC·BC=·AB·CJ，
∴CJ==4.
∵JR=AF=AB=10，
∴CR=CJ+JR=14.
故答案为：A.
分析：连接EC，CH．设AB交CR于J，利用正方形的性质，易证∠ACE=45°，∠ACB=∠BCI=90°，据此证明△ECP∽△HCQ，利用相似三角形对应边成比例可得PC、CQ的长，由EC:CH=1:2，推出AC:BC=1:2，设AC=a，BC=2a，证明四边形ABQC是平行四边形，推出AB=CQ=10，根据AC2+BC2=AB2 ， 构建方程求出a即可解决问题.【来源：21cnj*y.co*m】
4.答案： C
解析：解：∵∠FBE是∠CBE折叠形成，
∴∠FBE=∠CBE，
∵∠ABF-∠EBF=15°，∠ABF+∠EBF+∠CBE=90°，
∴∠EBF=25°，
故答案为：C.
分析：根据折叠角相等和正方形各内角为直角的性质即可求得∠EBF的度数.
5.答案： C
解析：解：在正方形ABCD中，OA⊥OB，∠OAD=45°，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴四边形OEPF为矩形，△AEP是等腰直角三角形，
∴PF=OE，PE=AE，
∴PE+PF=AE+OE=OA，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴
故答案为：C
分析：由正方形的性质和∠OAD=45°可得四边形OEPF为矩形，△AEP是等腰直角三角形，由矩形的对边相等可得PF=OE，PE=AE，由线段的构成可得PE+PF=AE+OE=OA，根据正方形的性质得OA=AC可求解.【出处：21教育名师】
6.答案： A
解析：解：∵图1中菱形的两条对角线长分别为6和8，
∴菱形的面积等于 ×6×8=24，
菱形的边长= ，
∴图2中间的小四边形的面积等于25-24=1.
故答案为：A.
分析：利用菱形的面积等于两对角线之积 ( http: / / www.21cnjy.com )的一半，可求出菱形的面积，再利用勾股定理求出菱形的边长；然后利用边长为5的正方形的面积减去菱形的面积，就可求解.【版权所有：21教育】
二、填空题
7.答案：
解析：根据题可知，△ADE为等边三角形，即：AD=DE，
根据正方形的性质可知DE=DG，DG⊥BC，∠C=60°，
设AD=x，则DG=x，DC=AC-AD=2-x，
∴在Rt△CDG中， ，
即： ，
解得： ，
经检验 是上述分式方程的解，
故答案为： ．
分析：根据等边三角形以及正方形的性质，在Rt△CDG中运用正弦的定义建立方程求解即可．
8.答案：
解析：解：如图，作PF⊥AD，PH⊥AB，
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∵∠FPE+∠EPH=∠BPH+∠EPH，
∴∠FPE=∠BPH，
∵四边形AFPH为正方形，
∴PF=PH，
∵∠PFE=∠PHB，
∴△PFE≌△PHB（ASA），
∴EF=BH，
又∵PF=AF=AE+EF，
且AE+EF=AH，AH+BH=AB=AD=AF+FD，
∴BH=FD=EF，
∴AE+2EF=AD，
∴EF=,
∵S△PAE=S正方形ABCD ，
∴AE×PF=AD2 ，
∴AE[AE+]=AD2 ，
∴AE2+AE×AD-AD2=0，
∴（AE-AD）（AE+AD）=0，
解得：=或=-（舍）;
故答案为：.
分析：作PF⊥AD，PH⊥AB，利用角边角定理证明△PFE≌△PHB，得出EF=BH，结合正方形的性质，利用线段之间的关系，推出BH=FD=EF，则可得到EF=, 将其代入S△PAE=S正方形ABCD中，解方程即可求出结果.21教育名师原创作品
三、解答题
9.答案： 解：AE=CF并且AE⊥CF，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AD=CD，∠CDF=∠EDA=90°，
∵DE=DF，
∴△CDF≌△ADE(SAS)，
∴AE=CF，
∵△CDF≌△ADE，∠CDF=∠EDA=90°，
∴△ADE逆时针旋转90°得到△CDF，
∴AE与CF的夹角为90°，
∴AE⊥CF.
分析：由正方形的性质得条件 ( http: / / www.21cnjy.com )，然后用边角边可证△CDF≌△ADE，由全等三角形的性质可得AE=CF，结合已知可得△ADE逆时针旋转90°得到△CDF，于是可得AE与CF的夹角为90°，根据垂线的定义即可求解. ， 21教育网
10.答案： 证明：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ≌ ，
∴ ，
∴矩形 是正方形.
分析：利用矩形的四个角是直角，可 ( http: / / www.21cnjy.com )证得∠B=∠D=∠C=90°，再利用等边三角形的性质去证明∠AEF=∠AFE=60°，AE=AF，由此可推出∠AFD=∠AEB；然后根据AAS证明△AEB≌△AFD，利用全等三角形的对应边相等，可推出AB=AD，利用有一组邻边相等的矩形是正方形，可证得结论.
四、综合题
11.答案： （1）解：正方形的边长是 ， ，
如图：正方形OABC即为所作的格点正方形，
( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）解：以O为圆心，正方形的边长为半径画弧，点D即为实数 所表示的点．
分析：（1）根据勾股定理和正方形的面积公式即可画出图形；
12.答案： （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠ECB=∠ECD=45°.
∴在△BEC与△DEC中，
∴△BEC≌△DEC（SAS）.
（2）解：∵△BEC≌△DEC，
∴∠BEC=∠DEC= ∠BED，
∵∠BED=120°，
∴∠BEC=60°=∠AEF.
∴∠EFD=60°+45°=105°.
分析：（1）由正方形的性质可得BC=CD，∠ECB=∠ECD=∠EAF=45°，根据SAS可证△BEC≌△DEC；
（2）由△BEC≌△DEC， ∠BED＝120° ，可得∠BEC=∠DEC=∠BED=60°，根据对顶角相等可得 ∠BEC=60°=∠AEF，由三角形外角的性质，可得∠EFD=∠AEF+∠EAF，据此计算即得.
13.答案： （1）证明：如图：
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∵四边形ABCD为正方形，
∴AC平分∠BAD，
又∵PM⊥AD，PN⊥AB，
∴PM=PN.
（2）∵PM⊥AD，PN⊥AB，∠MAN=90°，PM=PN，
∴四边形PMAN为正方形，
∴∠MPN=90°，即∠MPE+∠EPN=90°.
∵PE⊥PB，
∴∠EPN+∠NPB=90°，
∴∠MPE=∠NPB.
∵PM⊥AD，PN⊥AB，
∴∠PME=∠PNB=90°.
在△PME和△PNB中，
，
∴△PME≌△PNB（ASA），
∴EM=BN.
分析：（1）由四边形ABCD为正 ( http: / / www.21cnjy.com )方形可得出AC平分∠BAD，再利用角平分线的性质可证出PM=PN；（2）易证四边形PMAN为正方形，进而可得出∠MPN=90°，利用等角的余角相等可得出∠MPE=∠NPB，结合PM=PN，∠PME=∠PNB=90°，即可证出△PME≌△PNB（ASA），再利用全等三角形的性质即可证出EM=BN.21世纪教育网版权所有
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初中数学人教版八年级下学期专题复习 ：06 正方形
一、单选题
1.平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是（ ）.
A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角形互相垂直平分
2.下列各组图形中，四个顶点一定在同一圆上的是（ ）
A. 矩形，菱形 B. 矩形，正方形 C. 菱形，正方形 D. 平行四边形，菱形
3.如图，在 中， ，以其三边为边向外作正方形，过点 作 于点 ，再过点 作 分别交边 ， 于点 ， .若 ， ，则 的长为 www.21-cn-jy.com
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A. 14 B. 15 C. D.
4.如图，在正方形 中，E为 边上的一点，沿线段 对折后，若 比 大 ，则 的度数为（ ） 2·1·c·n·j·y
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A. B. C. D.
5.如图，在正方形 中， 是 边上的动点， 于点 于点 ，则 的值为（ ）
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A. B. C. D.
6.如图，图①是一个对角线长 ( http: / / www.21cnjy.com )分别是6和8的菱形，将其沿对角线剪成四个全等的三角形，把这四个三角形无重叠地拼成如图②所示的大正方形，则图②中小正方形的面积为（ ） 21cnjy.com
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A. 1 B. 2 C. 4 D. 6
二、填空题
7.如图，已知 是边长为 的等边三角形，正方形 的顶点 分别在边 上，点 在边 上，那么 的长是________． 【来源：21·世纪·教育·网】
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8.如图，点P在正方形ABCD的对角线AC上，PE⊥PB于点P，交AD于点E，若△PAE的面积占正方形ABCD面积的 ，则 =________ 21·世纪*教育网
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三、解答题
9.如图，若在正方形 中，点 为 边上一点，点 为 延长线上一点，且 ，则 与 之间有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由. 21·cn·jy·com
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10.如图，等边 的顶点 ， 在矩形 的边 ， 上，且 .
求证：矩形 是正方形.
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四、综合题
11.如图是一个 的正方形网格，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．请你完成： www-2-1-cnjy-com
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（1）画一个面积为8的格点正方形（四个顶点都在方格的顶点上）；
（2）将图中的数轴补充完整，并用圆规在数轴上表示实数 ．
12.在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED.
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（1）求证：△BEC≌△DEC；
（2）延长BE交AD于F，当∠BED＝120°时，求∠EFD的度数.
13.如图，正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，连接PB，边作 交AD边于于点E，且点E不与点A，D重合，作 ， ，垂足分别为点M和N. 2-1-c-n-j-y
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（1）求证： ；
（2）求证： .
答案解析部分
一、单选题
1.答案： A
解析：解：∵平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线互相平分
∴选项A正确；
∵菱形的对角线不相等
∴选项B错误；
∵矩形的对角线不相互垂直
∴选项C和D错误；
故答案为：A.
分析：根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案.
2.答案： B
解析：解：A、矩形的对角互补， ( http: / / www.21cnjy.com )四点共圆，菱形对角不互补，四点不共圆，错误；
B、矩形的对角互补，四点共圆， 正方形的对角互补，四点共圆，正确；
C、菱形对角不互补，四点不共圆，正方形的对角互补，四点共圆，错误；
D、平行四边形和菱形对角都不互补，四点不共圆， 错误；
故答案为：B.
分析：对角互补的四边形是圆内接四边形，然后结合矩形、正方形、菱形和平行四边形的性质分别判断即可.21*cnjy*com
3.答案： A
解析：解：如图，连接EC，CH，设AB交CR于点J.
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∵四边形ACDE，四边形BCIH都是正方形，
∴∠ACE=∠BCH=45°.
∵DE∥AI∥BH，
∴∠CEP=∠CHQ.
∵∠ECP=∠HCQ，
∴△ECP∽△HCQ，
∴.
∵PQ=15，
∴PC=5，CQ=10.
∵EC:CH=1:2，
∴AC:BC=1:2，设AC=a，BC=2a.
∵PQ⊥CR， CR⊥AB，
∴CQ∥AB.
∵AC∥BQ，CQ∥AB，
∴四边形ABQC是平行四边形，
∴AB=CQ=10.
∵AC2+BC2=AB2 ，
∴5a2=100，
∴a=，
∴AC=， BC=.
∵·AC·BC=·AB·CJ，
∴CJ==4.
∵JR=AF=AB=10，
∴CR=CJ+JR=14.
故答案为：A.
分析：连接EC，CH．设AB交CR于J，利用正方形的性质，易证∠ACE=45°，∠ACB=∠BCI=90°，据此证明△ECP∽△HCQ，利用相似三角形对应边成比例可得PC、CQ的长，由EC:CH=1:2，推出AC:BC=1:2，设AC=a，BC=2a，证明四边形ABQC是平行四边形，推出AB=CQ=10，根据AC2+BC2=AB2 ， 构建方程求出a即可解决问题.【来源：21cnj*y.co*m】
4.答案： C
解析：解：∵∠FBE是∠CBE折叠形成，
∴∠FBE=∠CBE，
∵∠ABF-∠EBF=15°，∠ABF+∠EBF+∠CBE=90°，
∴∠EBF=25°，
故答案为：C.
分析：根据折叠角相等和正方形各内角为直角的性质即可求得∠EBF的度数.
5.答案： C
解析：解：在正方形ABCD中，OA⊥OB，∠OAD=45°，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴四边形OEPF为矩形，△AEP是等腰直角三角形，
∴PF=OE，PE=AE，
∴PE+PF=AE+OE=OA，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴
故答案为：C
分析：由正方形的性质和∠OAD=45°可得四边形OEPF为矩形，△AEP是等腰直角三角形，由矩形的对边相等可得PF=OE，PE=AE，由线段的构成可得PE+PF=AE+OE=OA，根据正方形的性质得OA=AC可求解.【出处：21教育名师】
6.答案： A
解析：解：∵图1中菱形的两条对角线长分别为6和8，
∴菱形的面积等于 ×6×8=24，
菱形的边长= ，
∴图2中间的小四边形的面积等于25-24=1.
故答案为：A.
分析：利用菱形的面积等于两对角线之积 ( http: / / www.21cnjy.com )的一半，可求出菱形的面积，再利用勾股定理求出菱形的边长；然后利用边长为5的正方形的面积减去菱形的面积，就可求解.【版权所有：21教育】
二、填空题
7.答案：
解析：根据题可知，△ADE为等边三角形，即：AD=DE，
根据正方形的性质可知DE=DG，DG⊥BC，∠C=60°，
设AD=x，则DG=x，DC=AC-AD=2-x，
∴在Rt△CDG中， ，
即： ，
解得： ，
经检验 是上述分式方程的解，
故答案为： ．
分析：根据等边三角形以及正方形的性质，在Rt△CDG中运用正弦的定义建立方程求解即可．
8.答案：
解析：解：如图，作PF⊥AD，PH⊥AB，
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∵∠FPE+∠EPH=∠BPH+∠EPH，
∴∠FPE=∠BPH，
∵四边形AFPH为正方形，
∴PF=PH，
∵∠PFE=∠PHB，
∴△PFE≌△PHB（ASA），
∴EF=BH，
又∵PF=AF=AE+EF，
且AE+EF=AH，AH+BH=AB=AD=AF+FD，
∴BH=FD=EF，
∴AE+2EF=AD，
∴EF=,
∵S△PAE=S正方形ABCD ，
∴AE×PF=AD2 ，
∴AE[AE+]=AD2 ，
∴AE2+AE×AD-AD2=0，
∴（AE-AD）（AE+AD）=0，
解得：=或=-（舍）;
故答案为：.
分析：作PF⊥AD，PH⊥AB，利用角边角定理证明△PFE≌△PHB，得出EF=BH，结合正方形的性质，利用线段之间的关系，推出BH=FD=EF，则可得到EF=, 将其代入S△PAE=S正方形ABCD中，解方程即可求出结果.21教育名师原创作品
三、解答题
9.答案： 解：AE=CF并且AE⊥CF，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AD=CD，∠CDF=∠EDA=90°，
∵DE=DF，
∴△CDF≌△ADE(SAS)，
∴AE=CF，
∵△CDF≌△ADE，∠CDF=∠EDA=90°，
∴△ADE逆时针旋转90°得到△CDF，
∴AE与CF的夹角为90°，
∴AE⊥CF.
分析：由正方形的性质得条件 ( http: / / www.21cnjy.com )，然后用边角边可证△CDF≌△ADE，由全等三角形的性质可得AE=CF，结合已知可得△ADE逆时针旋转90°得到△CDF，于是可得AE与CF的夹角为90°，根据垂线的定义即可求解. ， 21教育网
10.答案： 证明：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ≌ ，
∴ ，
∴矩形 是正方形.
分析：利用矩形的四个角是直角，可 ( http: / / www.21cnjy.com )证得∠B=∠D=∠C=90°，再利用等边三角形的性质去证明∠AEF=∠AFE=60°，AE=AF，由此可推出∠AFD=∠AEB；然后根据AAS证明△AEB≌△AFD，利用全等三角形的对应边相等，可推出AB=AD，利用有一组邻边相等的矩形是正方形，可证得结论.
四、综合题
11.答案： （1）解：正方形的边长是 ， ，
如图：正方形OABC即为所作的格点正方形，
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（2）解：以O为圆心，正方形的边长为半径画弧，点D即为实数 所表示的点．
分析：（1）根据勾股定理和正方形的面积公式即可画出图形；
12.答案： （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠ECB=∠ECD=45°.
∴在△BEC与△DEC中，
∴△BEC≌△DEC（SAS）.
（2）解：∵△BEC≌△DEC，
∴∠BEC=∠DEC= ∠BED，
∵∠BED=120°，
∴∠BEC=60°=∠AEF.
∴∠EFD=60°+45°=105°.
分析：（1）由正方形的性质可得BC=CD，∠ECB=∠ECD=∠EAF=45°，根据SAS可证△BEC≌△DEC；
（2）由△BEC≌△DEC， ∠BED＝120° ，可得∠BEC=∠DEC=∠BED=60°，根据对顶角相等可得 ∠BEC=60°=∠AEF，由三角形外角的性质，可得∠EFD=∠AEF+∠EAF，据此计算即得.
13.答案： （1）证明：如图：
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∵四边形ABCD为正方形，
∴AC平分∠BAD，
又∵PM⊥AD，PN⊥AB，
∴PM=PN.
（2）∵PM⊥AD，PN⊥AB，∠MAN=90°，PM=PN，
∴四边形PMAN为正方形，
∴∠MPN=90°，即∠MPE+∠EPN=90°.
∵PE⊥PB，
∴∠EPN+∠NPB=90°，
∴∠MPE=∠NPB.
∵PM⊥AD，PN⊥AB，
∴∠PME=∠PNB=90°.
在△PME和△PNB中，
，
∴△PME≌△PNB（ASA），
∴EM=BN.
分析：（1）由四边形ABCD为正 ( http: / / www.21cnjy.com )方形可得出AC平分∠BAD，再利用角平分线的性质可证出PM=PN；（2）易证四边形PMAN为正方形，进而可得出∠MPN=90°，利用等角的余角相等可得出∠MPE=∠NPB，结合PM=PN，∠PME=∠PNB=90°，即可证出△PME≌△PNB（ASA），再利用全等三角形的性质即可证出EM=BN.21世纪教育网版权所有
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