6.3.2 二项式系数的性质-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册课件(共23张PPT)

(共23张PPT)
6.3.2
二项式系数的性质
高二数学选择性必修
第三册
第六章
计数原理
学习目标
1.理解和掌握二项式系数的性质，并会
进行简单的应用;
2.理解和初步掌握赋值法及其应用;
3.能灵活应用二项式系数的性质求二项展开式
系数最大项.
4.核心素养:
数学抽象、数学运算。
1、二项式定理:
二项式系数:
通
项:
一、回顾旧知
1.计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表:
通过计算填表,你发现了什么?
n
(a+b)n展开式的二项式系数
1
2
3
4
5
6
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
每一行的系数具有对称性
除此以外还有什么规律呢?
二、探究新知
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
上表写成如下形式:
1
7
21
35
35
21
7
1
…
…
…
…
…
…
1
Cn-11
Cn-12
……
Cn-1k-1
Cn-1k
……
Cn-1n-2
1
能借助上面的表示形式发现一些新的规律吗?
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
上表写成如下形式:
①在同一行中,每行两端都是1,与这两个1等距离
的项的系数相等.
②在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于
它“肩上”两个数的和.
杨辉三角
这样的二项式系数表,早在我国南宋数学家杨辉
1261
年所著的《详解九章算法》一书里就已经出现了,在这本书里,记载着类似右侧的表：
早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的
《详解九章算法》二项式系数表，在书中
说明了表里
“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和;指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪(约公元11世纪)已经用过它.这表明我国发现这个表不晚于11世纪在欧洲,这个表被认为是法国数学家帕斯卡(1623-1662)首先发现的,他们把这个表叫做帕斯卡三角.这就是说,杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右.
展开式的二项式系数依次是：
从函数角度看，
可看成是以r为自变量的函数
,其定义域是：
当n=
6时,
其图象是7个孤立点
f（r）
r
6
3
O
6
15
20
1
2.
二项式系数的性质
1).对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
这一性质可直接由公式
得到．
图象的对称轴：
f（r）
r
6
3
O
6
15
20
1
3.
二项式系数的性质
2).增减性与最大值
所以
相对于
的增减情况由
决定
由：
可知，当
时，
二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的,且中间项取得最大值
3.
二项式系数的性质
f（r）
r
n
O
O
n
f（r）
n为奇数
n为偶数
当n是偶数时，中间的一项
取得最大值.
当n是奇数时，中间的两项
和
相等,且同时取得最大值
3).各二项式系数的和
在二项式定理中,令
，则：
这就是说，
的展开式的各二项式系数的和等于
同时由于
上式还可以写成：
这是组合总数公式.
3.
二项式系数的性质
一般地，
展开式的二项式系数
有如下性质：
(1).
(2).
(3).当
时，
(4).
当
时，
1.例1.证明:在(a+b)n
的展开式中,奇数项的二项式
系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
在展开式
证明:
得
即
赋值法
中
三、应用新知
=2n-1
(1).已知
,那么
=
；
2.变式训练1
(3).在(a＋b)20展开式中,与第五项的系数相同的项是
(
).
A
第15项
B
第16项
C
第17项
D
第18项
C
(2).若
的展开式中的第十项和第十一项
的二项式系数最大，则n=
；
(4).在(a＋b)10展开式中,系数最大的项是(
).
A第6项
B第7项
C第6项和第7项
D第5项和第7项
A
(5).在(a－b)10展开式中,系数最大的项是(
).
A第6项
B第7项
C第6项和第7项
D第5项和第7项
D
2.变式训练1
在
展开式中
(1).求二项式系数的和;
3.例2.
(2).各项系数的和;
(3).奇数项的二项式系数和与偶数项的
二项式系数和;
(4).奇数项的系数和与偶数项的系数和.
1024
1
512
1).已知:(2x+1)10=a0x10+
a1x9+
a2x8+…+a9x+
a10,
(1).求a0+
a1+
a2+……
+a9+
a10的值;
(2).求a0+
a2+
a4+……
+
a10的值.
4.变式训练2
结论:
D
4.变式训练2
5.例3
求证：
＞
(n∈N,且n≥2)
证明:
又∵n≥2,上式至少有三项,且
＞0
∴
＞
(n∈N，且n≥2)
证明:要证
成立
5.变式训练3
只需证
成立
所以原不等式成立
1.二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的
组合数,它有三条性质,要理解和掌握好;
2.注意“系数”与“二项式系数”的区别,不能
混淆,只有二项式系数最大的才是中间项，而
系数最大的不一定是中间项;
3.理解和掌握“赋值法”，它是解决有关二项
展开式系数的问题的重要手段.
四、课堂小结
作业:
课本P35
习题6.3
9、10题