(共31张PPT)
6.2.4
组合数
人教A版（2019）
选择性必修第三册
新知导入
从
a
,
b
,
c
三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是:
ab
,
ac
,
bc
已知4个元素a
,
b
,
c
,
d
,写出每次取出两个元素的所有组合.
ab
,
ac
,
ad
,
bc
,
bd
,
cd
3种
6种
上面两个问题中，通过一一列举得到符合要求的组合的个数，但是随着元素个数的增加，一一列举变得越来越复杂甚至变得不可能。那么能否像排列数一样，找到一个用来计算组合个数的公式，根据公式方便的计算出组合的个数？
新知讲解
组合数
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号
表示.
问：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？
组合与组合数有什么区别？
组合是指“从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素合成一组”，它不是一个数；
组合数是指“从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数”，它是一个正整数.
答：
合作探究
（1）通过导入一：从
a
,
b
,
c
三个不同的元素中取出两个元素的组合数为
组合数
与排列数
之间有什么关系？怎么利用排列数来求组合数？
（2）从a,b,c,d
四个元素中任取三个元素的所有组合数为
abc
，
abd
，
acd
，
bcd
.
分析：从4个元素中取出3个的排列数为
，以”相同元素“为标准，将这24个排列分组，一共有4组，因此
合作探究
组合
排列
abc
abd
acd
bcd
abc
bac
cab
acb
bca
cba
abd
bad
dab
adb
bda
dba
acd
cad
dac
adc
cda
dca
bcd
cbd
dbc
bdc
cdb
dcb
合作探究
通过上图可以发现，求排列数
也可以分为以下两个步骤：
（1）从4个元素中取出3个元素作为一组，共有
种不同的取法；
（2）将取出的3个元素作全排列，共有
种不同的排法.
根据分步乘法计数原理，
所以，
合作探究
同理，求从n个元素中取出m个元素的排列数可以通过以下两个步骤得到：
（1）从n个元素中取出m个元素作为一组，共有
种不同的取法
（2）将取出的m个元素作全排列，共有
种不同的排法
根据分步乘法计数原理，
所以，
新知讲解
组合数公式
其中，m,n∈N
，且m≤n
因为
，则组合数公式还可以写成
规定：
例题讲解
例1
计算：（1）
（2）
（3）
（4）
解：根据组合数公式，可得
（1）
（2）
（3）
（4）
例题讲解
分析：例1中（1）与（2）的计算结果相同，（3）与（4）的计算结果相同.
（1）与（2）都是从10个元素中取部分元素的组合，其中，（1）取出3个元素，（2）取出7个元素，二者取出元素之和为总元素个数10.（3）与（4）同理.
思考：（1）分别观察例1中（1）与（2），（3）与（4）的计算结果，有什么发现？
（2）例1中（1）与（2）分别用了不同形式的组合数公式，对公式的选择有什么想法？
分析：当所选元素个数较多时，选择第二种组合数公式；当所选元素个数较少时，选用第一种组合数公式.
新知讲解
组合数性质
性质1
性质1说明：
（1）等式两边下标相同，上标之和等于下标.
（2）该性质适用于当m>n/2时，计算
可以转换为计算
，
使计算简单.
（3）当
时，则x=y或x+y=n.
所以
证明：
新知讲解
思考：一次旅游，有10名游客和1名导游。（1）从这10名游客与1名导游中抽取3名幸运奖，则有多少种不同的中奖情况？（2）从这10名游客与1名导游中抽取3名幸运奖，且导游必须中奖，则有多少种不同的中奖情况？（3）从这10名游客与1名导游中抽取3名幸运奖，且导游一定没有中奖，则有多少种不同的中奖情况？
解析：（1）
（2）
（3）
性质2
通过上面的情况我们发现：
新知讲解
性质2
通过上面的情况我们发现：
证明：
例题讲解
例2
在100件产品中，有98件合格品，2件次品.从这100件产品中任意抽出3件.
（1）有多少种不同的抽法？
解析：从100件产品中任意抽出3件，不需考虑顺序，因此是一个组合问题；
所以从100件产品中任意抽取3件的抽法种数为：
例题讲解
（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？
解析：可以先从2件次品中抽出1件，再从98件合格品中抽出2件.
先从2件次品中抽出1件的抽法有
种，再从98件合格品中抽出2件
的抽法有
种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法种数为：
例题讲解
（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？
解法一：从100件产品中抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有
2件次品两种情况.根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数为：
解法二：抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的抽法种数减去3件都是合格品的抽法种数，即：
课堂练习
1.
计算：
解：由组合数性质2可知，
因此，
2.
计算：
解：由题意可得
解得
又
,得n=10
课堂练习
3.
若6个人分4张无座的足球门票，每人至多分1张，而且票必须分完，那么不同分法的种数是（
）
A．64
B．46
C．15
D．360
C
4.
从10名学生中挑选出3名学生参加数学竞赛，不同的选法有（ ）
A．
种
B．3！
C．
种
D．以上均不对
C
5.
若
，则
n=
（
）
A．4
B．6
C．7
D．8
D
课堂练习
6.
十二生肖，又叫属相，依次为鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪．现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三名同学从中各选一个，甲没有选择马，乙、丙二人恰有一人选择羊，则不同的选法有（
）
A．242种
B．220种
C．200种
D．110种
C
7.
从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（
）
A．140种
B．420种
C．80种
D．70种
D
课堂练习
8.
要从6名男生4名女生中选出5人参加一项活动，按下列要求，各有多少种不同的选法？
（1）甲当选且乙不当选；
解：甲当选且乙不当选，只需从余下的8人中任选4人，有=70种选法.
（2）至多有3名男生当选
解：至多有3男当选时，应分三类：
第一类：3男2女，有种选法；
第二类：2男3女，有种选法；
第三类：1男4女，有种选法；
由分类加法计数原理，共有种选法.
拓展提高
9.
一个口袋内有3个不同的红球，4个不同的白球
（1）从中任取3个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？
根据分类计数原理,红球的个数不少于白球的个数的取法有1+12=13种.
解：（1）从中任取
个球，红球的个数不比白球少的取法：
红球3个，红球2个和白球1个，
当取红球3个时，取法有1种；
当取红球2个和白球1个时，取法有种；
拓展提高
（2）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取4个球，使总分不少
于6分的取法有多少种？
解：（2）使总分不少于
分情况有两种：红球2个和白球2个，红球3个和白球1个，
第一种，红球2个和白球2个，取法有种;
第二种，红球3个和白球1个，取法有种;
根据分类计数原理，使总分不少于6分的取法有18+4=22种.
拓展提高
男运动员6名，女运动员4名，其中男?女队长各1名.现选派5人外出参加
比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？
（1）男运动员3名，女运动员2名；
解：分两步完成：
第一步，选3名男运动员，有种选法；
第二步，选2名女运动员，有种选法，
由分步乘法计数原理可得，共有种选法.
拓展提高
（2）队长中至少有1人参加；
解：从10人中任选5人有种选法，其中不选队长的方法有种，
所以“至少有1名队长”的选法有
种.
（3）既要有队长，又要有女运动员
解：当有女队长时，其他人任意选，共有种选法；
当不选女队长时，必选男队长，共有种选法，其中不含女运动员的
选法有种，所以不选女队长时的选法共有种，
所以既要有队长又要有女运动员的选法共有种.
链接高考
11.
（2012全国高考真题（理））将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（
）
A．12种
B．10种
C．9种
D．
8种
A
12.
（2020海南高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（
）
A．2种
B．3种
C．6种
D．8种
C
链接高考
13.
（2010全国高考真题（理））某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（
）A．30种
B．35种
C．42种
D．48种
A
14.
（2018全国高考真题（理））从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）
16
课堂总结
2、组合数公式
1、组合数
板书设计
6.2.4
组合数
一、新知导入
二、新知讲解
组合数
三、例题讲解
四、课堂练习
五、拓展提高
六、课堂总结
七、作业布置
组合数公式
作业布置
课本P26~P27
练习
第1~15题
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php中小学教育资源及组卷应用平台
6.2.4组合数教学设计
课题
6.2.4组合数
单元
第六单元
学科
数学
年级
高二
学习
目标
1.掌握组合数概念及组合数公式并计算组合数.
2.能够使用组合数公式解决实际组合问题.
重点
组合数公式计算.
难点
使用组合数解决实际问题.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
新知导入：
情景一：从
a
,
b
,
c
三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是:
答：
ab
,
ac
,
bc
3种
情景二：已知4个元素a
,
b
,
c
,
d
,写出每次取出两个元素的所有组合：
答：
ab
,
ac
,
ad
,
bc
,
bd
,
cd
6种
上面两个问题中，通过一一列举得到符合要求的组合的个数，但是随着元素个数的增加，一一列举变得越来越复杂甚至变得不可能。那么能否像排列数一样，找到一个用来计算组合个数的公式，根据公式方便的计算出组合的个数？
学生思考问题，引出本节新课内容.
设置问题情境，激发学生学习兴趣，并引出本节新课.
讲授新课
新知讲解：组合数
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示.
问：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？
答：
问：组合与组合数有什么区别？
答：组合是指“从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素合成一组”，它不是一个数；
组合数是指“从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数”，它是一个正整数.
合作探究：组合数与排列数之间有什么关系？怎么利用排列数来求组合数？
（1）通过导入一：从
a
,
b
,
c
三个不同的元素中取出两个元素的组合数为
（2）从a,b,c,d
四个元素中任取三个元素的所有组合数.
分析：从4个元素中取出3个的排列数为，以”相同元素“为标准，将这24个元素分组，一共有4组，因此.
通过上图可以发现，求排列数也可以分为以下两个步骤：（1）从4个元素中取出3个元素作为一组，共有种不同的取法；（2）将取出的3个元素做全排列，共有种不同的排法.根据分步乘法计数原理，，所以，.
同理，求从n个元素中取出m个元素的排列数可以通过以下两个步骤得到：
（1）从n个元素中取出m个元素作为一组，共有
种不同的取法；（2）将取出的m个元素做全排列，共有种不同的排法；根据分步乘法计数原理，
，所以，.
新知讲解：组合数公式
其中，m,n∈N
，且m≤n.因为
，则
，规定：
例题讲解：
计算：（1）
（2）
（3）
（4）
答：（1）
（2）
（3）
（4）
思考：（1）分别观察例1中（1）与（2），（3）与（4）的计算结果，有什么发现？
答：例1中（1）与（2）的计算结果相同，（3）与（4）的计算结果相同.（1）与（2）都是从10个元素中取部分元素的组合，其中，（1）取出3个元素，（2）取出7个元素，二者取出元素之和为总元素个数10.（3）与（4）同理.
（2）例1中（1）与（2）分别用了不同形式的组合数公式，对公式的选择有什么想法？
答：当所选元素个数较多时，选择第二种组合数公式；当所选元素个数较少时，选用第一种组合数公式.
组合数性质：
性质1：
证明：
所以，
性质1说明：（1）等式两边下标相同，上标之和等于下标;（2）该性质适用于当m>n/2时，计算可以转换为计算，使计算简单;（3）当
时，则x=y或x+y=n.
思考：一次旅游，有10名游客和1名导游.（1）从这10名游客与1名导游中抽取3名幸运奖，则有多少种不同的中奖情况？（2）从这10名游客与1名导游中抽取3名幸运奖，且导游必须中奖，则有多少种不同的中奖情况？（3）从这10名游客与1名导游中抽取3名幸运奖，且导游一定没有中奖，则有多少种不同的中奖情况？
答：（1）
（2）
（3）
通过上面的情况我们发现：
性质2：
证明：
例2
在100件产品中，有98件合格品，2件次品.从这100件产品中任意抽出3件.
（1）有多少种不同的抽法？
答：从100件产品中任意抽出3件，不需要考虑顺序，因此是一个组合问题，所以从100件产品中任意抽取3件的抽法种数为：
（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？
答：可以先从2件次品中抽出1件，再从98件合格品中抽出2件，先从2件次品中抽出1件的抽法有种，再从98件合格品中抽出2件的抽法有种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法种数为：
（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？
解法一：从100件产品中抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况.根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数为：
解法二：抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的抽法种数减去3件都是合格品的抽法种数，即：
课堂练习：
计算：
答：由组合数性质2可知，，因此
2.
计算：
答：由题意可得：，解得
又
，得n=10
3.
若6个人分4张无座的足球门票，每人至多分1张，而且票必须分完，那么不同分法的种数是（
C
）
A．64
B．46
C．15
D．360
4.
从10名学生中挑选出3名学生参加数学竞赛，不同的选法有（ C ）
A．种
B．3！
C．种
D．以上均不对
5.
若，则
n=
（
D
）
A．4
B．6
C．7
D．8
6.
十二生肖，又叫属相，依次为鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪．现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三名同学从中各选一个，甲没有选择马，乙、丙二人恰有一人选择羊，则不同的选法有（
C
）
A．242种
B．220种
C．200种
D．110种
7.
从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（
D
）
A．140种
B．420种
C．80种
D．70种
8.
要从6名男生4名女生中选出5人参加一项活动，按下列要求，各有多少种不同的选法？
（1）甲当选且乙不当选；
答：甲当选且乙不当选，只需从余下的8人中任选4人，有=70种选法
（2）至多有3名男生当选
答：至多有3男当选时，应分三类：
第一类：3男2女，有种选法
第二类：2男3女，有种选法
第三类：1男4女，有种选法
由分类加法计数原理，共有
种选法
拓展提高：
9.
一个口袋内有3个不同的红球，4个不同的白球
（1）从中任取3个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？
答：（1）从中任取3个球，红球的个数不比白球少的取法：红球3个，红球2个和白球1个
当取红球3个时，取法有1种；
当取红球2个和白球1个时，取法有
种；
根据分类计数原理,红球的个数不少于白球的个数的取法有1+12=13种.
（2）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取4个球，使总分不少于6分的取法有多少种？
答：使总分不少于6分情况有两种：红球2个和白球2个，红球3个和白球1个.
第一种，红球2个和白球2个，取法有
种;第二种，红球3个和白球1个，取法有种;根据分类计数原理，使总分不少于6分的取法有18+4=22种.
10.
男运动员6名，女运动员4名，其中男?女队长各1名.现选派5人外出参加比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？
（1）男运动员3名，女运动员2名；
答：分两步完成：
第一步，选3名男运动员，有种选法；
第二步，选2名女运动员，有种选法
由分步乘法计数原理可得，共有
种选法.
（2）队长中至少有1人参加；
答：从10人中任选5人有种选法，其中不选队长的方法有种，所以“至少有1名队长”的选法有种
（3）既要有队长，又要有女运动员
答：当有女队长时，其他人任意选，共有种选法；
当不选女队长时，必选男队长，共有种选法，其中不含女运动员的选法有种，所以不选女队长时的选法共有种，所以既要有队长又要有女运动员的选法共有=191种
链接高考：
11.（2012全国高考真题（理））将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（
A
）
A．12种
B．10种
C．9种
D．8种
12.（2020海南高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（
C
）
A．2种
B．3种
C．6种
D．8种
13.（2010全国高考真题（理））某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（
A
）
A．30种
B．35种
C．42种
D．48种
14.（2018全国高考真题（理））从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____16_____种．（用数字填写答案）
学生根据不同的情境问题，探究组合数概念及组合数公式.
利用例题引导学生掌握并灵活运用组合与组合数公式解决实际问题
通过课堂练习，检验学生对本节课知识点的掌握程度，同时加深学生对本节课知识点的掌握及运用
利用不同的情境问题，探究组合数的概念及组合数，培养学生探索的精神.
加深学生对基础知识的掌握，并能够灵活运用基础知识解决具体问题
通过练习，巩固基础知识，发散学生思维，培养学生思维的严谨性和对数学的探索精神.
课堂小结
组合数
组合数公式
学生回顾本节课知识点，教师补充.
让学生掌握本节课知识点，并能够灵活运用.
板书
§6.2.4
组合数
一、新知导入
三、例题讲解
二、新知讲解
四、课堂练习
1.组合数
五、拓展提高
2.组合数公式
六、课堂总结
七、作业布置
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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