第7章 功能关系　能量守恒定律 复习学案 Word版含答案

功能关系　能量守恒定律
知识梳理
一、功能关系
1.内容
(1)功是　　　　　　　　的量度,即做了多少功,就有多少能量发生了转化。?
(2)做功的过程一定伴随有能量的转化,而且能量的转化必须通过做功来实现。
2.做功对应变化的能量形式
(1)合外力做的功影响物体的　　　　的变化。?
(2)重力做的功影响物体　　　　　　　　的变化。?
(3)弹簧弹力做的功影响　　　　　　　　的变化。?
(4)除重力或系统内弹力以外的力做功影响物体　　　　　　的变化。?
(5)滑动摩擦力做的功影响　　　　　　　　的变化。?
(6)电场力做的功影响　　　　　　的变化。?
(7)分子力做的功影响　　　　　　　　的变化。?
二、能量守恒定律
1.内容
能量既不会　　　　　　　　,也不会凭空消失,它只能从一种形式　　　　为另一种形式,或者从一个物体　　　　到别的物体,在转化或转移的过程中,能量的总量　　　　　　　　。?
2.表达式
(1)E1=E2。
(2)ΔE减=　　　　。?
注:静摩擦力做功只有能量的转移,没有能量的转化,而一对滑动摩擦力做功既有能量的转移,又有能量的转化,其中Q=Ffx相对。当涉及滑动摩擦力做功,机械能不守恒时,经常应用能量守恒定律。

考点自诊
1.判断下列说法的正误。
(1)力对物体做了多少功,物体就具有多少能。(　　)
(2)能量在转移或转化过程中,其总量会不断减少。(　　)
(3)在物体的机械能减少的过程中,动能有可能是增大的。(　　)
(4)滑动摩擦力做功时,一定会引起机械能的转化。(　　)
(5)一个物体的能量增加,必定有别的物体能量减少。(　　)
2.(多选)平直公路上行驶中的汽车制动后滑行一段距离,最后停下;流星在夜空中坠落并发出明亮的光焰;降落伞在空中匀速下降;条形磁铁在下落过程中穿过闭合线圈,线圈中产生电流。上述不同现象中所包含的相同的物理过程是(　　)
A.物体克服阻力做功
B.物体动能转化为其他形式的能量
C.物体势能转化为其他形式的能量
D.物体机械能转化为其他形式的能量
3.(多选)在离水平地面h高处将一质量为m的小球水平抛出,在空中运动的过程中所受空气阻力大小恒为f,落地时小球距抛出点的水平距离为x,速率为v,那么,在小球运动的过程中(　　)
A.重力做功为mgh
B.克服空气阻力做的功为fh2+x2
C.落地时重力的瞬时功率为mgv
D.重力势能和机械能都逐渐减少

4.(新教材人教版必修第二册P99习题改编)如图,粗糙水平面AB与竖直面内的光滑半圆形导轨在B点相接,导轨半径为R。一个质量为m的物体将弹簧压缩至A点后由静止释放,在弹力作用下物体获得某一向右速度后脱离弹簧,如果物体恰好沿半圆形导轨运动到达最高点C,AB间的距离为d,粗糙水平面的动摩擦因数为μ,重力加速度为g。求弹簧压在A点的弹性势能。

关键能力学案突破　
考点一　功能关系的理解和应用(师生共研)
1.对功能关系的理解
(1)做功的过程是能量转化的过程。不同形式的能量发生相互转化是通过做功来实现的。
(2)功是能量转化的量度,功和能的关系,一是体现为不同的力做功,对应不同形式的能转化,具有一一对应关系,二是做功的多少与能量转化的多少在数量上相等。
2.功是能量转化的量度,力学中几种常见的功能关系如下


【典例1】(多选)如图,小球套在光滑的竖直杆上,轻弹簧一端固定于O点,另一端与小球相连。现将小球从M点由静止释放,它在下降的过程中经过了N点。已知在M、N两点处,弹簧对小球的弹力大小相等,且∠ONM<∠OMN<π2。在小球从M点运动到N点的过程中(　　)
A.弹力对小球先做正功后做负功
B.小球的机械能一直增加
C.弹簧长度最短时,弹力对小球做功的功率为零
D.小球到达N点时的动能等于其在M、N两点间的重力势能之差
解题指导
审题

关键词句
分析解读
光滑的竖直杆
没有摩擦力
由静止释放
初动能为零
M、N两点处,弹簧对小球的弹力大小相等
弹性势能相等
∠ONM<∠OMN<π2
开始弹簧压缩,后弹簧处于伸长状态

破题(1)对小球受力分析后可判断各力做功情况,弹簧的弹力对小球做负功,小球机械能减小;弹簧长度最短时,弹力方向与速度垂直,功率为零。(2)M、N两点处,弹簧对小球的弹力大小相等,弹性势能相等,根据动能定理可判断选项D。


　　1.分清是什么力做功,并且分析该力做正功还是做负功;根据功能之间的对应关系,判断能的转化形式,确定能量之间的转化情况。


　　2.对于涉及弹簧的功能关系的问题要把握两点:
(1)弹簧的弹性势能与弹簧的规格和形变程度有关,对同一根弹簧而言,无论是处于伸长状态还是压缩状态,只要形变量相同,则其储存的弹性势能就相同。
(2)弹性势能公式Ep=12kx2,可记住该式做定性分析;与弹簧相关的功能问题一般利用动能定理或能量守恒定律求解。

对点演练

1.(2020陕西咸阳实验中学月考)如图所示,一质量为m,长度为l的均匀柔软细绳PQ竖直悬挂。用外力将绳的下端Q缓慢地竖直向上拉起至M点,M点与绳的上端P相距13l。重力加速度大小为g。在此过程中,外力做的功为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.19mgl B.16mgl C.13mgl D.12mgl
2.一质量为m的物体放在倾角为θ且足够长的光滑固定斜面上,初始位置如图甲所示,在平行于斜面的力F的作用下由静止开始沿斜面运动,运动过程中物体的机械能E随位置x的变化关系如图乙所示。其中0~x1过程的图线是曲线,x1~x2过程的图线是平行于x轴的直线,x2~x3过程的图线是倾斜的直线,则下列说法正确的是(　　)

A.在0~x1的过程中,物体向上运动
B.在0~x1的过程中,物体的加速度一直增大
C.在x1~x2的过程中,物体的速度大小不变
D.在0~x3的过程中,物体的速度方向先沿斜面向上再沿斜面向下
考点二　摩擦力做功与能量转化(师生共研)
1.两种摩擦力的做功情况比较

比较项目
静摩擦力
滑动摩擦力
不
同
点
能量的转
化方面
只有能量的转移,而没有能量的转化
两种可能效果:
①机械能全部转化为内能;
②有一部分机械能在相互摩擦的物体间转移,另外一部分转化为内能

一对摩擦
力的总功
方面
一对静摩擦力所做功的代数和等于零
一对滑动摩擦力所做功的代数和不为零,总功W=-Ff·l相对,即摩擦时产生的热量


续　表

比较项目
静摩擦力
滑动摩擦力
相同点
两种摩擦力对物体可以做正功、负功,还可以不做功

2.求解相对滑动物体的能量问题的方法
(1)正确分析物体的运动过程,做好受力情况分析。
(2)利用运动学公式,结合牛顿第二定律分析物体的速度关系及位移关系。
(3)公式Q=Ff·l相对中l相对为两接触物体间的相对位移,若物体在传送带上做往复运动,则l相对为总的相对路程。

【典例2】如图所示,AB为半径R=0.8 m的14光滑圆弧轨道,下端B恰与小车右端平滑对接。小车质量m0=3 kg,车长l=2.06 m,车上表面距地面的高度h=0.2 m。现有一质量m=1 kg的滑块,由轨道顶端无初速释放,滑到B端后冲上小车。已知地面光滑,滑块与小车上表面间的动摩擦因数μ=0.3,当车运动了1.5 s时,车被地面装置锁定。g取10 m/s2,试求:
(1)滑块到达B端时,轨道对它支持力的大小;
(2)车被锁定时,车右端距轨道B点的距离;
(3)从车开始运动到被锁定的过程中,滑块与车面间由于摩擦而产生的内能大小。
解题指导
审题

关键词句
分析解读
14光滑圆弧轨道
凹形路面模型
已知地面光滑
小车与地面无摩擦
当车运动了1.5s时,车被地面装置锁定
1.5s前板块模型,后滑块减速运动

破题(1)滑块从A点到B点的运动为圆周运动。B点为圆轨道的最低点,重力和支持力的合力提供向心力。(2)滑块在小车上的运动,属于板块模型。滑块和小车所受摩擦力及运动示意图如图所示。













　　摩擦力做功的分析方法:一是无论是滑动摩擦力,还是静摩擦力,计算做功时都是用力乘以对地位移。二是计算摩擦生热时是用力乘以相对位移,若物体在传送带上做往复运动,则是力乘以总的相对路程。

对点演练
3.(多选)(2021年1月辽宁省适应性测试)如图所示,甲、乙两滑块的质量分别为1 kg、2 kg,放在静止的水平传送带上,两者相距5 m,与传送带间的动摩擦因数均为0.2。t=0时,甲、乙分别以6 m/s、2 m/s的初速度开始向右滑行。t=0.5 s时,传送带启动(不计启动时间),立即以3 m/s的速度向右做匀速直线运动,传送带足够长,重力加速度取10 m/s2。下列说法正确的是(　　)

A.t=0.5 s时,两滑块相距2 m
B.t=1.5 s时,两滑块速度相等
C.0~1.5 s内,乙相对传送带的位移大小为0.25 m
D.0~2.5 s内,两滑块与传送带间摩擦生热共为14.5 J
4.

(2020河北石家庄模拟)如图所示,在光滑水平面上,质量为m=4 kg的物块左侧压缩一个劲度系数为k=32 N/m的轻质弹簧,弹簧与物块未栓接。物块与左侧竖直墙壁用细线连接,使物块静止在O点,水平面A点与一顺时针匀速转动且倾角θ=37°的传送带平滑连接。已知xOA=0.25 m,传送带顶端为B点,LAB=2 m,物块与传送带间动摩擦因数μ=0.5。现剪断细线同时给物块施加一个初始时刻为零的变力F,使物块从O点到B点做加速度大小恒定的加速运动。物块运动到A点时弹簧恰好恢复原长,运动到B点时撤去力F,物块沿平行AB方向抛出,C为运动的最高点。传送带转轮半径远小于LAB,不计空气阻力,重力加速度g取10 m/s2。
(1)求物块从B点运动到C点,竖直位移与水平位移的比值;
(2)若传送带速度大小为5 m/s,求物块与传送带间由于摩擦产生的热量;
(3)若传送带匀速顺时针转动的速度大小为v,且v的取值范围为2 m/s








考点三　能量守恒及转化问题的综合应用(师生共研)
1.列能量守恒定律方程的两条基本思路
(1)某种形式的能量减少,一定存在其他形式的能量增加,且减少量和增加量一定相等;
(2)某个物体的能量减少,一定存在其他物体的能量增加,且减少量和增加量一定相等。
2.运用能量守恒定律解题的基本思路

3.多过程问题的解题技巧
(1)“合”——初步了解全过程,构建大致的运动图景。
(2)“分”——将全过程进行分解,分析每个过程的规律。
(3)“合”——找到子过程间的联系,寻找解题方法。
【典例3】(2020浙江杭州期末)如图所示,是一个简化后的娱乐项目示意图,游客被安全地固定在球型装备(看成质点,图中未画出)内,被弹射系统水平贴地弹出后即刻进入长为L=5 m的水平轨道SO。O点既是水平轨道的末端,也是半圆轨道OA的起点,以O点为坐标原点建立水平向右的x轴。竖直半圆轨道OA与AB(O、A、B在同一条竖直线上,B点为半圆轨道AB的最高点,该处切线水平)的半径均为R=2 m,它们在A点衔接,不计衔接处的缝隙大小和装备运行到此处的能量损失。半圆轨道OA的右侧是一片水域,水面略低于半径r=2 m的水平圆盘,MN是圆盘的竖直支架(它与半圆轨道在同一竖直面内),N点是圆盘的圆心,M点可以左右移动,水平圆盘不能和半圆轨道OA重叠。若球型装备与SO之间的动摩擦因数μ=0.2,与两半圆轨道的摩擦不计,圆盘转轴NM的高度H=2 m,不计空气阻力,球型装备的质量为50 kg,在某次设备测试中,让球型装备空载运行。

(1)为了能让装备安全到达B点,则弹射系统应至少给装备提供多少能量?
(2)若装备恰好能安全到达B点,此后为让装备能落到水平圆盘上,求M点的坐标范围。
(3)若M点的坐标为x=6 m,为让装备能落到水平圆盘上,求弹射系统提供给装备的能量。
解题指导
审题

关键词句
分析解读
装备恰好能安全到达B点
在B点时,重力提供向心力
若M点的坐标为x=6m
球型装备运动的水平位移为4~8m

破题根据装备恰好到达B点,由圆周运动的特点可求出装备到达B点的速度,从弹出到B点,根据能量守恒可求出系统提供的能量;由平抛运动的特点求出水平位移,由题意求坐标范围;根据平抛运动的特点求出装备到达B点的速度范围,由能量守恒定律求弹射系统提供的能量的范围。

















　　用能量转化观点解决问题的基本解题思路
(1)当涉及摩擦力做功,机械能不守恒时,一般应用能的转化和守恒定律。
(2)解题时,首先确定初末状态,然后分析状态变化过程中哪种形式的能量减少,哪种形式的能量增加,求出减少的能量总和ΔE减与增加的能量总和ΔE增,最后由ΔE减=ΔE增列式求解。

对点演练

5.如图所示为一种环保“重力灯”,让重物缓慢下落,拉动绳子,从而带动发电机转动,使小灯泡发光,这种灯可替代煤油灯。某“重力灯”中的重物为18 kg,它在30 min内缓慢下落了2 m,使规格为“1.5 V,0.12 W”的小灯泡正常发光。不计绳子重力,则以下说法正确的是(　　)
A.绳子拉力对重物做正功
B.重物重力做功的功率为0.12 W
C.30 min内产生的电能为360 J
D.重物重力势能转化为灯泡电能的效率为60%

6.(多选)(2020安徽安庆高三二模)如图所示,倾角为θ的斜面底部固定一轻质弹簧,有一可视为质点其质量为m的小滑块从斜面上P点以某一初速度匀速下滑,一段时间后压缩弹簧至最低点Q,已知PQ的距离为x,被弹簧反弹后物块恰能返回到P点。在滑块从P点匀速下滑到恰能返回到P点的过程中,下列判断正确的是(　　)
A.在此过程中弹簧的最大弹性势能为mgxsin θ
B.物块下滑的初速度为2gxsinθ
C.增大物块的质量,物块仍从P点以原来的初速度下滑,则物块仍恰能滑回到P点
D.增大物块的质量,物块仍从P点以原来的初速度下滑,则物块不能滑回到P点







　功能关系　能量守恒定律
必备知识·预案自诊
知识梳理
一、功能关系
1.(1)能量转化
2.(1)动能　(2)重力势能　(3)弹性势能　(4)机械能　(5)系统内能　(6)电势能　(7)分子势能
二、能量守恒定律
1.凭空产生　转化　转移　保持不变
2.(2)ΔE增
考点自诊
1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√
2.AD　汽车在水平路面制动过程中,动能用于克服阻力做功,转化为内能;流星坠落过程中,机械能转化为内能、光能;降落伞在空中匀速下落,重力势能转化为内能,条形磁铁下落过程中在线圈中产生电流,是机械能克服阻力做功,转化为电能,故这些现象所包含的相同过程为物体均克服阻力做功,均有机械能转化为其他形式的能,选项A、D正确,B、C错误。
3.AD　重力做功为WG=mgh,A正确;空气阻力做功与经过的路程有关,而小球经过的路程大于h2+x2,故克服空气阻力做的功大于fh2+x2,B错误;落地时,重力的瞬时功率为重力与沿重力方向的分速度的乘积,故落地时重力的瞬时功率小于mgv,C错误;重力做正功,重力势能减少,空气阻力做负功,机械能减少,D正确。
4.答案μmgd+52mgR
解析因为物块恰好能通过C点,则有:
mg=mvC2R,
从A到C,根据能量守恒得Ep=μmgd+mg2R+12mvC2=μmgd+52mgR。
关键能力·学案突破
典例1CD　小球在从M点运动到N点的过程中,弹簧的压缩量先增大后减小,到某一位置时,弹簧处于原长,再继续向下运动到N点的过程中,弹簧又伸长。弹簧的弹力方向与小球速度的方向的夹角先大于90°,再小于90°,最后又大于90°,因此弹力先做负功,再做正功,最后又做负功,A项错误;弹簧对小球先做负功,再做正功,最后又做负功,所以小球的机械能先减小后增大,然后再减小,B错误;弹簧长度最短时,弹力与小球的速度方向垂直,这时弹力对小球做功的功率为零,C项正确;由于在M、N两点处,弹簧的弹力大小相等,即弹簧的形变量相等,根据动能定理可知,小球从M点到N点的过程中,弹簧的弹力做功为零,重力做功等于动能的增量,即小球到达N点时的动能等于其在M、N两点间的重力势能之差,D项正确。
对点演练
1.A　以均匀柔软细绳MQ段为研究对象,其质量为23m。取M点所在的水平面为零势能面,开始时,细绳MQ段的重力势能Ep1=-23mg·l3=-29mgl,当用外力将绳的下端Q缓慢地竖直向上拉起至M点时,细绳MQ段的重力势能Ep2=-23mg·l6=-19mgl,则外力做的功即克服重力做的功等于细绳MQ段的重力势能的变化量,即W=Ep2-Ep1=-19mgl+29mgl=19mgl,故A正确。
2.B　物体机械能由重力势能和动能构成,所以拉力做的功等于物体机械能的变化量,即ΔE=F·Δx,则F=ΔEΔx,所以图线的斜率表示拉力,在0~x1过程中物体机械能在减小,则拉力在做负功,拉力方向沿斜面向上,所以物体的位移方向向下,即物体沿斜面向下运动,A错误;在0~x1过程中图线的斜率逐渐减小到零,可知物体的拉力逐渐减小到零,根据牛顿第二定律,加速度a=mgsinθ-Fm,可知加速度一直增大,B正确;在x1~x2的过程中,拉力F=0,物体机械能守恒,物体向下运动,重力势能减小,速度增大,C错误;在0~x3的过程中,拉力沿斜面向下,结合C选项分析可知物体一直沿斜面向下加速运动,D错误。
典例2答案(1)30 N　(2)1 m　(3)6 J
解析(1)由机械能守恒定律和牛顿第二定律得mgR=12mvB2
FN-mg=mvB2R
解得FN=30N。
(2)设滑块滑上小车后经过时间t1与小车同速,共同速度大小为v,对滑块有μmg=ma1,v=vB-a1t1
对于小车:μmg=m0a2,v=a2t1
解得v=1m/s,t1=1s<1.5s
故滑块与小车同速后,小车继续向左匀速行驶了0.5s,则小车右端距B点的距离为l车=v2t1+v(1.5s-t1)=1m。
(3)Q=μmgl相对=μmg(vB+v2t1-v2t1)=6J。
对点演练
3.BCD　两物体变速运动时的加速度大小a=μmgm=μg=2m/s2,根据x=v0t-12at2,t=0.5s时,两滑块相距Δx=x0-v1t-12at2+v2t-12at2=3m,A错误;传送带启动时,甲物体的速度为v1'=v1-at=5m/s,与皮带速度相等所用时间Δt1=v1'-v0a=1s,因此在t=1.5s时,甲滑块速度与皮带相等,传送带启动时,乙物体的速度为v2'=v2-at=1m/s,与皮带速度相等所用时间Δt2=v0-v2'a=1s,因此在t=1.5s时,乙滑块速度与皮带相等,故1.5s时,两滑块速度相等,B正确;0~0.5s内,乙相对传送带的位移大小为x1=v2t-12at2=0.75m,0.5~1.5s内,乙相对传送带的位移大小为x2=v0t-v2't+12at2=1m,因此0~1.5s内,乙相对传送带的位移大小为x2-x1=0.25m,C正确;甲相对传送带的位移x甲=v1t-12at2-v0t1'=6×1.5m-12×2×1.52m-3×1m=3.75m,甲滑块与传送带间摩擦生热Q1=μm1g·x甲=7.5J,乙滑块与传送带间摩擦生热Q2=μm2g(x1+x2)=7J
因此0~2.5s内,两滑块与传送带间摩擦生热Q=Q1+Q2=14.5J,D正确。故选BCD。
4.答案(1)38　(2)48 J　(3)W=105-8v2
解析(1)设物块从B运动到C的时间为t,BC的竖直距离:h=12v0sinθ·t
BC的水平距离为:x=v0cosθ·t
代入数据解得:hx=38。
(2)在O点由牛顿第二定律得:kxOA=ma
代入数据解得:a=2m/s2
由vA2=2axOA得:vA=1m/s
到达B点时:vB2=2a(xOA+LAB)
代入数据得:vB=3m/s
物块从A到B运动时间:t=vB-vAa=1s
物块与传送带间摩擦产生的热量:
Q=μmgcosθ(v传t-LAB)
代入数据解得:Q=48J。
(3)物块在水平面上受到弹簧的弹力与拉力F,由牛顿第二定律得:
F+k(xOA-x平)=ma
可知力F随位移x平线性变化,则:
W1=FxOA=12ma·xOA
代入数据解得:W1=1J
若传送带速度2m/s F1+μmgcosθ-mgsinθ=ma
解得:F1=16N
由速度位移关系得:v2-vA2=2ax1
物块的速度大于v时受到的摩擦力的方向向下,由牛顿第二定律得:
F2-μmgcosθ-mgsinθ=ma
解得:F2=48N
由A到B拉力做的功:
W2=F1x1+F2(LAB-x1)
解得:W2=104-8v2
拉力做的总功:W=W1+W2=105-8v2。
典例3答案(1)5 000 J
(2)4 m≤xM≤(26+2)m
(3)5 000 J 解析(1)装备恰好能安全到达B点,在最高点B根据牛顿第二定律可得:mg=mvB2R
根据能量关系可得:E1=μmgL+mg·4R+12mvB2
解得:E1=5000J;
(2)根据平抛运动的知识可得,竖直方向上:4R-H=12gt2
计算可得落到圆盘上需要时间:t=65s
水平方向上有:x=vBt
解得:x=26m
由于水平圆盘不能和半圆轨道OA重叠,水平圆盘的半径为2m,所以M点的坐标范围为4m≤xM≤(26+2)m;
(3)M点的坐标为x=6m时,圆盘在坐标上的范围为(4m,8m),由于4m<26m<8m,故最小能量为:E1=5000J
若装备恰好落在圆盘右侧边缘,根据x'=vB't可得,B点的速度为:vB'=x't=856m/s
最大能量为:E2=μmgL+mg·4R+12mvB'2=175003J=5833J
弹射系统提供给装备的能量范围为5000J 对点演练
5.D　绳子拉力方向竖直向上,重物竖直向下运动,故绳子拉力对重物做负功,故A错误;重物重力做功的功率为P=Wt=mght=18×10×230×60W=0.2W,故B错误;30min内产生的电能为W电=P灯泡t=0.12×30×60J=216J,故C错误;重物重力势能转化为灯泡电能的效率为η=W电W重=21618×10×2=60%,故D正确。
6.BD　滑块下滑至最低点过程中,由能量守恒得Epmax+μmgxcosθ=mgxsinθ+12mv2,滑块反弹后的上滑过程中,由能量守恒得Epmax=mgxsinθ+μmgxcosθ,且有mgsinθ=μmgcosθ,联立解得v=2gxsinθ,Epmax=2mgxsinθ,故A错误,B正确;增大物块的质量,物块仍从P点以原来的初速度下滑,从物块接触弹簧到最低点有Epmax+μMgLcosθ=MgLsinθ+12Mv2,从最低点到物块离开弹簧有Epmax=MgLsinθ+μMgLcosθ+12Mv'2,由此可知,物块离开弹簧的速度小于下滑过程中刚接触弹簧时的速度,从物块开始运动到刚接触弹簧,重力势能转化为产生的热量,而物块离开弹簧到最高点,动能转化为重力势能和产生的热量,则物块不能滑回到P点,故C错误,D正确。