(共9张PPT)
王戎说:“如果李子是甜的,树长在路边,李子早就没了！李子现在还那么多,所以啊,肯定李子是苦的，不好吃! ”
唐·吉诃德悖论
M：小说《唐·吉诃德》里描写过一个国家．它有一条奇怪的法律：每一个旅游者都要回答一个问题。问，你来这里做什么？M：如果旅游者回答对了。一切都好办。如果回答错了，他就要被绞死。
M：一天，有个旅游者回答——
旅游者：我来这里是要被绞死。
M：这时，卫兵慌了神，如果他们不把这人绞死，他就说错了，就得受绞刑。可是，如果他们绞死他，他就说对了，就不应该绞死他。
M：为了做出决断，旅游者被送到国王那里。苦苦想了好久，国王才说——
国王：不管我做出什么决定，都肯定要破坏这条法律。我们还是宽大为怀算了，让这个人自由吧。
反证法：
假设命题结论的反面成立，经过正确的推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法。
反证法的思维方法：
正难则反
反证法的基本步骤：
（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成-------立；
（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
（3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结 ------论正确
归缪矛盾：
（1）与已知条件矛盾；
（2）与已有公理、定理、定义矛盾；
（3）自相矛盾。
应用反证法的情形：
(1)直接证明困难;
(2)需分成很多类进行讨论．
（3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” ---类命题；
（4）结论为 “唯一”类命题；
例1：用反证法证明：
如果a>b>0，那么
例2 求证： 是无理数。
例3:用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。
已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于点P，且AB、CD不是直径.求证：弦AB、CD不被P平分.
P
O
B
A
D
C
由于P点一定不是圆心O，连结OP，根据垂径定理的推论，有OP⊥AB，OP⊥CD，
所以，弦AB、CD不被P平分。
证明：
假设弦AB、CD被P平分，
即过点P有两条直线与OP都垂直，这与垂线性质矛盾。(共12张PPT)
大前提：刑法规定抢劫罪是以非法占有为目的，使用暴力、胁迫或其他方法，强行劫取公私财物的行为。其刑事责任年龄起点为14周岁，对财物的数额没有要求。
小前提：小明超过14周岁，强行向路人抢取钱财50元。
结论：小明犯了抢劫罪。
小明是一名高二年级的学生，17岁，迷恋上网络，沉迷于虚拟的世界当中。由于每月的零花钱不够用，便向亲戚要钱，但这仍然满足不了需求，于是就产生了歹念，强行向路人抢取钱财。但小明却说我是未成年人而且就抢了50元，这应该不会很严重吧？？
观察与是思考
1.所有的金属都能导电,
2.一切奇数都不能被2整除,
3.三角函数都是周期函数,
4.全等的三角形面积相等
所以铜能够导电.
因为铜是金属,
所以(2100+1)不能被2整除.
因为(2100+1)是奇数,
所以是tan 周期函数
因为tan 三角函数,
那么三角形ABC与三角形A1B1C1面积相等.
如果三角形ABC与三角形A1B1C1全等,
大前提
小前提
结论
大前提
小前提
结论
从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．
（一）、演绎推理的定义:
（二）、演绎推理的模式:
“三段论”是演绎推理的一般模式；
M……P（M是P)
S……M (S是M)
S……P (S是P)
大前提---已知的一般原理；
小前提---所研究的特殊对象；
结论---据一般原理，对特殊
对象做出的判断．
M
S
P
若集合M的所有元素
都具有性质P，S是M
的一个子集，那么S
中所有元素也都具有
性质P。
所有的金属(M)都能够导电(P)
铜(S)是金属(M)
铜(S)能够导电(P)
M……P
S……M
S……P
用集合的观点来理解:三段论推理的依据
例.如图;在锐角三角形ABC中,AD⊥BC, BE⊥AC,
D,E是垂足,求证AB的中点M到D,E的距离相等.
A
D
E
C
M
B
(1)因为有一个内角是只直角的三角形是直角三角形,
在△ABC中,AD⊥BC,即∠ADB=900
所以△ABD是直角三角形
同理△ABD是直角三角形
(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,
M是Rt△ABD斜边AB的中点,DM是斜边上的中线
所以 DM= AB
同理 EM= AB
所以 DM = EM
大前提
小前提
结论
大前提
小前提
结论
证明:
例:证明函数f(x)=-x2+2x在(-∞,1]上是增函数.
满足对于任意x1,x2∈D,若x1任取x1,x2 ∈(-∞,1] 且x1f(x1)-f(x2)=(-x12+2x1)-(x22+2x2)
=(x2-x1)(x1+x2-2) 因为x10
因为x1,x2≤1所以x1+x2-2<0
因此f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)所以函数f(x)=-x2+2x在(-∞,1]上是增函数.
大前提
小前提
结论
证明:
（1）因为指数函数 是增函数，
而 是指数函数，
所以 是增函数。
错因：大前提是错误的，所以结论是错误的。
思考、演绎推理的结论一定正确吗？
（2）如图：在△ABC中，AC>BC,CD是AB边上的高，求证∠ACD＞∠BCD。
A
C
D
B
证明：
在△ABC中，
因为CD⊥AB，AC＞BC
所以AD>BD,
于是∠ACD＞∠ BCD。
错因：偷换概念
1、如图，在△ABC 中，AC > BC , CD是AB上的高，
求证： ∠ACD > ∠BCD.
证明：
在△ABC 中，因为 ,
AC > BC, 所以AD > BD，
于是∠ACD > ∠BCD.
指出上面证明过程中的错误。
根据AD > BD，不能推出∠ACD > ∠BCD.
因为在同一个三角形中，才有大边对大角，AD和BD不是同一 个三角形的边。
正确的证法：
在△ABC 中， ∵ AC > BC ，∴ ∠B > ∠A
另解:
推 理
合情推理
（或然性推理）
演绎推理
（必然性推理）
归纳
(特殊到一般）
类比
（特殊到特殊）
三段论
（一般到特殊）
合情推理与演绎推理的区别
合情推理 演绎推理
归纳推理 类比推理
区别 推理
形式 由部分到整体、个别到一般的推理。 由特殊到特殊的推理。
由一般到特殊的推理。
推理结论 结论不一定正确，有待进一步证明。 在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确。
联系 合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的方向和思路一般是通过合情推理获得的。(共28张PPT)
要甜的，好吃的！
从前有一位富翁想吃芒果,打发他的仆人到果园去买,并告诉他:"要甜的,好吃的,你才买."仆人拿好钱就去了.
到了果园,园主说:"我这里树上的芒果个个都是甜的,你尝一个看."仆人说:"我尝一个怎能知道全体呢 我应当个个都尝过,尝一个买一个,这样最可靠."仆人于是自己动手摘芒果,摘一个尝一口,甜的就都买回去.带回家去,富翁见了,觉得非常恶心,一齐都扔了.
尝一个 ，怎么知道全体呢？我得尝一个买一个
尝一个，怎么知道全体呢？我得尝一个买一个
想一想：
故事中仆人的做法实际吗？
换作你，你会怎么做？
第一个芒果是甜的
第二个芒果是甜的
第三个芒果是甜的
这个果园的芒果都是甜的
第一个芒果是甜的
第二个芒果是甜的
第三个芒果是甜的
这个果园的芒果都是甜的
已知
判断
前提
新的
判断
结论
铜能导电
铝能导电
金能导电
银能导电
一切金属都能导电.
三角形内角和
为
凸四边形内角
和为
凸五边形内角
和为
凸n边形内角和为
第一个芒果是甜的
第二个芒果是甜的
第三个芒果是甜的
这个果园的芒果都是甜的
第一个数为2
第二个数为4
第三个数为6
第四个数为8
第n个数为2n.
铜能导电
铝能导电
金能导电
银能导电
一切金属都能导电.
三角形内角和
为
凸四边形内角
和为
凸五边形内角
和为
凸n边形内角和为
第一个芒果是甜的
第二个芒果是甜的
第三个芒果是甜的
这个果园的芒果都是甜的
第一个数为2
第二个数为4
第三个数为6
第四个数为8
第n个数为2n.
部分
个别
整 体
一 般
归纳推理
由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征,或者由个别事实概括出一般性的结论,这样的推理称为归纳推理(简称归纳).
你能举出归纳推理的例子吗
每幅地图可以用四种颜色着色，使得有共同边界的相邻区域着上不同色.
1852年，英国人弗南西斯·格思里为地图着色时，发现了四色猜想.
1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在两台计算机上，用了1200个小时，完成了四色猜想的证明.
任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数的和.
观察下列等式
6 = 3 + 3
8 = 3 + 5
10= 3 + 7
12= 5 + 7
归纳出一个规律：
偶数=奇质数+奇质数
通过更多特例的检验,从6开始,没有出现反例.
大胆猜想:
陈氏定理
16 = 5+11
18 = 7+11
20 = 7+13
22 = 5+17
半个世纪之后，欧拉发现：
猜想：
后来人们发现
都是合数.
观察分析
发现规律
大胆猜想
检验猜想
归纳推理的一般步骤
探究1：
(2004春季上海)根据图中5个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第n个图形中有 个点.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(05年广东)设平面内有n条直线(n≥3),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数.
探究2
当n ≥3 时, f(n)= .(用n表示)
探究3
已知：
通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：
数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E,然后探求面数F、顶点数V和棱数E之间的关系.
四棱柱
三棱锥
八面体
三棱柱
四棱锥
尖顶塔
探究4
凸多面体 面数（F） 顶点数（V） 棱数（E）
四棱柱
三棱锥
八面体
三棱柱
四棱锥
尖顶塔
凸多面体 面数（F） 顶点数（V） 棱数（E）
四棱柱
三棱锥
八面体
三棱柱
四棱锥
尖顶塔
四棱柱
6
8
12
凸多面体 面数（F） 顶点数（V） 棱数（E）
四棱柱
三棱锥
八面体
三棱柱
四棱锥
尖顶塔
四棱柱
6
8
12
6
4
4
三棱锥
凸多面体 面数（F） 顶点数（V） 棱数（E）
四棱柱
三棱锥
八面体
三棱柱
四棱锥
尖顶塔
四棱柱
6
8
12
6
4
4
三棱锥
12
8
6
八面体
凸多面体 面数（F） 顶点数（V） 棱数（E）
四棱柱
三棱锥
八面体
三棱柱
四棱锥
尖顶塔
四棱柱
6
8
12
6
4
4
三棱锥
12
8
6
八面体
6
9
5
三棱柱
凸多面体 面数（F） 顶点数（V） 棱数（E）
四棱柱
三棱锥
八面体
三棱柱
四棱锥
尖顶塔
四棱柱
6
8
12
6
4
4
三棱锥
12
8
6
八面体
6
9
5
三棱柱
5
5
8
四棱锥
凸多面体 面数（F） 顶点数（V） 棱数（E）
四棱柱
三棱锥
八面体
三棱柱
四棱锥
尖顶塔
四棱柱
6
8
12
6
4
4
三棱锥
12
8
6
八面体
6
9
5
三棱柱
5
5
8
四棱锥
9
16
9
尖顶塔
6
9
5
9
5
5
8
16
9
凸多面体 面数（F） 顶点数（V） 棱数（E）
四棱柱
三棱锥
八面体
三棱柱
四棱锥
尖顶塔
6
8
12
6
4
4
12
8
6
猜想凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E之间的关系式为：
F＋V－E＝2
欧拉公式
作 业
完成课本 P83 A组 1—3
选做:如右图三角阵, 从上往下数,第1次全行的数都为1的是第1行,第2次全行的数为1的是第3行,…,第n次全行的数都为1的是第 行;第61行中1的个数是 .
第1行 1 1
第2行 1 0 1
第3行 1 1 1 1
第4行 1 0 0 0 1
第5行 1 1 0 0 1 1
… …(共14张PPT)
引例:已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc
因为b2+c2 ≥2bc,a>0
所以a(b2+c2)≥2abc.
又因为c2+b2 ≥2bc,b>0；所以b(c2+a2)≥ 2abc.
因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.
证明:
教学问题设计一——综合法的应用
利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法。
用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论，则综合法用框图表示为:
…
教学问题设计一——综合法的应用
特点:“由因导果”
例1：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对应的边分别为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差数列，a、b、c成等比数列，求证△ＡＢＣ为等边三角形．
教学问题设计一——综合法的应用
①
②
②
①
③
④
③
④
⑤
②
③
⑤
例2：设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为Ｆ，经过点Ｆ的直线交抛物线于Ａ、Ｂ两点，点Ｃ在抛物线的准线上，且ＢＣ∥x轴（如图），证明直线ＡＣ经过原点Ｏ
4
2
-2
-4
-6
5
B
A
C
O
F
教学问题设计一——综合法的应用
引例：基本不等式：
(a>0,b>0)的证明.
证明:
因为;
所以
所以
所以 成立
证明:要证
只需证;
只需证;
只需证;
因为; 成立
所以 成立
教学问题设计二——分析法的应用
一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法．
特点：执果索因.
用框图表示分析法的思考过程、特点.
得到一个明显成立的结论
…
教学问题设计二——分析法的应用
教学问题设计二——分析法的应用
②
①
①
②
教学问题设计二——分析法的应用
①
②
③
教学问题设计二——分析法的应用
③
教学问题设计二——分析法的应用
例3：如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F,求证： AF⊥SC
F
E
S
C
B
A
证明:要证AF⊥SC
只需证:SC⊥平面AEF
只需证:AE⊥SC
只需证:AE⊥平面SBC
只需证:AE⊥BC
只需证:BC⊥平面SAB
只需证:BC⊥SA
只需证:SA⊥平面ABC
因为:SA⊥平面ABC成立
所以. AF⊥SC成立
教学问题设计二——分析法的应用(共28张PPT)
这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理.(简称归纳)
一、知识回顾:
地球上有生命
火星
地球
火星上是否有生命
相似点：绕太阳运转、绕轴自转、有大气层、有季节变换、大部分时间的温度适合地球上的某些已知生物的生存等。
上述推理基本步骤是什么？
是归纳推理？
火星上可
能有生命
二、情景引入:
1.类比推理的定义：由两类对象具
有某些类似特征和其中一类对象
的某些已知特征，推出另一类对
象也具有这些特征的推理称为类
比推理(简称类比)。
2.特点 ：
(1)、类比推理是由特殊到特殊的推理。
(2)、类比推理的结果具有猜测性，不 一定可靠。却具有发现的功能。
三、新课讲解
3、进行类比推理的步骤：
(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
(2)用一类对象的已知特征去猜测另一类对象的 特征，从而得出一个猜想；
(3)检验这个猜想.
4、类比推理的一般模式:
所以B类事物可能具有性质d’.
A类事物具有性质a,b,c,d,
B类事物具有性质a’,b’,c’,
(a,b,c与a’,b’,c’相似或相同）
观察、比较
联想、类推
猜想新结论
从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.
他的思路是这样的：
茅草是齿形的；
茅草能割破手.
我需要一种能割断木头的工具；
它也可以是齿形的.
这个推理过程是归纳推理吗？
情景创设1：
3.仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明了潜水艇.
情景创设：
等差数列 等比数列
通项
公式
前 n
项和
中项 任意实数a、b都有等差中项 ，为
利用等差数列性质类比等比数列性质
当且仅当a、b同号时才有等比中项 ，为
①
②
③
④
⑤
⑥
若 ， 则
①
②
③
④
若 ， 则
⑤
⑥
⑦
⑦
空间向量的性质
利用平面向量的性质类比得
空间向量
平面向量
圆的性质
球的性质
球心与不过球心的截面(圆面)的圆心的连线垂直于截面
与球心距离相等的两截面面积相等
与球心距离不相等的两截面面积不相等,距球心较近的面积较大
以点(x0,y0,z0)为球心, r为半径的球的方程为
(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2 = r2
球的体积
球的表面积
在形状上和概念上，都有类似的地方，即具有完美的对称性，都是到定点的距离等于定长的点的集合。
与圆心距离相等的两弦相等
与圆心距离不相等的两弦不相等,距圆心较近的弦较长
以点(x0,y0)为圆心, r为半径的圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2 = r2
圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦
圆的面积
圆的周长
平面图形（二维）
立体图形（三维）
点
点或线
线
线或面
平面直角坐标系
空间直角坐标系
运用类比法的关键是：
周长
面积
面积
体积
寻找一个合适的类比对象
几何中常见的类比对象
四面体（各面均为三角形）
四边形
六面体（各面均为四边形）
圆
球
代数中常见的类比对象
数
向量
方程
函数
不等式
交集，并集，补集
或，且，非运算
无限
有限
三角形
四面体 三角形
构成几何体的元素数目：
你认为平面几何中的哪一类图形可以作为四面体的类比对象？
直角三角形
∠C＝90°
3个边的长度a，b，c
2条直角边a，b和1条斜边c
例：类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想．
3个面两两垂直的四面体
∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°
4个面的面积S1，S2，S3和S
3个“直角面” S1，S2，S3和1个“斜面” S
例题讲解
A
B
C
b
a
c
a2+b2=c2
s1
s2
s3
⊿FEF的面积为S
r
P
E
F
D
由图(1)有面积关系:
则由图(2)有体积关系:
图(1)
图(2)
例1：试根据等式的性质猜想不等式的性质.
等 式
不等式
(1) a=b a+c=b+c
a>b a+c>b+c
(2) a=b ac=bc
a>b ac>bc
a>b a2>b2
(3) a=b a2=b2等等
解：等式与不等式有不少相似的属性，例如：
问：这样猜想出的结论是否一定正确？
猜想
猜想
猜想
数学应用：
类比推理
由特殊到特殊的推理;
以旧的知识为基础,推测新的结果；
结论不一定成立.
归纳推理
由部分到整体、特殊到一般的推理;
以观察分析为基础,推测新的结论;
具有发现的功能;
结论不一定成立.
具有发现的功能;
例5.有三根针和套在一根针上的若干金属片.按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上.
1.每次只能移动一个金属片;
2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面.
试推测:把n个金属片从1号针移到3号针,最少需要移动多少次
n=1时,
n=2时,
n=1时,
n=3时,
n=2时,
n=1时,
n=2时,
n=1时,
n=3时,
n=4时,
n=3时,
n=2时,
n=1时,
n=4时,
n=3时,
n=2时,
n=1时,
归纳:
